第一作者張昱男，博士生，1982年9月生

多自由度系統(tǒng)中標(biāo)量傳遞率的不變性及其應(yīng)用

張昱，朱彤，周晶

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024)

摘要：標(biāo)量傳遞率函數(shù)描述了多自由度系統(tǒng)中兩個自由度的響應(yīng)之間的關(guān)系，隨著應(yīng)用范圍的延伸，近年來標(biāo)量傳遞率逐漸受到了重視。本文從串聯(lián)系統(tǒng)出發(fā)，證明了多激勵作用下多自由度系統(tǒng)中標(biāo)量傳遞率在某些條件下具有不變性，提出了該性質(zhì)的統(tǒng)一的適用模型，并通過數(shù)值方法驗證了結(jié)論的正確性。在振動臺模型實驗中的應(yīng)用表明，該性質(zhì)可以在實際問題中起到指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：傳遞率；標(biāo)量傳遞率函數(shù)；模態(tài)參數(shù)識別

基金項目：國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2011CB013702);國家自然科學(xué)基金委創(chuàng)新研究群體基金(51121005)

收稿日期：2013-12-11修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:TB123文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Invariability of scalar transmissibility in a MDOF system and its application

ZHANGYu,ZHUTong,ZHOUJing(State Key Lab of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology Dalian 116024, China)

Abstract:Scalar transmissibility attracting more and more attention in recent years describes the relationship between responses from two positions of one multi-degree of freedom (MDOF) system. The invariability of scalar transmissibility in a MDOF system under multiple loads was proved here, and the results were further extended to one unified model. A numerical test was performed to verify the correctness of the conclusion. Then, its application in a shaking table model test indicated that this property is helpful to dealing with practical problems.

Key words:transmissibility; scalar transmissibility function; modal parameter estimation (MPE)

經(jīng)過60余年的發(fā)展，運(yùn)行模態(tài)分析(Operational Modal Analysis，OMA)技術(shù)日臻成熟，目前的研究主要集中于解決一些具體的問題，源于白噪聲激勵假設(shè)的有色激勵問題即是其中之一[1]。Deviendt等[2-3]提出了一種獨特的基于傳遞率的OMA方法，這種方法不限制激勵的成分，是一種從根本上解決有色激勵問題的方案。

多自由度系統(tǒng)中的傳遞率分為兩類，一類描述兩個不同自由度的響應(yīng)間的關(guān)系，稱作轉(zhuǎn)移函數(shù)(transmissibility function)[4]，偽傳遞率(pseudo-transmissibility)[5]，標(biāo)量傳遞率(scalar transmissibility)[6]或直接傳遞率(direct transmissibility)[7]；另一類描述系統(tǒng)中不相交的兩個自由度集合間的關(guān)系，稱作多變量傳遞率(multivariable transmissibility)[6]，整體傳遞率(global transmissibility)[8]或簡稱為傳遞率(transmissibility)[9]。得益于在損傷識別[5, 10]，隔振[11]等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，第二類傳遞率的性質(zhì)得到了較為深入的研究，Ribeiro等[9, 12]提出了包括不變性在內(nèi)的一些性質(zhì)；相比之下對第一類傳遞率的研究非常有限。

Deviendt等[6, 13-15]提出的方法以第一類傳遞率為基礎(chǔ)，本文中稱其為標(biāo)量傳遞率函數(shù)(Scalar Transmissibility Function，STF)。STF與模態(tài)參數(shù)間不存在直接的聯(lián)系，但如果不同荷載條件下相同兩點間的STF僅有有限個交點，則分析頻段內(nèi)模態(tài)頻率的集合將是對應(yīng)交點頻率集合的子集，這就是基于STF的OMA的理論基礎(chǔ)。顯然，基于STF的OMA適用的一個必要條件是不同荷載下相同兩點間的STF互異，因此在設(shè)計工況時必須避免工況改變但STF不變的情況出現(xiàn)，確實無法避免則必須選擇其它的OMA方法。對多自由度系統(tǒng)中STF不變性的研究，目前僅見于文獻(xiàn)[16]，Liu等以單激勵下的串聯(lián)系統(tǒng)作為研究對象，提出了三種形式的結(jié)構(gòu)模型，證明在一定條件這些模型中的STF不隨激勵的變化而改變，并以數(shù)值算例驗證了結(jié)論的正確性。

