一類帶跳倒向重隨機(jī)微分方程解的軌道唯一性

楊敘1，李碩2

(1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 昌吉 831100)

摘要:建立一類帶跳倒向重隨機(jī)微分方程解的軌道唯一性，此工作是 He 等給出結(jié)果的一般化．

關(guān)鍵詞:帶跳倒向重隨機(jī)微分方程；軌道唯一性；Gauss 白噪聲；Poisson 隨機(jī)測(cè)度

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.10.010

收稿日期：2015-04-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

作者簡(jiǎn)介：楊敘,寧夏銀川人,博士,講師.

通訊作者：李碩,甘肅天水人,副教授．

中圖分類號(hào)：O212文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

倒向重隨機(jī)微分方程最初是在文獻(xiàn)[1]中建立的，文獻(xiàn)[2-5] 中建立了隨機(jī)偏微分方程和倒向重隨機(jī)微分方程的關(guān)系,并通過對(duì)倒向重隨機(jī)微分方程的研究,得到了隨機(jī)偏微分方程解的性質(zhì).特別地,文獻(xiàn)[2]中建立了一類帶跳倒向重隨機(jī)微分方程解的軌道唯一性準(zhǔn)則.

WT([0,t]×A)=W([T-t,T]×A),

0≤t≤T,A∈B(E).

0≤t≤T,B∈B(Ui).

{ξs:s∈[0,T]}

({ξs(u):s∈[0,T],u∈E},{ξs(u):s∈[0,T],

u∈F},{ξs(u):s∈[0,T],u∈Ui})

組成的空間:

考慮以下帶跳倒向重隨機(jī)微分方程

(1)

本文的主要目的是研究方程(1)解的軌道唯一性，先給出以下條件.

條件1 (i)函數(shù)x→β(x)是R上的連續(xù)函數(shù)并且可以分解為β=β1-β2，其中β2為連續(xù)非遞減函數(shù)．

(ii)存在一個(gè)R上的不減的凹函數(shù)x→γ(x)，使得∫0+γ(x)dx=∞且

∫U1|g1(x,u)-g1(y,u)|μ1(du)+

|β1(x)-β1(y)|≤γ(|x-y|),x,y∈R.

(iii)對(duì)每個(gè)u∈U0,x→g0(x,u)是不減函數(shù)，且

∫E|σ(x,u)-σ(y,u)|2π(du)+

∫U0|g0(x,u)-g0(y,u)|2u0(du)≤

C|x-y|,x,y∈R.

定理1 假定條件 1成立，且

{(Y1(t),Z1(t),ζ1(t,u)):0≤t≤T,u∈F},

{(Y2(t),Z2(t),ζ2(t,u)):0≤t≤T,u∈F}

為(1)式滿足Y1(T)=Y2(T)的解．則對(duì)于每個(gè)0≤t≤T，都有P{Y1(t)=Y2(t)}=1成立且

(2)

注:在條件 1 中，若β1≡0，γ(x)=x，則定理 2為文獻(xiàn)[2]中定理 2.3 的結(jié)果．

證明令α(t)=Y1(t)-Y2(t)，β1(s)=β1(Y1(s))-β1(Y2(s)),β2(s)=β2(Y1(s))-β2(Y2(s)),Z(t)=Z1(t)-Z2(t),ζ(t,u)=ζ1(t,u)-ζ2(t,u),γi(t,u)=gi(Y1(t),u)-gi(Y2(t),u) ,其中i=0,1．由(1)式可知，

(3)

φn(α(s))-φn(α(s))γ0(s,u)]μ0(du)-

φn(α(s))-φn(α(s))ζ(s,u)]v(dz)

(4)

其中,Mn(t)是一個(gè)期望為零的隨機(jī)過程．注意到第三項(xiàng)和第五項(xiàng)是非正的．注意到，當(dāng)z≥0時(shí)，φ'(z)≥0，當(dāng)z≤0時(shí)，φ'(z)≤0，于是由條件 1 知(4)式中的第2項(xiàng)也是非正的.由函數(shù)序列{φn}的性質(zhì)及條件1易得到，當(dāng)n→∞時(shí)，

由條件1及文獻(xiàn)[6]中定理 3.2 的討論，證明當(dāng)n→∞時(shí)，

ψn(s)=∫U0[φn(α(s)+γ0(s,u))-φn(α(s))-

φn(α(s))γ0(s,u)]μ0(du)→0

此時(shí)，由(4) 式和 Fatou 引理知

由函數(shù)x→γ(x)的凹性及Jensen不等式可得到

這蘊(yùn)含著E[|α(t)|]=0，因此P{Y1(t)=Y2(t)=1}．利用(3)式知

對(duì)上式兩邊平方再取期望可得

這就證明了(2)．

參考文獻(xiàn)：

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[3]Li Z, Liu H, Xiong J, et al. Some properties of the generalized Fleming-Viot processes[J]. Stochastic Process. Appl., 2012, 123: 4129-4155．

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[6]Fu Z, Li Z. Stochastic equations of non-negative processes with jumps[J]. Stochastic Process Appl., 2010, 120: 306-330．

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

Pathwise Uniqueness for A Class Backward Doubly SDEs with Jumps

YANG Xu1,LI Shuo2

(1.SchoolofMathematicsandInformationScience,BeifangUniversityofNationalities，Yinchuan,

Ningxia750021,China;2.DepartmentofMathematics,ChangjiUniversity,Changji,Xinjiang831100,China)

Abstract:In this paper,the pathwise uniqueness for a class of backward doubly stochastic differential equations with jumps is established．It generalizes the recent work of Section 2 in He et al．

Key words:Backward doubly stochastic equation with jumps；pathwise uniqueness；Gaussian white noise；Poisson random measure