第一作者黃杰男，碩士生，1989年10月生

基于頻率截止的EEMD方法研究

黃杰,張梅軍,柴凱,陳灝

(解放軍理工大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，南京210007)

摘要：為解決總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)中虛假IMF分量過多問題，提出了一種基于頻率截止的EEMD方法。該方法采用一種新的IMF篩分終止條件——以信號自身的最小頻率為EMD分解IMF分量的截止頻率；然后將基于頻率截止的IMF篩分終止條件引入EEMD分解。通過仿真和實測信號分析，并與EMD、EEMD分解結(jié)果比較得到，運(yùn)用頻率截止的EEMD方法不僅有效減少了虛假IMF分量的產(chǎn)生，使得分解的目的性更加明確，而且保證了EEMD分解出的IMF分量的完備性，更好地抑制了模態(tài)混疊現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；頻率截止；模態(tài)混疊；IMF分量

基金項目：2011年度國家自然科學(xué)

收稿日期：2014-01-27修改稿收到日期：2014-04-10

中圖分類號:TH137文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An improved EEMD method based on cut-off frequency

HUANGJie,ZHANGMei-jun,CHAIKai,CHENHao(College of Field Engineering, PLA Univ. of Sci. & Tech.，Nanjing 210007, China)

Abstract:In order to solve the problem of excessive false IMF components in ensemble empirical mode decomposition(EEMD), an improved EEMD method based on cut-off frequency was proposed here. This method adopted a new screening termination condition of IMF, the minimum frequency of a signal itself was taken as the cut-off frequency when using EMD. Then, the screening termination condition of IMF based on cut-off frequency was introduced into the EEMD. Comparing the results of EMD and EEMD with those of the improved EEMD, it was shown that the false IMF components are reduced more effectively and the mode mixing phenomenon is suppressed with the improved EEMD method based on cut-off frequency in analyses of simulated and actually measured signals; the IMF components are complete and the purposiveness of decomposition is more clear with this proposed method.

Key words:ensemble empirical mode decomposition (EEMD); cut-off frequency; mode mixing; IMF components

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)基于信號本身的局部特征時間尺度，自適應(yīng)地將信號分解為有限多個固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function, IMF)之和，被廣泛應(yīng)用于非線性非平穩(wěn)信號的處理。但是，EMD方法存在許多值得研究的問題，如模態(tài)混疊、IMF篩分終止條件以及端點效應(yīng)等問題[1]。

為減少EMD的模態(tài)混疊缺陷，Wu等[2]提出了利用噪聲輔助分解的總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)，取得了較好效果。但是，該方法存在兩個問題：①由于信號加入白噪聲后，每次分解的IMF個數(shù)可能不一致而影響最終IMF的平均，因此為簡化分解，該方法在單次的IMF分解循環(huán)中只作了10次包絡(luò)均值相減，便將結(jié)果作為一個IMF分量，沒有嚴(yán)格執(zhí)行IMF的兩個判據(jù)條件；②其IMF分量個數(shù)由信號長度決定，而非分解過程所決定，因此，對于一個頻率成分少而信號長度大的信號，依然會產(chǎn)生多階冗余虛假IMF分量。

EMD分解中，IMF篩分終止條件決定了IMF分量的個數(shù)以及是否具有真實物理意義，關(guān)于EMD的IMF篩分終止條件[3]，以往的研究主要有SD閾值終止條件[4]、基于零點和極值點的終止條件[5]， 基于幅值比的終止條件[6]，基于能量差跟蹤法的終止條件[1]，基于能量的終止條件[7]等。除基于能量的終止條件外，其他方法分解的IMF分量多，且存在多個與信號無關(guān)的虛假低頻分量，不具實際意義。

因此，本文提出一種基于頻率截止的EEMD方法。該法以信號本身的最小頻率為截止頻率fd，作為EEMD分解IMF分量的終止條件。并且以完整的EMD分解過程替換了Wu等所提EEMD方法中簡化的EMD分解過程，保證了IMF分量分解的完備性。通過對仿真信號和實測信號的分析，運(yùn)用頻率截止的EEMD方法得出的虛假IMF分量少、分解速度快、分解目的性強(qiáng)、且模態(tài)混疊現(xiàn)象得到了更好的抑制。

