切換系統(tǒng)自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制

唐予軍,王霞,王培光

(河北大學 電子信息工程學院，河北 保定071002)

摘要：研究含有不確定參數(shù)切換系統(tǒng)的自適應(yīng)鎮(zhèn)定問題．為子系統(tǒng)分別設(shè)計自適應(yīng)控制器，通過設(shè)計依賴于切換信號的子適應(yīng)律，避免了由共用狀態(tài)引起的各子適應(yīng)律之間的耦合問題．采用多Lyapunov函數(shù)設(shè)計系統(tǒng)控制器，不要求子系統(tǒng)的確定性等價鎮(zhèn)定控制器存在，通過切換律的設(shè)計可以保證閉環(huán)切換系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性．

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；自適應(yīng)控制；切換律設(shè)計；多Lyapunov函數(shù)

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.05.012

中圖分類號：TP273文獻標志碼：A

收稿日期：2015-03-20

基金項目：河北大學自然科學研究計劃項目(2010Q04)；河北省高等學?？茖W技術(shù)研究資助項目(QN20131056)；河北省自然科學基金資助項目(F2015201088)； 國家青年科學基金資助項目(61403118)

Adaptive stabilizing control of switched systems

TANG Yujun, WANG Xia, WANG Peiguang

(College of Electronic and Informational Engineering, Hebei University, Baoding 071002,China)

Abstract:The adaptive stabilization problem is studied for switched systems with uncertain parameters. Sub-adaptive controllers are designed respectively for the subsystems of the switched system. Adaptive laws are made dependant on the switching signal in order to avoid the coupling between the adaptive laws which is caused by sharing a common state. Multiple Lyapunov functions method is used to design the controllers. There is no need for subsystems to have certain equivalent controllers because a properly designed switching law can ensure the asymptotical stability of the closed-loop switched system.

Key words: switched systems; adaptive control; switching law design; multiple Lyapunov function

第一作者：唐予軍(1979-)，男，江蘇泰州人，河北大學講師，主要從事傳感器技術(shù)及其自適應(yīng)控制方向研究．

E-mail:tangyujunhbu@gmail.com

切換系統(tǒng)由一系列連續(xù)或離散的子系統(tǒng)以及1個支配子系統(tǒng)切換的切換律組成．許多的物理系統(tǒng)，如多工作點的非線性系統(tǒng)、切換控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等都可建模成為切換動態(tài)系統(tǒng)[1]． 作為控制系統(tǒng)的基本問題，切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題得到廣泛的研究[2-5]．主要分析工具有共同Lyapunov函數(shù)、單Lyapunov函數(shù)和多Lyapunov函數(shù)等方法，其中多Lyapunov函數(shù)條件最為寬泛，保守型較小，其主要思想是為每個子系統(tǒng)分配1個能量函數(shù)，保持子系統(tǒng)激活時段能量函數(shù)遞減，并且每個子系統(tǒng)激活時間處構(gòu)成的能量函數(shù)序列是遞減的，從而得到整個切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性[6-7]．

與非切換系統(tǒng)一樣，在切換系統(tǒng)控制中，同樣存在不確定性．針對切換系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性，應(yīng)用魯棒方法已經(jīng)得到了大量的結(jié)果．對于線性不確定參數(shù)，自適應(yīng)控制具有較強的處理能力．因此，近年來，切換系統(tǒng)的自適應(yīng)控制成為了新的研究熱點[8-9],并取得的初步的成果[10-12]．切換系統(tǒng)自適應(yīng)控制的難點主要在于未知參數(shù)的存在．傳統(tǒng)的方法是使Lyapunov函數(shù)同時含有參數(shù)誤差與狀態(tài)，通過設(shè)計自適應(yīng)律將參數(shù)誤差在Lyapunov導函數(shù)中消去．切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，需要檢驗子系統(tǒng)激活時間點Lyapunov函數(shù)值，而當Lyapunov函數(shù)中存在未知參數(shù)時，其函數(shù)值是不可計算的．如何在Lyapunov函數(shù)含有未知參數(shù)的情況下設(shè)計自適應(yīng)子控制器以及切換律來鎮(zhèn)定系統(tǒng)是個重要的問題．

