周永強，盛　謙，付曉東，劉曉敏

(中國科學院 a.武漢巖土力學研究所;b.巖土力學與工程國家重點實驗室， 武漢　430071)

地下洞室群面向對象有限元方法的探討

周永強a，b，盛謙a，b，付曉東a，b，劉曉敏a，b

(中國科學院 a.武漢巖土力學研究所;b.巖土力學與工程國家重點實驗室， 武漢430071)

摘要：以單元為代表類簡單介紹了地下洞室群面向對象有限元程序。利用自編的面向對象有限元程序實現(xiàn)了開挖模擬，并分析某地下廠房的分步開挖變形問題，其結果與Phase2軟件計算結果基本一致；實現(xiàn)了面向對象有限元處理動力響應的人工邊界輸入問題，驗證了其正確性，并對該地下廠房的動力響應規(guī)律進行了探討。結果表明：監(jiān)測點響應存在一定的滯后性，且峰值的放大系數(shù)比無洞室作用下的理論解要大；在此基礎上，分析了不同方法下的阻尼系數(shù)對地下洞室群動力響應的影響；驗證了面向對象有限元方法應用在地下洞室群中的可行性和適用性。研究成果為進一步研究動態(tài)彈塑性情況奠定了基礎。

關鍵詞：地下洞室群；面向對象；有限元程序；人工邊界；阻尼

1研究背景

傳統(tǒng)的有限元程序一般采用結構化設計，即采用例如Fortran編程語言的面向過程進行編寫，然而隨著工程問題復雜性的增多和計算規(guī)模的增大，面向過程的編程語言由于其自身的特點，如代碼重新利用率低、調試復雜、開發(fā)周期長等，潛在的問題日益突出，因而已經難以滿足開發(fā)和維護上的要求。

采用面向對象編程語言的有限元程序可以彌補上述不足，可改善有限元程序的性能，提高有限元程序的開發(fā)效率，并能為功能模塊的集成化、擴充提供有利條件。面向對象的程序設計方法與有限元方法相結合，并沒有從根本上改變有限元方法的核心思想，而是程序設計和開發(fā)軟件的一種新嘗試。

Forde等[2]在1990年首次提出了面向對象有限元程序設計，之后國內外對該設計方法做了許多研究。Zimmermann等[3]提出了面向對象有限元程序設計控制原理，Miller等[4]提出了基于面向對象有限元方法的非線性動力學分析的軟件框架，李于峰等[5]實現(xiàn)了面向對象有限元并行計算框架PANDA，Werner等[6]研究了利用面向對象的模型來設計和分析隧道工程問題，平揚等[7]實現(xiàn)了面向對象有限元在深基坑工程中的應用，楊志勇等利用面向對象有限元方法分析了結構抗震問題，項陽等[8]則提出了面向對象有限元方法在巖土工程中的應用實例，劉小生等[9]應用面向對象有限元方法解決大壩滲流問題，簡榮林等[10]利用C++語言開發(fā)了基于Windows平臺的巷道圍巖變形有限元分析軟件。

從上述可以看出，面向對象有限元已取得了相當大的進展，然而該方法應用到地下洞室群領域的研究少有報道。本文首先以單元類作為代表介紹地下洞室群面向對象有限元程序；其次利用自編程序來分析某地下廠房的開挖變形問題；最后對該地下廠房的動力響應規(guī)律進行了探討；以此為基礎，分析了不同方法下的阻尼系數(shù)對地下洞室群動力響應的影響。

2面向對象有限元程序設計

有限元的基本思想是先將整個計算區(qū)域離散成許多單元，然后在各個單元上計算，最后整合在一起，因此單元反映了整個有限元離散體系的拓撲屬性。本節(jié)將重點介紹單元類，以此為基礎簡單概括地下洞室群面向對象有限元程序。單元類中既包含了材料屬性、單元節(jié)點、單元類型、單元編號等基本數(shù)據(jù)屬性，同時又具備一些計算功能，如外荷載、單元的應力和應變、質量矩陣和阻尼矩陣等。該程序是用VC++語言來編寫的，單元類的程序如圖1所示。