本文以與文獻(xiàn)[16]不同的方式證明了STF的不變性在多激勵條件下同樣存在，并提出了該性質(zhì)的統(tǒng)一適用模型；隨后通過數(shù)值算例驗證了該結(jié)論的正確性；在第三節(jié)中將該性質(zhì)應(yīng)用于振動臺模型實驗中，對實驗方案的選擇起到了指導(dǎo)作用；最后，對結(jié)論進(jìn)行了簡練的總結(jié)。

1理論

多自由度系統(tǒng)的標(biāo)量傳遞率函數(shù)(STF)tij(s)定義為

(1)

式中，s為拉普拉斯域變量；Yi(s)和Yj(s)分別為自由度i和j的運(yùn)動響應(yīng)(位移，速度或加速度)的拉普拉斯變換。分別稱自由度i和j為原點自由度和參考自由度。

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]可表示為動剛度矩陣[Z(s)]的逆矩陣，即

(2)

式中，N是自由度的數(shù)量；adj([Z(s)])是[Z(s)]的伴隨矩陣；Aij是[Z(s)]關(guān)于第i行第j列元素的代數(shù)余子

式。[Z(s)]與系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣[M]，阻尼矩陣[C]和剛度矩陣[K]之間的關(guān)系為

(3)

可以將Yi(s)表示為如下的各自由度的激勵的加權(quán)和的形似

(4)

綜合式(1)和式(4)，得到

(5)

顯然STF只包含了系統(tǒng)某部分的零點信息，與作為整體性質(zhì)的極點信息無關(guān)。

圖1　N自由度串聯(lián)系統(tǒng) Fig.1 N-DOF series system

考慮如圖1所示的由集中質(zhì)量，黏滯阻尼器和線性彈簧組成的N自由度串聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動剛度矩陣具有如下的三對角結(jié)構(gòu)

(6)

其中，mi為第i個質(zhì)量塊的質(zhì)量，cij和kij分別為i、j兩個質(zhì)點間的阻尼和剛度；ci和ki定義為

ci=ci-1,i+ci,i+1

ki=ki-1,i+ki,i+1

設(shè)p

(7)

(8)

式(7)和式(8)中的子矩陣[Z1(s)]~[Z5(s)]按如下方式定義

[Z3(s)]=[Z[i+1:N,i+1:N]]∈C(N-i)×(N-i)

(9)

式中，Z[i:j,k:l]表示由[Z(s)]的第i到第j行，第k列到第l列元素組成的子矩陣。假設(shè)系統(tǒng)中僅作用于自由度p的激勵不為零，將式(7)和式(8)代入式(5)中，得到

(10)

(11)

(12)

顯然，式(10)與式(12)的結(jié)果完全一致。通過相似的方式可以證明若i

如果系統(tǒng)是線性的，多個激勵共同作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)將等于每個激勵單獨作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的疊加。因此依次在自由度集合P={p1,p2,…,pn}中的每一個元素上施加荷載時系統(tǒng)的響應(yīng)之和等于在這n個荷載共同作用下的結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，即

(13)

(14)

根據(jù)前面的結(jié)論，如果P中的元素滿足max(p1,p2,…,pn)≤ min(i,j)或min(p1,p2,…,pn)≥ max(i,j)，有

(15)

將式(15)代入(14)中，得到

(16)

顯然，在如圖1所示的串聯(lián)系統(tǒng)中，只要非零激勵僅作用于某兩個自由度所圍區(qū)域的一側(cè)，這兩個自由度間的STF與激勵的數(shù)量和分布無關(guān)。

考慮到前面的討論中未規(guī)定自由度編號的規(guī)則，可以進(jìn)一步將結(jié)論加以推廣：如果一個線性系統(tǒng)能夠劃分為如圖2所示的兩個子結(jié)構(gòu)A和B，且A和B中任一自由度都至多與一個自由度p相聯(lián)系，則當(dāng)激勵作用于A的自由度或p時，B中任意兩個自由度之間或者p與B中任意自由度之間的STF與激勵的數(shù)量，作用位置，大小，分布和屬性無關(guān)，僅由與子結(jié)構(gòu)B的物理性質(zhì)及p和B間聯(lián)系的屬性決定。

