李　穎，　倪谷炎，　周　敏

(國防科學技術大學理學院數(shù)學與系統(tǒng)科學系，湖南長沙410073)

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常微分方程組求解的案例式教學探索

李穎，倪谷炎，周敏

(國防科學技術大學理學院數(shù)學與系統(tǒng)科學系，湖南長沙410073)

[摘要]常微分方程在高等數(shù)學中占有很重要的地位，在該部分內容的教學過程中引入適當?shù)慕虒W案例，旨在激發(fā)學生學習常微分方程的熱情和提高學生解決實際問題的能力.本文以傳輸線理論中的微分方程—電報方程求解為教學案例，在給出案例的研究背景和數(shù)學描述之后，求解電報方程獲得了集總源激勵下的傳輸線終端響應，并結合具體算例分析其物理意義.

[關鍵詞]常微分方程； 案例式教學； 傳輸線響應

1案例背景

實踐與應用是常微分方程的顯著特點，在眾多學科中都有應用常微分方程的方法和理論建立起來的數(shù)學模型，因此常微分方程的教學內容體現(xiàn)了多學科知識的交叉和滲透.這就要求教師在教學過程中不僅要使學生弄清楚常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法，還要讓學生了解一些把實際問題歸結為適當?shù)臄?shù)學模型的途徑和方法，為他們今后運用數(shù)學知識解決實際問題打下堅實的基礎.在介紹常微分方程類型以及解法時補充相關的一些科研成果，不但不會增加學生負擔，反而會激發(fā)學生的學習興趣，此外還反映了時代的氣息，培養(yǎng)了學生的科研意識.從體系上來說，可以達到將單純的知識結構轉變成知識、思想方法和應用三位一體新知識結構的目的，從而起到素質培養(yǎng)、能力提高、技能訓練為一體和諧發(fā)展的作用.我們將科研中集總源激勵下的雙導線傳輸線響應問題轉化成高等數(shù)學課程教學過程中的具體案例，是對常微分方程案例式教學方式的一種有力嘗試.

傳輸線理論是電磁兼容分析的重要理論，通常采用電報方程及相應的傳輸線耦合模型的形式來計算傳輸信號，其計算精度能夠符合大多數(shù)工程應用的需要[1-2].一般情況下，傳輸線上的電壓源和電流源可以產(chǎn)生天線模型和傳輸線模型兩種響應.因此，傳輸線上的總電流分布就等于這兩種模型共同的響應電流.但是，在很多電磁兼容分析中，對于只需要研究給定負載的終端響應情況時，計算傳輸線模型電流就已經(jīng)足夠了，因為天線模型電流在負載終端處消失[2].傳輸線集總激勵是指傳輸線上某些位置有若干個原始激勵源對傳輸線自身產(chǎn)生激勵，這些離散的激勵可以在整個線路里產(chǎn)生響應.下面幾種情況均可以出現(xiàn)集總電壓或電流激勵現(xiàn)象：計算機系統(tǒng)中時鐘發(fā)生器產(chǎn)生的噪聲，計算機主板上高頻數(shù)字信號和模擬信號之間的干擾，由系統(tǒng)中導體故障產(chǎn)生的短路以及在PCB板上靜電放電產(chǎn)生的沖擊[1].本文對集總源激勵下雙導線傳輸線的負載電流和電壓響應進行研究，探討其電報方程，即微分方程組的求解問題.

2案例的數(shù)學描述

對于集總源激勵的均勻無限長雙導體傳輸線而言，如圖1所示，

圖1　均勻無限長雙導體傳輸線

其對應的電報方程[1]為

(1)

其中Z為單位長度阻抗，Y為單位長度導納.由于是均勻傳輸線，傳輸線參數(shù)Z和Y與坐標位置無關.因此電報方程(1)實際上是一個常微分方程組.

3常微分方程組的求解

將微分方程組(1)去耦后可得到兩個關于電壓和電流的波動方程：

(2)

(3)

反向電壓行波和電流行波分別為

該二階微分方程組的通解因此可表示為兩個方向的行波組合

(4)

(5)

接下來探討附加了邊界條件的常微分方程組(1)求解問題.考慮集總電壓源和電流源激勵下的均勻有限長雙導體傳輸線，如圖2所示，雙導體傳輸線線長均為l，兩端端接負載阻抗為ZL1，ZL2，傳輸線受到x=xs處的串聯(lián)電壓源V0和并聯(lián)電流源I0的激勵.即電報方程(1)附加了x=xs處的邊界條件：電流不連續(xù)差為I0，電壓不連續(xù)差為V0，以及傳輸線兩端負載1和負載2處的邊界條件：

V1=-ZL1I1，

V2=ZL2I2，

(6)

其中(6)式中的負號來自于定義沿線傳播的電流為正.

圖2　任意集總源激勵的有限長端接負載雙導體傳輸線

設電報方程(1)的通解為

(7)

(8)

定義傳輸線終端負載的電壓反射系數(shù)

將其代入(6)再進而代入(7)和(8)中，可得a1=ρ1b1，b2=a2ρ2e-2γl.再結合x=xs處的邊界條件，可得

(9)

(10)

于是，求得帶兩個邊界條件的電報方程(1)的一般解為

(i) x

(11)

(ii) x>xs

(12)

在(11)和(12)中分別令x=0和x=l，可得傳輸線兩個負載終端上的響應電壓和電流為

(13)

(14)

注1上述電壓和電流是線電壓和電流，x=0處負載電流為線電流的負值，x=l處負載電流等于線電流，仍以I1表示x=0處的電流響應.

