姜　旭,　張　量

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，蕪湖241000)

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橢球面上平面曲線類型的閉測(cè)地線

姜旭,張量

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，蕪湖241000)

[摘要]通過對(duì)橢球面上平截線的研究, 找出了橢球面上所有平面曲線類型的閉測(cè)地線.

[關(guān)鍵詞]橢球面; 平面曲線; 閉測(cè)地線

1引言

測(cè)地線是平面上的直線在一般曲面上的推廣, 其物理意義在于光滑曲面上的質(zhì)點(diǎn)(除約束力外,不受其它外力)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為測(cè)地線[1]. 研究曲面上的測(cè)地線一直是經(jīng)典微分幾何的一個(gè)重要課題.熟知球面上的測(cè)地線有且僅有大圓[1], 然而對(duì)于橢球面, 情況復(fù)雜得多,文獻(xiàn)[2]給出了推導(dǎo)橢球面上測(cè)地線微分方程的一種方法.今本文主要討論橢球面上平面曲線類型的測(cè)地線, 通過研究橢球面與平面交線的幾何性質(zhì), 找到了橢球面上所有平面曲線類型的閉測(cè)地線. 需要說明的是本文關(guān)于某些復(fù)雜幾何量的計(jì)算中利用了數(shù)學(xué)軟件Maple, 這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件已廣泛地運(yùn)用于微分幾何的研究中[3]. 此外本文約定三維歐式空間3中總是取直角坐標(biāo)系Oxyz. 本文獲得的結(jié)果具體如下.

對(duì)于旋轉(zhuǎn)橢球面, 其上所有平面曲線類型的閉測(cè)地線由下述定理給出.

定理2經(jīng)線和半徑最大的緯圓是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的兩類平面曲線類型的閉測(cè)地線.

2預(yù)備知識(shí)

這一部分我們回憶三維歐式空間中曲線和曲面微分幾何的一些基本理論.

設(shè)α(s)是S上一條以弧長為參數(shù)的曲線, 則α的測(cè)地曲率定義為

這里( , , )表示向量的混合積, “·”表示關(guān)于弧長參數(shù)的導(dǎo)數(shù).特別地, 如果α的測(cè)地曲率恒為零, 則稱α為S上的一條測(cè)地線[4].

設(shè)S為3中的正則曲面, r(u,v)為S的一個(gè)參數(shù)表示, 則S的單位法向量場(chǎng)n,可如下計(jì)算:

(2.1)

其中ru，rv分別為r(u,v)關(guān)于u,v的偏導(dǎo)數(shù).

下面的引理告訴我們?nèi)绻恋膮?shù)不是弧長參數(shù), 仍可通過計(jì)算相應(yīng)的混合積判斷其是否為測(cè)地線.

引理2.1設(shè)S為3中的正則曲面,n為S的單位法向量場(chǎng),又設(shè)α(t)為S上的一條正則參數(shù)曲線(t未必為弧長參數(shù)), 則α為S的一條測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)沿著α有(n,α′,α″)=0.

證設(shè)s為α的弧長參數(shù), 直接計(jì)算可得

從而

本文主要結(jié)論的證明還需要如下兩個(gè)引理.

引理2.2[5]旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線均為測(cè)地線, 緯圓為測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)其上每點(diǎn)沿經(jīng)線的切線與旋轉(zhuǎn)軸平行.

引理2.3[4](Gauss-Bonnet)設(shè)S是具有定向n的正則曲面，Ω是S上的一個(gè)正則區(qū)域，邊界?Ω是由有限條互不相交的分段正則簡單閉曲線C1,C2,…,Cn組成，且θ1,θ2,…,θp為C1，C2，…,Cn的所有外角，則

其中s為Ci的弧長參數(shù),κg為邊界了?Ω的測(cè)地曲率，K為Ω的Gauss曲率，χ(Ω)為區(qū)域Ω的Euler示性數(shù).

3主要結(jié)論的證明

定理1的證明設(shè)α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測(cè)地線, 首先證明α所在的平面必過3的原點(diǎn), 即橢球面中心, 否則α所在平面將橢球面分成兩個(gè)大小不同的區(qū)域, 取其中較大的區(qū)域, 記為Ω. 熟知橢球面S的全曲率為?SKdA=4π, 即

?ΩKdA+?SΩKdA=4π,

由橢球面的對(duì)稱性并注意到Ω為橢球面上的較大區(qū)域,SΩ較小, 因此必有

?ΩKdA>?SΩKdA,

從而

?ΩKdA>2π,

(3.1)

設(shè)過原點(diǎn)的平面π的一般方程為Ax+By+Cz=0.[6]橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為[7]:

α(t)=(a(a1cost+a2sint),b(b1cost+b2sint),c(c1cost+c2sint)).