圖2　子結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.2 Substructures

2數(shù)值驗證

本節(jié)通過一組數(shù)值實驗驗證第1節(jié)中的結(jié)論。

考慮如圖3所示的兩個由板和桿組成的結(jié)構(gòu)，所有的板均在四個角受到簡支約束，其參數(shù)如表1所示。結(jié)構(gòu)Ⅰ的A、B板間距0.12m；結(jié)構(gòu)Ⅱ的B、C板與A板的間距分別為0.12 m和0.06 m；結(jié)構(gòu)Ⅲ與結(jié)構(gòu)Ⅰ的區(qū)別僅在于將連接節(jié)點390和節(jié)點72的桿改為連接節(jié)點390和節(jié)點96。為了滿足僅有1個自由度關(guān)聯(lián)的前提，所有桿的端點都僅在Z方向與A板中的相應(yīng)節(jié)點耦合。

表1　結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ中構(gòu)件的參數(shù)

對結(jié)構(gòu)Ⅰ~Ⅲ施加如表2所示的5種工況，其中工況3中作用于結(jié)構(gòu)Ⅱ的不同節(jié)點上的隨機(jī)波互不相關(guān)。計算各工況中板A節(jié)點16到195，80到72的Z方向位移間的STF，t16,195，t80,72，所得結(jié)果如圖4和圖5所示?？梢钥吹?，在滿足前提條件的情況下，不同工況中板A的自由度間的STF是基本一致的，與激勵類型、數(shù)量和其它結(jié)構(gòu)的形式無關(guān)。如果前提條件得不到滿足，雖然節(jié)點72與節(jié)點96位置非常接近，且結(jié)構(gòu)Ⅲ中僅對一根桿進(jìn)行了改動，但是不同工況中板A的自由度間的STF的變化是顯著的。需要說明的是，圖4中沖擊激勵下的STF中存在的某些“非一致”的震蕩是由如泄漏和加窗這樣的因素產(chǎn)生的，因為隨著信號截斷長度和指數(shù)窗衰減率的改變，這些震蕩的幅度也會發(fā)生變化，但整體的一致性趨勢卻不會隨之變化；另外，通過平穩(wěn)的隨機(jī)響應(yīng)計算得到的STF一般都不存在類似的問題，因此可以認(rèn)為這些震蕩不是STF本身的差異。

圖3　結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ Fig.3 Structure Ⅰ & Ⅱ

工況結(jié)構(gòu)荷載類型作用節(jié)點作用方向1Ⅰ沖擊294Z2Ⅰ沖擊72Z3Ⅱ隨機(jī)波220,285Z4Ⅰ沖擊96Z5Ⅲ沖擊294Z

圖4　工況1~3中的t 16,195(上) 和t 80,72(下) Fig.4 t 16,195 (top) and t 80,72 (bottom) from load condition 1~3

圖5　工況1，4，5中的t 16,195(上) 和t 80,72(下) Fig.5 t 16,195 (top) and t 80,72 (bottom) from load condition 1, 4 and 5

3實驗應(yīng)用

本節(jié)中利用STF的不變性對實驗的方案進(jìn)行選擇。

考慮如圖6所示的管線振動臺模型實驗系統(tǒng)，模型通過夾具固定在振動臺臺面上，水平向振動響應(yīng)通過自南向北布設(shè)的10個加速度傳感器(H1~H10)捕捉。對于實驗設(shè)計和特征提取來說，模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)都是必不可少的，考慮到實驗中管線將處于較為復(fù)雜激勵條件下，所以通過OMA技術(shù)獲取模態(tài)參數(shù)更為合適。