圖1　單元類程序Fig.1　Class element

其中ComputeNewmarkLhsAt(TimeStep*)和ComputeNewmarkRhsAt(TimeStep*)分別為Newmark法計算動力方程左右兩邊的函數(shù)；giveDampMatrix(int, FloatMatrix*, TimeStep*)是計算阻尼矩陣的函數(shù)；giveStep()則為計算開挖步的函數(shù)；而FloatMatrix，F(xiàn)loatArray和IntArray分別是矩陣類、向量類和整數(shù)向量類；GaussPoint為高斯節(jié)點類；TimeStep則為時間步類，一般用于動力計算。從圖1可以看出，地下洞室群面向對象有限元程序既有一般有限元程序的共性，又有其自身的特點，如開挖、分析動力響應以及考慮阻尼等。

已知t和t+Δt時刻的動力方程分別為

(1)

(2)

假設Δut=ut+Δt-ut，則根據(jù)Newmark法有

(3)

結合式(3),由式(2)-式(1)可得

(4)

(5)

式中:K,M和C分別為剛度矩陣、質量矩陣和瑞利阻尼矩陣;α和δ是Newmark法參數(shù)；γ和β是不依賴頻率的參數(shù)；ρ為材料密度。對于解的穩(wěn)定性，Newmark法所選用的Δt的值是任意的，但考慮到精度要求，Δt則需小于體系固有振型最小周期的(1/10～1/20)。根據(jù)式(4)和式(5)可知，單元類的組裝過程如圖2所示。

圖2　單元類的組裝過程Fig.2　Assembly process of class element

3地下洞室群的開挖模擬

3.1基本思路

模擬地下洞室的開挖過程，重點是把作用在需要開挖部分的重力去除(不考慮構造應力)。地下洞室群在開挖之前，重力荷載是利用質量矩陣轉化成等效節(jié)點作用力來實現(xiàn)的，因此為模擬地下洞室群開挖過程中重力作用的變化，只需根據(jù)時間步將質量矩陣進行修改，而材料密度是影響質量矩陣的唯一因素。為了防止開挖的單元不起作用而使總體剛度矩陣產生奇異，開挖單元的彈性模量不能取得太大，也不能取得太小，一般比周圍巖土體彈性模量小5至8個數(shù)量級[11]，具體思路如圖3所示。

圖3　地下洞室群開挖過程的思路Fig.3　Idea of the excavation process ofunderground caverns

圖4　半無限空間體簡化圖Fig.4　Simplified diagramof half infinite space body

為驗證該程序的開挖思想的正確性，設有半無限空間體，如圖4所示，圖中數(shù)字表示單元節(jié)點。材料的彈性模量為1.2×104MPa，泊松比為0.2，密度為2.7×103kg/m3。每個單元的尺寸大小均為6.25 m×25 m。初始時該體系不開挖，之后開挖最上面的單元，則開挖后單元節(jié)點的位移為[11]

(6)

式中:u0為初始位移，Δu為變形回彈位移?？煞謩e按下式計算：

(7)

(8)

式中：Δh為開挖的豎向高度;υ為材料的泊松比。運用自編程序對體系進行開挖模擬，其結果如表1所示。從表1中看出，數(shù)值解與解析解基本一致。

表1　體系開挖步1后節(jié)點位移的數(shù)值解和解析解

3.2實例驗證

某水電站地下廠房某斷面的計算剖面如圖5所示，其主廠房、主變室和尾調室的尺寸大小分別為29 m×57 m，20 m×37 m，26 m×87 m，整個模型尺寸為1 500 m×600 m。材料的彈性模量為1.2×104MPa，泊松比為0.2，密度為2.7×103kg/m3。

圖5　地下洞室群某計算斷面Fig.5　Cross-section of underground cavernsfor computation

圖6　地下洞室群開挖工序及監(jiān)測點布置Fig.6　Excavation process of underground cavernsand layout of monitoring points

