楊昭 李文銘

摘要：逆向思維是一種創(chuàng)造性的思維方式。數(shù)學(xué)作為一門(mén)較抽象的學(xué)科，在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面有著十分重要的作用。本文通過(guò)介紹在教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的逆運(yùn)用及對(duì)逆向思維解題技巧的掌握，并結(jié)合分析法和反證法，探討教師如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力。

關(guān)鍵詞：逆向思維 初中數(shù)學(xué) 培養(yǎng)

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.155

正向思維一般是指?jìng)鹘y(tǒng)的、邏輯的、習(xí)慣的思維方向，它在我們的生活和學(xué)習(xí)中經(jīng)常采用。而逆向思維則是一種反向思維，它要求人們要善于從事物的正、反兩個(gè)方向去思考問(wèn)題，把一些原來(lái)一直如此的事物顛倒過(guò)來(lái)思考，從而認(rèn)識(shí)事物的相反方面，揭示不同的現(xiàn)象，獲得不同的效果，進(jìn)而從中發(fā)現(xiàn)新的原理、新的方法、新的結(jié)構(gòu)、新的思路。逆向思維在創(chuàng)新活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用，運(yùn)用逆向思維去思考和處理問(wèn)題，實(shí)際上就是以“出奇”去達(dá)到“制勝”。

在初中數(shù)學(xué)中存在許多互逆運(yùn)算，如：加減、乘除、乘方與開(kāi)方等。它們都是相輔相成的。要真正學(xué)好數(shù)學(xué)，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，正向思維和逆向思維都不可或缺。然而初中生由于受到思維定勢(shì)的影響，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)普遍習(xí)慣于從問(wèn)題的正面入手。長(zhǎng)此以往，便會(huì)造成學(xué)生的解題思路狹窄、思維僵化，不利于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

作為初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，打破學(xué)生的思維定勢(shì)。從基本的初中數(shù)學(xué)教材入手，尋找其中能夠用于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的素材，并重視對(duì)其在課堂中的講解，使這些材料充分發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的作用。同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，使學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，這樣既鍛煉了學(xué)生的思維靈活性，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

一、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的逆運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解難度較大。如果教師在教學(xué)之初，僅注重對(duì)概念的一個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在今后的應(yīng)用中也會(huì)只單一的重視從這一方面進(jìn)行思考。學(xué)生沒(méi)有完整掌握概念的內(nèi)容，就容易導(dǎo)致理解的偏差，從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這就要求教師在對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，注重從正反兩方面進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生同時(shí)理解概念的正、逆兩種形式。

如學(xué)習(xí)“相反數(shù)”概念時(shí)，教師可考慮從正面提出問(wèn)題：相反數(shù)是什么？再?gòu)姆捶较蛱岢鰡?wèn)題：什么數(shù)的相反數(shù)是什么？同時(shí)，還可以設(shè)計(jì)如下互逆的問(wèn)題：如果a=-8，那么-a= ? ? ;如果-a=-8，那么a= ? ? 。

又如，在教學(xué)“補(bǔ)角”概念時(shí)，教師就可這樣引導(dǎo)學(xué)生從正、逆兩方面來(lái)理解此概念：“如果α+β=180°，那么α和β互為補(bǔ)角”;反過(guò)來(lái)：“如果兩個(gè)角α和β互為補(bǔ)角，那么α+β=180°”。

教師通過(guò)從正、逆兩個(gè)角度巧設(shè)疑問(wèn)，不僅訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維，同時(shí)使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念之初就形成了完整的認(rèn)識(shí)。

二、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的逆運(yùn)用

同數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一樣，教師在對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的教學(xué)中也應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生從僅使用正向思維過(guò)渡到同時(shí)使用正、逆雙向思維，克服長(zhǎng)期思維定勢(shì)導(dǎo)致的思維刻板，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

如，教師在幫助學(xué)生理解方差公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]時(shí)，可從正向告訴學(xué)生，這些字母代表的含義，也可以通過(guò)例子逆向幫助學(xué)生強(qiáng)化公式的意義，如展示例題：一組數(shù)據(jù)的方差是S2=[（x1-4）2+（x2-4）2+（x3-4）2…+（x10-4）2]，則這組數(shù)據(jù)共有多少個(gè)？平均數(shù)是多少？

三、貫穿對(duì)逆向思維解題技巧的訓(xùn)練

逆向思維不是靠教師“教出來(lái)”的，是學(xué)生在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷親身經(jīng)歷、不斷鍛煉，不斷積累而形成的。因此，教師要堅(jiān)持在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷滲透逆向思維解題的方法，合理利用練習(xí)題，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，從而逐步提升學(xué)生的逆向思維能力。以下就從三個(gè)方面舉例說(shuō)明，利用練習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維解題技巧。