注2將傳輸線負載處的電壓和電流響應改寫成另一種矩陣形式

(15)

(16)

其中S1=eγxs(V0+ZcI0)/2，S2=-eγ(l-xs)(V0-ZcI0)/2.方程(15)和(16)即為BLT方程[1].

注3BLT方程最早由Baum，Liu和Tesche三人基于經(jīng)典均勻傳輸線方程推導出來的經(jīng)典方程[3]，并逐漸發(fā)展成為解決強電磁環(huán)境下復雜系統(tǒng)的電磁干擾與耦合問題的方法.該方程是求解傳輸線響應的緊湊矩陣形式，便于編程，易于推廣.在系統(tǒng)電磁兼容分析與電磁干擾研究方面有著廣泛的應用[4].

4數(shù)值仿真算例

研究只有電壓源激勵下的傳輸線終端響應情況，其結構如圖3所示.

圖3　由集總電壓源激勵的雙導體傳輸線

傳輸線長度l=9米，線半徑a=0.1厘米，線間距d=0.5米，終端負載Z1=50歐姆，Z2=100歐姆，特性阻抗

自由空間介電常數(shù)ε0=8.85×10-12F/m，自由空間磁導率μ0=4π×10-7H/m，傳播常數(shù)

情況1作用于xs=2.5米處的電壓源為V0=1.利用微分方程組(1)在傳輸線終端的解——BLT方程(16)求得集總電壓源激勵的雙導體傳輸線終端負載處的電流響應，如圖4和圖5所示.

圖4　終端x=0處的負載電流響應　　　　　　　圖5　終端x=9m處的負載電流響應

從圖4和圖5可以看出，電流波形發(fā)生了振蕩現(xiàn)象，這是由于終端不匹配，在傳輸線中存在諧振造成的，它對應于負載上的反射波.

情況2作用于xs=2.5米處的電壓源為雙指數(shù)電磁脈沖

如圖6所示.利用BLT方程的時域形式求得集總電壓源激勵的雙導線傳輸線終端負載處的瞬態(tài)響應，如圖7所示.

圖6　雙指數(shù)電磁脈沖波形　　　　　　　圖7　終端x=9m處的負載電流瞬態(tài)響應

從圖7可以看出，在x=9m處直到時刻t=2.1×10-8s才有響應，說明源信號到達終端有時延現(xiàn)象.在時刻t=5.1×10-8s形成第1個最強尖峰，對應從x=9m端的一個往返時間.

由此可知，BLT方程在分析傳輸線頻域與時域響應時均具有計算簡便又能得到準確的結果的優(yōu)勢.

5 總結

由于案例的作用旨在引起學生勇于實踐，深入探索教學案例中的問題，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生解決實際問題的能力.因此在常微分方程的教學過程中引入案例是對傳統(tǒng)課堂教學的有利補充，以期解決學生缺乏創(chuàng)造性的頑疾，同時對提高教師的授課效果，擴展學生的視野，激發(fā)學生的創(chuàng)造性的具有積極意義，是一種教學方式的有力嘗試.

本文基于傳輸線理論結合數(shù)學建模和常微分方程求解知識，解決了集總源激勵下雙導體傳輸線的響應問題.首先給出了案例的研究背景以及數(shù)學描述.接下來，對雙導線系統(tǒng)的電報方程求解，并針對電壓源激勵傳輸線時頻響應進行數(shù)值仿真計算.教學案例中所獲得的數(shù)值仿真結果可用于分析電磁干擾問題，從而為傳輸線干擾信號抑制提供技術指導.

[參考文獻]

[1]Tesche F M， Ianoz M V and Karlsson T. EMC analysis methods and computational models[M]. New York: John Wiley & Sons， 1997.

[2]Ushida H. Fundamentals of coupled lines and multiwire antenns[M]. Japan， Sendi: Sasak Press， 1967.

[3]Baum C E， Liu T K， and Tesche F M. On the analysis of general multiconductor transmission-line networks[J]. Interaction Notes 350， 1978: 230-331.

[4]Parmantier J P， Alliot J C， Labaune G， and Degauque P. Electromagnetic coupling on complex systems: topological approach[J]. Interaction Notes 488， 1990:1-14.

Case Teaching Investigation of Solving Ordinary Differential Equations

LIYing，NIGu-yan，ZHOUMin

(College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:Ordinary differential equations play an extremely important role in advanced mathematics. The purpose of the introduction of appropriate teaching cases during the teaching process of advanced mathematic is to stimulate students’ enthusiasm to study ordinary differential equations and improve students’ ability to solve pratical problems. The solution of telegrapher’s equations in transmission line theory was taken for case study as a form of differential equations. After the research background and mathematical description of case are introduced, the terminal responses of the transmission line under lumped sources excitation is acquired by solving the telegrapher’s equations Moreover, their physical significance was analyzed with the adoption of computational examples.

Key words:ordinary differential equations; case teaching; response of the transmission line

[基金項目]公共基礎數(shù)學系列研究生一流課程體系建設項目

[收稿日期]2014-04-28

[中圖分類號]O13；G642.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0097-05