圖7　地下洞室群主變室各測點開挖變形Fig.7　Deformation of monitoring points in maintransformer chamber of underground caverns

該地下廠房共分為10步開挖，開挖工序及廠房的監(jiān)測點的布置如圖6所示。利用自編程序來模擬該地下廠房的開挖過程。利用Phase2軟件建立相同的計算模型，材料參數(shù)保持不變，得到相應監(jiān)測點的結果。圖7為地下洞室群主變室各監(jiān)測點的位移隨開挖步數(shù)的變化圖，限于篇幅，其他洞室就不一一給出。從圖7中可知，自編程序與Phase2軟件計算的結果基本一致，說明該程序的開挖基本思路是正確的，也說明了該程序能正確分析地下洞室群的開挖問題。

4地下洞室群的波動影響

4.1人工邊界及地震輸入

要知道地下洞室群的波動影響，首先要解決其地震輸入問題，即動力荷載在邊界上的輸入。動力荷載的輸入方法有2種：位移輸入和應力輸入，本程序采用應力輸入，即在輸入邊界上設置人工邊界，并同時把速度時程通過式(9)和式(10)轉換成應力時程。

(9)

(10)

式中：vn和vs分別為輸入波在模型邊界上質點的法向和切向的速度分量；ρ為材料密度；CP和CS分別為P波和S波在介質中的傳播波速。

其中人工邊界的作用是吸收邊界上的入射波，減少因邊界上存在反射波而對動力分析的結果產生影響。人工邊界大致可以分為局部人工邊界和全局人工邊界[12]，局部人工邊界由于其計算時間少、效率高等特點得到了廣泛的應用。局部人工邊界一般包括黏性邊界、黏彈性邊界、旁軸邊界和透射邊界等4種邊界[13]，因黏性邊界簡單，易于編程實現(xiàn)，且效果較好，綜合考慮本程序采用了黏性邊界。為體現(xiàn)面向對象程序的多態(tài)性和繼承性，將含有黏性邊界的單元發(fā)展成黏性邊界單元，即其剛度矩陣和質量矩陣保持不變，阻尼矩陣則為含有邊界特性阻尼矩陣，即根據(jù)虛功原理，采用類似質量矩陣的集中形式(四邊形單元)，即

(11)

在分析動力情況之前，往往先考慮體系的靜力平衡問題。劉晶波等[14-15]雖已將二維黏彈性邊界發(fā)展成黏彈性邊界單元，又推導了三維等效黏彈性邊界單元，并在此基礎上建立了三維黏彈性靜動力統(tǒng)一人工邊界[16]，然而用此邊界來分析靜力問題時，會有一定的誤差[17]，且參數(shù)的選取有一定的主觀性。另外計算靜力問題(或動力問題)，選取相對應的靜力(或動力)分析方法，然而靜力平衡之后分析動力問題，若不去掉約束條件，同時又不施加約束反力，則整個體系是在不平衡狀態(tài)下計算動力荷載，因此得出的結果會出現(xiàn)很大的波動，與實際結果不相符。因此分析靜動力問題時，應選擇的思路為：以靜力分析結果的應力場作為初始條件進行動力分析時，為保證體系在動力計算初始時刻處于靜力平衡狀態(tài)，可在輸入靜應力場的同時輸入引起此應力場的荷載和約束，即在轉換邊界時，需去掉約束條件，同時施加相應的約束反力。

為驗證黏性邊界和地震波輸入方法在該程序中的可行性，建立了圖8所示的 200 m×2 000 m的計算模型，模型底部設置了固定約束，兩側設置了法向約束。材料參數(shù)：彈性模量為1.2×104MPa，泊松比為0.2，密度為2.7×103kg/m3。不考慮阻尼的影響，在模型左邊輸入一個周期的正弦速度波，頻率為1 Hz，峰值為1 m/s。在模型左右兩邊設置監(jiān)測點A和B，分別考慮在模型左邊設置黏性邊界和不設置黏性邊界2種情況，觀察監(jiān)測點的速度響應時程，其結果如圖9所示。波從模型左端傳到右端，由于自由邊界反射后左行波疊加作用，使得監(jiān)測點B的峰值速度是入射波峰值速度的2倍，即放大了2倍，這一現(xiàn)象與理論解一致，且與文獻[18]得出的結果一致，同時黏性邊界較好地模擬了左行波穿過人工邊界向無限域輻射的過程。