整個實驗系統(tǒng)可以劃分為如圖7所示的四個部分，實驗過程中振動臺控制系統(tǒng)驅(qū)動臺面運(yùn)動，臺面再通過固定在其上的夾具將這種運(yùn)動傳遞給模型。由于臺面的剛度和質(zhì)量遠(yuǎn)大于模型的，可以近似認(rèn)為圖7中的實驗系統(tǒng)能夠表示為圖2所示結(jié)構(gòu)形式，其中振動臺控制系統(tǒng)提供激勵，與振動臺臺面耦合的控制系統(tǒng)部件是子結(jié)構(gòu)A，振動臺臺面和夾具相當(dāng)于自由度b，將模型作為子結(jié)構(gòu)B。這樣，無論振動臺以何種方式輸入平動激勵，在激勵的非零頻帶中模型在對應(yīng)方向的響應(yīng)都將保持不變，因此基于STF的OMA方法不適用于該類實驗，應(yīng)該另選其它的分析方法。

圖6　管線振動臺模型實驗系統(tǒng)及水平向加速度測點 Fig.6 Vibration table test system of pipe model and acceleration measuring point of horizontal direction

圖7　振動臺模型實驗系統(tǒng)的組成 Fig.7 Components of vibration table model test system

這里基于文獻(xiàn)[15]中提出的虛擬頻響矩陣(virtual frequency response matrix)驗證上述判斷的正確性，下面簡略介紹文獻(xiàn)[15]中方法的原理。在Nl次互不相關(guān)的加載過程中，關(guān)于參考自由度j可以得到Nl(No-1)個STF，將這些STF關(guān)于每個復(fù)變量s組成矩陣[T(s)]，規(guī)模為(No-1)×Nl。[T(s)]的第i行第l列的元素是第l種荷載條件下自由度i到j(luò)間的STF，表示為tij(l)(s)。將[T(s)]進(jìn)行奇異值分解，表示為

[T(s)]=[U(s)][Σ(s)][V(s)]H

(17)

奇異值矩陣[Σ(s)]是由Nσ=min(Nl,No-1)個以降序排列的奇異值組成的對角矩陣，表示為[Σ(s)]=diag(σ1(s),σ2(s),…,σNσ(s))，其中σ1(s)≥σ2(s)≥…≥σNσ(s)。

可以證明[2]，tij(l)(s)在系統(tǒng)極點s=λr處僅與對應(yīng)模態(tài)在自由度i和j上的振型系數(shù)有關(guān)，表示為

(18)

因此，當(dāng)s→λr時，矩陣[T(s)]將趨于如下的秩一矩陣

(19)

矩陣[T(s)]的偽逆可基于奇異值分解表示為

(20)

偽逆矩陣[Σ(s)]+是如下的由奇異值的倒數(shù)組成的對角矩陣

由于當(dāng)s→λr時，[T(s)]除σ1外的其它奇異值都近似為0，所以

(22)

式中，c是不為零的常數(shù)。此時偽逆矩陣[T(s)]+的全部元素都將趨于無窮大，表示為

(23)

定義虛擬頻響矩陣[Hvirt(ω)]為[15]

[Hvirt(ω)]=[T(ω)]?

(24)

其中，ω是圓頻率變量。顯然，系統(tǒng)極點集合是[Hvirt(ω)]中元素的極點集合的子集。

圖8　由不同荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)得到的虛擬頻響矩陣的 元素。上：第1行第1列元素；下：第2行第5列元素 Fig.8 Elements of virtual frequency response matrix from structure responses of different load conditions. top: element from row 1 column1; bottom: element from row 2 column 5

根據(jù)這一理論，基于振動臺先后分別輸入水平向白噪聲，EL-centro1940波，天津波時圖6中全部測點的加速度響應(yīng)可以得到一系列規(guī)模為3行9列的虛擬頻響矩陣，其第1行第1列和第2行第5列的元素關(guān)于頻率的圖像如圖8所示。顯然，圖像中未包含顯著的模態(tài)信息。

4結(jié)論

綜上所述，本文的結(jié)論可以系統(tǒng)地表述如下：如果一個線性結(jié)構(gòu)可以表示為如圖 2所示的子結(jié)構(gòu)A-中間自由度p-子結(jié)構(gòu)B的形式，則在激勵不為零的頻段中，子結(jié)構(gòu)B中的STF具有如下的性質(zhì)。