1基于頻率截止的EEMD方法

EEMD方法利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性來解決模態(tài)混疊問題[8]。由于白噪聲具有在各個頻段能量一致和均值為零的特性，通過在原始信號中引入白噪聲后再進(jìn)行EMD分解可以保證分解得到的每階IMF分量在時域上的連續(xù)性。在原始信號中循環(huán)引入足夠多組不同的白噪聲后，經(jīng)EMD分解可以得到多組IMF分量；為消除白噪聲的影響，對應(yīng)的各組IMF分量分別求取平均值后作為最終分解結(jié)果。本文提出的基于頻率截止的EEMD方法是在Wu與Huang的EEMD基礎(chǔ)上改進(jìn)的，但EMD分解過程不再簡化分解，而是嵌入了完整的EMD分解。具體實現(xiàn)步驟如下：

(1)對原信號s(t)進(jìn)行功率譜分析，找出明顯頻率成分中最小的頻率作為分解的截止頻率，記為fd。

(2)給信號s(t)加入給定幅值的白噪聲ni(t)(白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差取原信號標(biāo)準(zhǔn)差的0.01~0.1倍)，即：

si(t)=s(t)+ni(t)

(1)

(3)對si(t)進(jìn)行EMD分解(本文中EMD分解采用的是Rilling提出的方法)。每分解出一個IMF分量cj,i，對cj,i作功率譜分析，找出其主要頻率成分fmax，比較fmax和fd的大小，若fmax小于fd，分解停止，否則分解繼續(xù)。得到一組IMF分量c1,i，c2,i，…，cn,i。

(4)重復(fù)步驟(2)、(3)M次，得到M組IMF分量。

(5)計算M次分解的IMF的總體平均ck，這n個IMF分量即為EEMD分解最終的IMF分量：

k=1,2…n

(2)

2仿真信號分析

為驗證基于頻率截止的EEMD方法的改進(jìn)效果，對圖1所示的仿真信號(式(3))，分別進(jìn)行EMD分解、經(jīng)典EEMD分解和基于頻率截止的EEMD分解，比較分解結(jié)果。仿真信號主要有30 Hz和100 Hz兩個頻率成分。研究中，EMD分解采用Rilling編寫的EMD方法、經(jīng)典EEMD分解采用Wu與Huang提出的EEMD方法?？傮w平均次數(shù)M取50，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為信號標(biāo)準(zhǔn)差的0.02倍，由于該仿真信號最小頻率為30 Hz，所以頻率截止的EEMD方法取截止頻率fd=30 Hz。

(3)

圖1　仿真信號 Fig.1 Simulation signal

2.1　仿真信號的EMD分解

仿真信號由EMD分解得到了6階IMF分量和1階余量(圖2)，將圖2和原信號圖1比較可知：仿真信號的EMD分解結(jié)果與原信號有較大的差別，分解的結(jié)果不太理想。對分解的IMF分量做功率譜分析如圖3。

圖2　仿真信號的EMD分解結(jié)果 Fig.2 The EMD result of simulation signal

圖3　EMD分解出的IMF的功率譜 Fig.3 The power spectrum of IMFs by EMD

從IMF分量的功率譜(圖3)可以看出：僅IMF1和IMF2包含了信號中的真實成分，后4階IMF分量都是分解過程中產(chǎn)生的虛假成分，沒有實際意義；且IMF1分量中存在30 Hz和100 Hz兩個不同頻率的成分，IMF2中也有30 Hz的頻率成分，發(fā)生了頻率混疊。

2.2　仿真信號的經(jīng)典EEMD分解

仿真信號由經(jīng)典EEMD分解得到了10階IMF分量和1階余量(圖4)，前2階IMF分量與原信號(圖5)相比較為一致。由于分量過多，僅對前五階IMF分量進(jìn)行功率譜分析，如圖5。

圖4　仿真信號的經(jīng)典EEMD分解結(jié)果 Fig.4 The EEMD result of simulation signal

圖5　經(jīng)典EEMD分解出的部分IMF的功率譜 Fig.5 The power spectrum of part of IMFs by EEMD

由圖可見采用經(jīng)典的EEMD方法時，100 Hz的調(diào)幅成分分解到了IMF1中，但30 Hz的正弦波成分卻被分解到了IMF2和IMF3之中，模態(tài)混疊現(xiàn)象得到了一定的抑制。分解出的IMF僅前3階IMF分量包含了信號的真實成分，其余的7階IMF分量都是冗余的虛假成分。