(3.2)

其中

r1=(a1,b1,c1),r2=(a2,b2,c2)

(3.3)

為齊次線性方程aAx+bBy+cCz=0的兩個(gè)單位正交的解向量, 直接計(jì)算有

已知橢球面S的參數(shù)表示為

r(u,v)=(asinucosv,bsinusinv,ccosu),

兩邊分別對(duì)u，v求導(dǎo)可得

ru=(acosucosv,bcosusinv,-csinu),

rv=(-asinusinv,bsinucosv,0).

根據(jù)(2.1)可得

注意到α(t)為橢球面上的一條曲線, 因此存在函數(shù)u(t)和v(t)滿足

a1cost+a2sint=sinu(t)cosv(t),

b1cost+b2sint=sinu(t)sinv(t),

c1cost+c2sint=cosu(t).

此時(shí)沿著平截線α變化的單位法向量可化簡為

根據(jù)引理2.1可知,若曲線α為橢球面S的測(cè)地線, 則沿著α有(n,α′,α″)=0.以下利用數(shù)學(xué)軟件Maple求解混合積(n,α′,α″). 方便起見, 將該混合積記為KG. 在Maple中運(yùn)行程序段

>with(LinearAlgebra):

>n:=:

alpha:=:

>alphaa:=map(diff,alpha,t):

>alphaaa:=map(diff,alphaa,t):

>KG:=simplify(DotProduct(CrossProduct(n,alphaa),alphaaa,conjugate=false));

返回結(jié)果

(3.4)

其中

若α為測(cè)地線, 則U=0. 其充要條件為

(3.5)

(3.6)

下面分兩種情形討論:

(i) 當(dāng)A，B不同時(shí)為零時(shí), 此時(shí)在(3.3)中取

(3.7)

(3.8)

其中P=(a2A2+b2B2+c2C2)(a2A2+b2B2).將(3.7), (3.8)代入(3.5), (3.6), 得到

(3.9)

(3.10)

由于a,b,c兩兩互異且均大于零, 根據(jù)(3.10)知C=0或者

又根據(jù)(3.9)可知A，B有且僅有一個(gè)為零, 故A=C=0或B=C=0, 即交線α為橢球面與坐標(biāo)軸平面xOz,yOz的交線.

(ii) 當(dāng)A=B=0時(shí), 平面π的一般方程為z=0. 此時(shí)橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為α(t)=(acost,bsint,0). 此時(shí)在(3.3)中可取

a1=1,b1=0,c1=0,a2=0,b2=1,c2=0.

(3.11)

將(3.11)代入(3.5), (3.6), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立, 因此α即橢球面與xOy平面的交線為橢球面上的測(cè)地線.證畢.

對(duì)于旋轉(zhuǎn)橢球面, 由引理2.2可知其上所有的經(jīng)線及最大的緯圓必為測(cè)地線, 以下可以進(jìn)一步證明這兩類曲線還是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的平面曲線類型的閉測(cè)地線.

定理2的證明設(shè)α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測(cè)地線, 類似于定理1的證明可知α所在的平面必過3的原點(diǎn), 即橢球面中心.

Ax+By+Cz=0.

由(3.5),(3.6)可得

又a≠c, 且均大于零, 則

a2b1-a1b2=0,

(3.12)

或

c1=c2=0.

(3.13)

下面將分兩種情形對(duì)旋轉(zhuǎn)橢球面上平面型閉測(cè)地線進(jìn)行分析.

(i) 當(dāng)A，B不同時(shí)為零時(shí),c2≠0,則將(3.7),(3.8)代入(3.12),可得

則C=0,此時(shí)交線α為橢球面與過z軸的平面的交線, 即經(jīng)線.

(ii) 當(dāng)A=B=0時(shí), 將(3.11)代入(3.12),(3.13), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立.此時(shí)交線α為橢球面與坐標(biāo)軸平面xOy的交線.證畢.

[參考文獻(xiàn)]

[1]孟道驥, 梁科. 微分幾何[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

[2]馬力. 簡明微分幾何[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004.

[3]John Oprea. Differential geometry and its application[M]. Washington DC: The Mathematical Association of America, 2007.

[4]Do Carmo Manfredo P.Differential Geometry of Curves and Surfaces[M]. Englewood Cliffs NJ: Prentice-Hall, Inc, 1976.

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[6]陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何(下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[7]任行者, 李長文. 用代數(shù)方法確定空間圓的參數(shù)方程[J]. 淮陰師范學(xué)院教育科學(xué)論壇, 2007, 9(3):67-70.

Planar Closed Geodesics on Ellipsoids

JIANGXu,ZHANGLiang

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000,China)

Abstract:We determine all the planar closed geodesics on ellipsoids by studying the intersections of ellipsoids and planes.

Key words:ellipsoid; plane curve; closed geodesic

[收稿日期]2014-07-19

[中圖分類號(hào)]O186.11

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0116-05