劉世云

摘要：初中數(shù)學(xué)是中考必考科目，幾何推理和圖形證明是中考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容。幾何教學(xué)對學(xué)生的空間想象要求較高，死記硬背的方法完全行不通。因此，對幾何學(xué)習(xí)而言，找對學(xué)習(xí)方法極為重要。本文介紹了反證法、面積法、割補(bǔ)法、綜合分析法和幾何變換法這五種比較常用的幾何推理和圖形證明的方法，并舉出了相關(guān)例子，希望能夠?yàn)閺V大中學(xué)生幾何推理和圖形證明的學(xué)習(xí)提供參考意見。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 幾何推理 圖形證明 策略

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.153

一、反證法

學(xué)生在解圖形證明題時(shí)，應(yīng)該要有逆向思維，如果正面不好入手，就從反面著手。首先假設(shè)該命題結(jié)論的反面成立，依次進(jìn)行推理。如果所推導(dǎo)出來的結(jié)果與命題中的已知條件、公理、定義等相互矛盾，或者推導(dǎo)出來的兩個(gè)結(jié)果相互矛盾，就能說明這個(gè)假設(shè)的“結(jié)論反面成立”是不正確的，故而證明命題中的結(jié)論能夠成立，是正確的。

例：求證圖1中圓內(nèi)不過圓心的兩弦（不是直徑）一定不能相互平分。

已知條件：如圖1所示，AB、CD是☉O內(nèi)任意兩條相交于P的非直徑的弦。

求證：AB、CD一定不能相互平分于P。

[A][O][C][P][B][D]

圖1

證明：假設(shè)AB、CD相互平分于P，連結(jié)OP

∵P平分AB ? ? ? ? ? ∴OP⊥AB

又∵P平分CD ? ? ? ?∴OP⊥CD

可見，該結(jié)論與已知公理相矛盾，故該假設(shè)不成立。

∴AB、CD一定不能相互平分。

二、面積法

面積法是用面積之間的關(guān)系替代題目中需要證明的幾何量，將題目中的幾何量用相關(guān)圖形面積形式表示出來。相較而言，面積法更加直觀，更利于表述。

例：△ABC中，∠ABC的平分線是AD，求證：AB∶AC=BD∶DC。

證明：如圖2所示，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

[A][F][C][E][B][D]

圖2

則DE=DF

∵===

又∵=

∴=

三、割補(bǔ)法

割補(bǔ)法在解平面幾何圖形問題時(shí)比較常用，將原有的不完整的圖形補(bǔ)或者割成比較常用的三角形（等腰、等邊、直角三角形）、平行四邊形、矩形、正方形、梯形、圓形或者其他對稱圖形等。這樣一來，學(xué)生就能將原來不規(guī)則的、相對陌生圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的、熟悉的圖形進(jìn)行解答。

例：已知四邊形ABCD，∠A=60°，∠B、

∠D均為90°，其中AB=2，CD=1，分別求BC和AD的長。

[A][C][E][B][D]

圖3

解：如圖3所示，分別延長BC、AD，使其延長線相較于E

因?yàn)?，∠A=60°，∠B=90°

所以，∠E=30°

在△DCE中，

因?yàn)?，∠EDC=∠ADC=90°，CD=1

所以，CE-=2CD=2，DE=CD=

在△ABE中，同理可得：AE=2AB=4，BE=AB=2

所以，BC=BE-EC=2-2

AD=AE-DE=4-

四、分析綜合法

學(xué)生在進(jìn)行幾何推理時(shí)通常會(huì)有兩種思維模式，一種是根據(jù)原因推導(dǎo)結(jié)果，另一種則是根據(jù)結(jié)果推導(dǎo)原因。前者是指學(xué)生根據(jù)題目已知條件，運(yùn)用相關(guān)的公理、定義或者定理進(jìn)行推導(dǎo)，從而得出結(jié)論;后者是一個(gè)逆推的形式，即學(xué)生在解題時(shí)從結(jié)果出發(fā)，依次尋找能夠使結(jié)論成立的條件。綜合性的幾個(gè)問題通常較為復(fù)雜，僅靠一種方式解決起來相對困難，所以學(xué)生需要將兩種方式結(jié)合起來使用，即所謂的綜合分析法。

例如：如圖4所示，若點(diǎn)P是菱形ABCD中對角線BD上的一點(diǎn)，連結(jié)AP并延長，與CD相交于點(diǎn)E，與BC延長線相較于點(diǎn)F，求證：PC2=PE·PF。

[A][F][C][P][B][D][E]

圖4

解題思路分析：

要求證PC2=PE·PF，通常會(huì)先將這個(gè)等積式化成比例式，即=;要證明該比例式成立，只需要證明△FPC相似于△CPE。而在這兩個(gè)三角形當(dāng)中，∠CPF為公共角，所以只需證明∠F=∠PAD即可。

由已知條件中菱形的性質(zhì)知，∠BDA=∠CDB，AD=CD，

可得，△PAD全等于△PCD

所以，∠PAD=∠PCD

又因?yàn)锳D//BF，可知∠PAD=∠F

所以，∠PCD=∠F

故而證得PC2=PE·PF

五、幾何變換法

學(xué)生經(jīng)常會(huì)在在解某一些平面幾何問題時(shí)感到束手無策，因?yàn)檫@些題目中的圖形所隱含的幾何性質(zhì)比較分散、晦澀，不容易發(fā)現(xiàn)題目中已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系。此時(shí)就要求學(xué)生能夠巧妙地對圖形進(jìn)行一定程度的變換，對原有圖形中的某一部分進(jìn)行位移或者做其他較為恰當(dāng)?shù)淖兓?，以使圖形的幾何性質(zhì)能夠凸顯出來，分散的條件能夠匯聚起來。如此一來便能化難為易，解題思路更加清晰明了。

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（責(zé)編 趙建榮）