2.3　仿真信號采用基于頻率截止的EEMD分解

仿真信號采用本文提出的頻率截止EEMD分解結(jié)果如圖6，分解得到了2階IMF分量和1階余量。對得到的IMF分量進(jìn)行功率譜分析如圖7。

圖6　仿真信號采用頻率截止的EEMD分解結(jié)果 Fig.6 The decomposition result of simulation signal by EEMD based on cut-off frequency

圖7　采用頻率截止的EEMD分解出的IMF的功率譜 Fig .7 The power spectrum of IMFs by EEMD based on cut-offfrequency

由圖6和圖7可以看出，采用基于頻率截止的EEMD方法分解信號時，信號中的兩個頻率成分都能完好的分解出來，沒有多余的IMF分量，分解效率高，而且沒有出現(xiàn)模態(tài)混疊。究其原因在于：

EMD的分解過程類似于一個自適應(yīng)的二進(jìn)濾波，由于信號的時間尺度并不連續(xù)，所以會產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象[9]。EEMD方法中加入的白噪聲平均分布在整個時間和頻率尺度上，因此EEMD方法能有效抑制模態(tài)混疊，但是經(jīng)典EEMD方法中的EMD分解過程是簡化了的過程，只做了10次包絡(luò)均值相減的循環(huán)，分解不完備，仍然存在模態(tài)混疊。本文提出的頻率截止的EEMD方法中采用了完整的EMD分解過程，分解出的IMF分量都滿足IMF的兩個判據(jù)條件，因而取得了更好的效果。

EMD分解時，篩分會一直進(jìn)行，直到殘余函數(shù)為一個單調(diào)函數(shù)，因而其IMF分量個數(shù)由分解過程決定。經(jīng)典EEMD分解的IMF分量個數(shù)由數(shù)據(jù)長度決定，仿真信號數(shù)據(jù)長度為4000，根據(jù)分解程序中的IMF分量個數(shù)公式N=fix(log2(xsize))-1可知，不論仿真信號頻率成分有多少，其IMF個數(shù)都為10，顯然這并不合理。本文提出的頻率截止的EEMD方法在分解時只要達(dá)到截止頻率的要求，分解便會終止，因此幾乎沒有冗余虛假分量，實際應(yīng)用時將會大大提高效率，而且分解的目的性非常明確。

3實測信號分析

選擇的實測信號為液壓故障平臺上測得的某故障信號(圖8)，采樣頻率為5 000 Hz，采樣點數(shù)為2 048，實測信號的功率譜如圖9，最小頻率為29.32 Hz，因此分解截止頻率取為29.32 Hz。

圖8　實測信號 Fig.8 The measured signal

圖9　實測信號功率譜圖 Fig. 9 The power spectrum of measured signal

3.1　實測信號采用基于頻率截止的EEMD分解

實測信號采用頻率截止的EEMD分解結(jié)果如圖10，其IMF分量的功率譜如圖11。

圖10　實測信號采用頻率截止的EEMD分解結(jié)果 Fig.10 The decomposition result of measured signal by EEMD based on cut-off frequency

圖11　實測信號采用頻率截止的EEMD分解的IMF的功率譜 Fig.11 The power spectrum of IMFs of measured signal by EEMD based on cut-off frequency

圖12　實測信號經(jīng)典EEMD分解圖 Fig.12 The EEMD result of measured signal

圖13　實測信號經(jīng)典EEMD分解的前7階IMF的功率譜 Fig.13 The power spectrum of top seven IMFs of measuredsignal by EEMD

將圖11與原信號的功率譜圖(圖9)作比較可知，原信號中各主要頻率成分都被分解出來了，不同的頻率分量分解在不同的IMF分量中，沒有產(chǎn)生頻率混疊。

3.2　實測信號采用頻率截止的EEMD分解的對比驗證

為驗證頻率截止的EEMD方法分解的效果，對實測信號進(jìn)行經(jīng)典的EEMD分解(圖12)，圖13是實測信號經(jīng)典EEMD分解的前7階IMF分量的功率譜圖。