(1)子結(jié)構(gòu)A中各自由度的質(zhì)量或約束條件的變化不會對子結(jié)構(gòu)B中的STF造成影響；

(2)子結(jié)構(gòu)A中各自由度間的聯(lián)系屬性(剛度，阻尼)的變化不會對子結(jié)構(gòu)B中的STF造成影響；

(3)如果系統(tǒng)中的激勵全部作用于子結(jié)構(gòu)A，或自由度p上，在激勵不為零的頻段中子結(jié)構(gòu)B中的STF或者自由度p與子結(jié)構(gòu)B中自由度間的STF與激勵的數(shù)量，大小，分布和屬性無關(guān)。

本文中通過數(shù)值算例驗證了以上性質(zhì)的有效性；在振動臺模型實驗中的成功應(yīng)用表明，這些性質(zhì)對處理實際的問題是有價值的，隨著針對標(biāo)量傳遞率函數(shù)的研究的深入，這種價值也必然會得到越來越多的體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Jacobsen N J. Separating structural modes and harmonic components in operational modal analysis[C]. IMAC XXIV,St. Louis, Missouri, USA,2006.

[2]Devriendt C, Guillaume P. The use of transmissibility measurements in output-only modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2007,21(7):2689-2696.

[3]De Sitter G, Devriendt C, Guillaume P. Transmissibility-based operational modal analysis: Enhanced stabilisation diagrams[J]. Shock and Vibration,2012,19(5):1085-1097.

[4]Bendat J S, Piersol A G. 隨機(jī)數(shù)據(jù)分析方法[M]. 凌福根 譯. 北京:國防工業(yè)出版社,1976.

[5]Sampaio R P C, Maia N M M, Ribeiro A M R, et al. Damage detection using the transmissibility concept[C]. 6th International Congress on Sound and Vibration,Copenhagen, Denmark,1999.

[6]Devriendt C, De Sitter G, Guillaume P. An operational modal analysis approach based on parametrically identified multivariable transmissibilities[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2010,24(5):1250-1259.

[7]Maia N M M, Urgueira A P V, Almeida R A B. Whys and wherefores of transmissibility[A]. Beltran F. Vibration Analysis and Control-New Trends and Developments[M].Rijeka:InTech,2011:197-216.

[8]Urgueira A P V, Almeida R A B, Maia N M M. On the use of the transmissibility concept for the evaluation of frequency response functions[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2011,25(3):940-951.

[9]Maia N M M, Silva J M M, Ribeiro A M R. The transmissibility concept in multi-degree-of-freedom systems[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2001,15(1):129-137.

[10]顧建祖, 郝文峰, 駱英, 等. 基于固有模態(tài)函數(shù)振動傳遞率的結(jié)構(gòu)損傷識別[J]. 建筑科學(xué)與工程學(xué)報,2011,28(1):27-32.

GU Jian-zu, HAO Wen-feng, LUO Ying,et al. Structural damage identification based on intrinsic mode function vibration transmissibility[J]. Journal of Architecture and Civil Engineering,2011，28(1):27-32.

[11]張春良, 鄭文, 梅德慶, 等. 復(fù)雜激勵環(huán)境下精密隔振系統(tǒng)的振動傳遞率研究[J]. 中國機(jī)械工程,2010,21(1):1-5.

ZHANG Chun-liang, ZHENG Wen, MEI De-qing,et al. Research on vibration transmissibility of vibration isolation system with complex vibration environment[J]. China Mechanical Engineering,2010，21(1):1-5.

[12]Ribeiro A M R, Silva J M M, Maia N M M. On the generalization of the transmissibility concept[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2000,14(1):29-35.

[13]Devriendt C, Guillaume P, De Sitter G, et al. Operational modal analysis by using transmissibility measurements with changing distributed loads[C]. 14th International Congress on Sound & Vibration,Cairns, Australia,2007.

[14]Guillaume P, Devriendt C, Vanlanduit S. Operational modal analysis in presence of unknown varying harmonic forces[C]. 14th International Congress on Sound & Vibration,Cairns, Australia,2007.

[15]Devriendt C, Weijtjens W, De Sitter G, et al. Combining multiple single-reference transmissibility functions in a unique matrix formulation for operational modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2013,40(1):278-287.

[16]Liu W, Ewins D J. Transmissibility properties of MDOF systems[C]. IMAC XVI,Santa Barbara, California, USA,1998.