（一）逆用運(yùn)算律

例1：計(jì)算129×（-63）+129×58-10×129-94×71+79×71。

此題看似復(fù)雜，涉及乘法分配律的逆運(yùn)用，對(duì)于初學(xué)有理數(shù)混合運(yùn)算的學(xué)生有一定難度，教師可引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察題目特點(diǎn)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題可通過(guò)幾次逆用乘法分配律大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解：原式=129×（-63+58-10）+71×（-94+79） （乘法分配律的逆用）

=129×（-15）+71×（-15）

=（129+71）×（-15） ?（乘法分配律的逆用）

=200× （-15）

=-3000

（二）逆序思考問(wèn)題

例2：已知方程2x2+（p-2）x+=0的兩個(gè)根分別為某正方形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑，求p的值。

分析：若按正向思維，應(yīng)得關(guān)于p的方程

=·

但解此方程非常麻煩。如果逆向思考，設(shè)正方形內(nèi)切圓半徑為r，則外接圓半徑為r，由根與系數(shù)的關(guān)系得：

r+

r=

;

r·

r=

解得P=-。這道題目由于使用了逆向思維（假設(shè)二根已知），使問(wèn)題的解答變得十分簡(jiǎn)便，通過(guò)正、逆兩種解法的難度對(duì)比，學(xué)生能夠更加清晰直觀地感受到逆向思維解題的便捷之處，豐富了學(xué)生對(duì)逆向思維解題方法的認(rèn)識(shí)。

（三）從問(wèn)題的對(duì)立面入手

例3，若下列兩個(gè)方程x2-2（a-1）x+（a2+3）=0;x2-2ax+a2-2a+4=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。此題若從正面著手，則情況較多。相反，如果我們從至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的對(duì)立面，即兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根考慮，則得到以下解法：

解不等式組：

4（a-1）2<4（a2+3）;

4a2<4（a2-2a+4）

得-1<a<2，所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a≥2。

此題由于采用了逆向思維，解法變得如此簡(jiǎn)捷。

四、分析法

分析法是一種執(zhí)果索因的逆向思維過(guò)程，指從要證的結(jié)論出發(fā)，逆向?qū)で笫顾闪⒌臈l件，直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件為止，從而證明論點(diǎn)的正確性、合理性的論證方法。運(yùn)用分析法解決問(wèn)題，便于學(xué)生理清題設(shè)與結(jié)論之間的復(fù)雜關(guān)系，通過(guò)逆向思維獲得解題的思路。

例4：已知如圖1，△ABD與△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC。

[B][C][D][A][E][1][2][3][圖1]

分析：在這道題中，教師可用問(wèn)答的形式引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)已知結(jié)論尋求所要滿足的條件，通過(guò)逆向思維，證明這道幾何題目。

師：我們要證明BE=DC，需要怎樣考慮？先證明什么？

生：證明，△ABE=△ADC。

師：那么要證△ABE=△ADC，首先需要哪些條件？

生：AD=AB，∠2+∠3=∠1+∠2，AC=AE。

師：要證明AD=AB，∠2+∠3=∠1+∠2，AC=AE還需要什么條件？

生：△ABD，△AEC為等邊三角形（已知條件）

學(xué)生敘述時(shí)，教師可板書(shū)。

[BE=DC] [△ABE≌△ADC][AD=AB ∠2+∠3=∠1+∠2 AC=AE][△ABD，△AEC為等邊三角形]

由此，學(xué)生便更加清晰地理解了此題的證明方法。

五、反證法

反證法是逆向思維在數(shù)學(xué)證明方法中的具體反應(yīng)，反證法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)原命題的逆否命題的真實(shí)性來(lái)體現(xiàn)原命題的真實(shí)性，即通過(guò)提出假設(shè)后通過(guò)推理得到矛盾，從而證明結(jié)論的一種方法。這一方法擴(kuò)展了學(xué)生的證明思路，并對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力有很大幫助。在反證法教學(xué)中，教師還應(yīng)提醒學(xué)生注意反證法的適用情況及反證法在假設(shè)與推理過(guò)程中應(yīng)該注意的問(wèn)題，使學(xué)生形成縝密的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

綜上所述，逆向思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)善于應(yīng)用初中數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)材料，注重在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。通過(guò)逆向思維能力的訓(xùn)練，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更加全面的理解，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并在今后的學(xué)習(xí)和生活中更加靈活地應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題。

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作者簡(jiǎn)介：

楊昭（1991- ），女，漢族，陜西咸陽(yáng)人，陜西師范大學(xué)碩士研究生在讀，研究方向：課程與教學(xué)論。

（責(zé)編 趙建榮）