圖9　各監(jiān)測點的速度時程曲線Fig.9　Curves of velocity vs. time at monitoring points

圖8動力計算模型圖
Fig.8Model for dynamic computation

4.2波在地下洞室群的傳播規(guī)律

圖11　主變室各監(jiān)測點加速度時程峰值的放大倍數(shù)Fig.11　Peak amplification factor of accelerationprocess at monitoring points of maintransformer chamber

基于上述黏性邊界理論和地震波輸入方法的正確性，以上述水電站地下廠房某斷面(地下洞室群開挖完成之后)作為實例，各種材料參數(shù)和尺寸都保持不變，不考慮阻尼的影響，在模型底端輸入一個周期的正弦加速度波(頻率為1 Hz，峰值為1 m/s2)，并施加黏性邊界。為研究地下洞室群的動力響應，監(jiān)測布置點如圖5和圖6所示。同樣利用該自編程序計算，得到地下洞室群各監(jiān)測點的加速度響應見圖10和圖11。由圖10可知，各監(jiān)測點動力響應存在滯后性，離模型底端越遠，滯后的時間越長，如監(jiān)測點D滯后了約0.05 s，而監(jiān)測點B則大概滯后了0.22 s；由于洞室的影響，監(jiān)測點B的最大放大系數(shù)為2.08，大于2.0，監(jiān)測點C的最大放大倍數(shù)為1.21，也超過了1.0；0.57 s是監(jiān)測點A的波形時變化的轉折點，即0.57 s之前基本與輸入波形相同，之后則完全不一致，這是輸入波在洞室中產生反射波與輸入波疊加作用的結果。綜上分析，洞室的存在會增加地震波對圍巖變形的影響，因而需更加關注洞室頂拱和頂板的變形。

表2　瑞利阻尼系數(shù)的確定方法

5阻尼對地下洞室群動力響應的影響

阻尼的產生主要源于材料內部摩擦以及可能存在的接觸表面的滑動。在實際分析中，精確確定阻尼矩陣是相當困難的，通常是將阻尼矩陣表示為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合(瑞利阻尼)，即

(12)

其中α和β為瑞利阻尼系數(shù)，它們之間滿足下式：

(13)

式中ξ和ω分別為阻尼比和圓頻率。對于瑞利阻尼系數(shù)的確定，一般有如表2所示的5種方法[19]。

采用第3節(jié)中相同的計算模型和材料參數(shù)，外荷載也一致，假定該模型ξ=0.05，ω=1 Hz，則計算出各種方法的阻尼系數(shù)見表2。同樣利用該程序對該模型進行動力時程分析，分析不同方法下的阻尼系數(shù)對地下洞室群響應的影響。圖12給出了監(jiān)測點C的加速度時程響應，圖13表示阻尼比與圓頻率之間的關系。表3展示了該監(jiān)測點加速度峰值與阻尼系數(shù)的關系。從圖12可以看出，無阻尼得出的加速度時程曲線與所有方法得出的時程曲線在峰值附近區(qū)域內有所不同，即無阻尼的有2個極大值點和2個極小值點，而所有有阻尼的極大值點和極小值點則各僅有1個，同時無阻尼的振動周期比有阻尼的要??；阻尼對峰值有一定的折減作用，包括最大值和最小值；方法1最大值的折減量略小于其他方案，但最小值的折減量卻明顯大于其他方案，達到17.89%，可能是由于該方案高估了所有頻率范圍內的阻尼；方法4和方法5得出的加速度峰值最接近，時程響應也比較一致。綜合考慮，方法1最簡單，但效果最不好，其余的幾種方法大同小異，沒有一種有特別的優(yōu)勢，因此要精確知道阻尼對洞室群動力響應的影響還需更進一步的研究。