經(jīng)典EEMD分解的IMF分量中，IMF3和IMF4都包含了239.5 Hz的頻率成分、IMF5和IMF6都包含了29.33 Hz的頻率成分，模態(tài)混疊現(xiàn)象比較明顯。相比之下，采用頻率截止的EEMD的分解結(jié)果(圖11)不同的頻率成分分解在不同的IMF分量中，基本沒有產(chǎn)生模態(tài)混疊。表1是兩種EEMD方法的分解對比。

表1　兩種EEMD分解對比

由表1可見：實測信號采用頻率截止的EEMD分解出的IMF分量數(shù)量僅為經(jīng)典EEMD分量的一半，而經(jīng)典EEMD分解多出的5階IMF分量俱為虛假低頻分量。采用頻率截止的EEMD中嵌入完整的EMD分解過程，會使單次分解會耗時增加，但當(dāng)截止頻率較大時，由于分解的IMF分量的數(shù)量大幅減少，因此，本文實測信號分解時總體耗時反而更少，更具有優(yōu)勢。

4結(jié)論

針對EEMD分解中會產(chǎn)生大量的虛假IMF分量問題，本文提出了一種基于頻率截止的EEMD方法。

(1)提出了一種新的IMF篩分終止條件，該方法以信號自身的最小頻率作為分解的截止頻率，有效減少了虛假IMF分量，使得分解目的性更明確。

(2)在經(jīng)典EEMD方法的基礎(chǔ)上，將兼有頻率截止的完整的EMD分解過程引入EEMD分解，保證了EEMD分解過程的完備性，通過對仿真信號和實測信號驗證，運(yùn)用頻率截止的EEMD方法能更好地抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象。

(3)應(yīng)用本文方法分解信號時，選擇的截止頻率為信號自身明顯頻率成分中最小的頻率。若這個最小頻率較大，那么分解的IMF數(shù)量少，耗時短，頻率混疊基本消失，分解效果好。若最小頻率小，優(yōu)越性則難以體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]程軍圣，于德介，楊宇．經(jīng)典模態(tài)分解方法中內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)判據(jù)問題研究[J]．中國機(jī)械工程，2004，15(20)：1861-1864．

CHENG Jun-sheng，YU De-jie，YANG Yu．Research on the criterion problem of intrinsic mode function by empirical mode decomposition[J]．China Mechanical Engineering，2004，15(20)：1861-1864．

[2]Wu Z H，Huang N E．Ensemble empirical mode decompositio：A noise-assisted data analysis method[J].Advances in Adaptive Data Analysis，2008，1(1): 1-41．

[3]胥保春，袁慎芳．IMF篩選停止條件的分析及新的停止條件[J]．振動、測試與診斷，2011， 31(3)： 348-352．

XU Bao-chun，YUAN Shen-fang，The analysis of IMF’s screening stop condition and a new stop condition[J] ．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2011， 31(3)： 348-352．

[4]Huang N E，Zhen S，Long S R，et a．The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis[J].Proceedings of the Royal Society of London，1998，454：903-995.

[5]Huang N E，Zhen S，Long S R．A new view of nonlinear water waves：the Hilbert spectrum[J]. Annual Review of Fluid Mechanics，1999，31：417-457．

[6]Rilling G，F(xiàn)landrin P．On empirical mode decomposition and its algorithms[C]// IEEE-EUBASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing(NSIP2003)， Grado, Italy：[s.n.]， 2003．

[7]胡勁松，楊世錫．基于能量的振動信號經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解終止條件[J]．振動、測試與診斷，2009，29(1):19-22．

HU Jing-song，YANG Shi-xi ．The termination condition of empirical mode decomposition based on energy of vibration signal[J] ．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2009，29(1):19-22．

[8]雷亞國．基于改進(jìn)Hilbert-Huang變換的機(jī)械故障診斷[J]．機(jī)械工程學(xué)報, 2011，47(5)： 71-77．

LEI Ya-guo．Machinery fault diagnosis based on improved Hilbert-Huang transform [J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，47(5)：71-77．

[9]齊天，裘焱，吳亞鋒．利用聚合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解抑制振信號中的模態(tài)混疊[J]．噪聲振動與控制，2010(4)：103-106．

QI Tian，QIU Yan，WU Ya-feng．The suppression of mode mixing in the ensemble empirical mode decomposition of vibration signal[J] Noise and Vibration Control，2010(4)：103-106．