圖12　主變室底板監(jiān)測點C的加速度時程曲線Fig.12　The acceleration process at monitoring point Cof main transformer chamber floor

圖13　阻尼比與圓頻率的關系Fig.13　Relationship between damping ratio andcircular frequency

方法峰值/(m·s-2)與無阻尼相比/%最大值最小值最大值折減最小值折減方法11.148-0.9824.8117.89方法21.138-1.0925.648.70方法31.139-1.0685.5410.65方法41.127-1.1146.556.81方法51.124-1.0996.778.08無阻尼1.206-1.19600

6結論

本文將面向對象有限元方法應用到地下洞室群中，得出了以下結論：

(1) 從單元類方面介紹了地下洞室群面向對象有限元程序，說明了該程序既有一般有限元的共性，也有其自身的特點。

(2) 應用該自編的面向對象有限元程序分析某水電站地下廠房的開挖問題，得出的結果與Phase2軟件計算的結果吻合很好，說明了該程序可以很好地模擬地下洞室開挖問題。

(3) 在該面向對象有限元程序實現(xiàn)了人工邊界和地震波輸入，在此基礎上分析了波在地下廠房中的傳播規(guī)律，結果表明監(jiān)測點響應峰值的放大系數(shù)比無洞室作用下的理論解要大。

(4) 在該自編程序中設置了瑞利阻尼，并分析了不同方法下的阻尼系數(shù)對地下廠房主變室底板監(jiān)測點動力響應情況的影響，結果顯示有阻尼的響應時程與無阻尼相比存在一定區(qū)域內的不同，且峰值有一定的折減，雖然方法1最簡單，但效果最不好，其余的幾種方法則大同小異，沒有一種有特別的優(yōu)勢，因此要精確知道阻尼對洞室群動力響應的影響還需更進一步的研究。

(5) 該程序雖很好地分析了地下洞室群的靜力和動力問題，但僅局限于靜態(tài)本構模型問題，因此考慮動態(tài)本構模型將是該程序以后的重點方向。此外本文輸入的地震荷載都是正弦波，并不能代表實際的地震波。

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(編輯：劉運飛)

Discussion on the Application of Object-Oriented FEMto Underground Caverns

ZHOU Yong-qiang1,2, SHENG Qian1,2, FU Xiao-dong1,2, LIU Xiao-min1,2

(1. Institute of Rock and Soil Mechanics,Chinese Academy of Sciences, Wuhan430071,China;

2.State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering,Chinese Academy

of Sciences, Wuhan430071, China)

Abstract:Object-oriented FEM program of underground caverns is briefly introduced with class element as representative. A program code written in VC + + is presented to simulate the stepped excavation of an underground powerhouse and to analyse the deformation. The result is consistent with that of Phase2 software. The seismic input in dealing with dynamic response is implemented through artificial boundary by using object-oriented FEM. Furthermore, the law of dynamic response of the underground powerhouse is analysed and the result shows that the response of monitoring points lags behind and the amplification factor of peak is larger than theoretical solution in the absence of cavern under the same action. On this basis, the influence of damping coefficient on the dynamic response of underground caverns by different methods is researched. The feasibility and applicability of object-oriented FEM in underground caverns are validated. The research result lays a foundation for further study on elastic-plastic behavior under dynamic load.

Key words:underground caverns; object-oriented; FEM; artificial boundary; damping

2015,32(07):89-93

DOI:10.3969/j.issn.1001-5485.2015.07.016

作者簡介：蘭滔(1989-)，男，重慶綦江人，碩士研究生，主要從事港口航道與近海工程方面的研究，(電話)15111973922(電子信箱)lantao944266569@163.com。

基金項目：國家自然科學基金項目(51209242)

收稿日期：2014-01-08；修回日期：2014-01-25

中圖分類號：TV554

文獻標志碼：A

文章編號：1001-5485(2015)07-0082-07