自適應(yīng)控制系統(tǒng)可以看成由原系統(tǒng)和非線性自適應(yīng)控制律所構(gòu)成的級聯(lián)系統(tǒng)．切換級聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已有結(jié)果報道[13]，其中的方法可以應(yīng)用到切換系統(tǒng)自適應(yīng)控制問題中．本文基于級聯(lián)系統(tǒng)的思想，設(shè)計出使不確定切換系統(tǒng)穩(wěn)定的自適應(yīng)控制器和切換律．

文中的結(jié)果有2方面的特點：1)設(shè)計按照狀態(tài)切換的切換信號，而現(xiàn)有文獻都是采用駐留時間的方法；2)不同于非切換系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，文中結(jié)果不要求子系統(tǒng)一定存在確定性等價鎮(zhèn)定控制器．因為通過切換信號的設(shè)計可以使切換系統(tǒng)具有穩(wěn)定性等子系統(tǒng)不具有的特性．

1問題描述

考慮如下的切換系統(tǒng)

(1)

其中x∈Rn為狀態(tài)向量，u∈Rm為控制輸入,σ(t):[0,∞)|→Λ為分段右連續(xù)函數(shù),Λ={1,2,…,N}，N為整數(shù)，Ai∈Rn×n,Bi∈Rn×m為未知常數(shù)矩陣．

注：考慮每個子系統(tǒng)都不可能通過設(shè)計自適應(yīng)控制器進行鎮(zhèn)定．因為如果這樣，只需要令能夠鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)一直激活即可，問題就變成了傳統(tǒng)的自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制器設(shè)計．

(2)

其中βij≥0，Pi為正定矩陣．

假設(shè)2存在已知矩陣Si∈Rnm和正定矩陣Γi,i∈Λ滿足

(3)

2主要結(jié)果

如果系統(tǒng)(1)中的矩陣Ai，Bi已知，則可以設(shè)計子控制器

(4)

在切換律

σ(t)=argmin(xTPix)

(5)

(6)

估計參數(shù)的適應(yīng)律設(shè)計為

(7)

注：適應(yīng)律中含有狀態(tài)x，而切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)是共用狀態(tài)的．一個子系統(tǒng)激活時，為了避免其他非激活子系統(tǒng)的控制器參數(shù)受到影響，采用了切換信號依賴型的適應(yīng)律，在子系統(tǒng)未被激活的時候，其對應(yīng)的子控制器參數(shù)不做調(diào)整．

定理1適應(yīng)律(7)和子控制器(6)應(yīng)用于系統(tǒng)(1)，在切換信號(5)下，能夠保證系統(tǒng)(1)時全局漸近穩(wěn)定．

證明：將控制器(6)代入系統(tǒng)(1)，得到

(8)

考慮正定函數(shù)

(9)

對Vσ沿系統(tǒng)(8)求導得

(10)

考慮到式(7)、(3)以及

(11)

(12)

根據(jù)條件(2)，可知

(13)

3算例

3.1　數(shù)值算例

考慮如下的切換非線性系統(tǒng)：

子系統(tǒng)1

子系統(tǒng)2

設(shè)計參數(shù)

系統(tǒng)初始狀態(tài)

K10=[0.10.5],K20=[0.70.3],x0=(12)．

系統(tǒng)的切換信號和狀態(tài)軌跡分別如圖1和圖2所示．

圖1系統(tǒng)的切換信號σ圖2系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

Fig.1Switching signal Fig.2 State response

3.2　飛行編隊實例仿真

本文利用1個飛行編隊的例子說明文中算法的有效性．考慮1個2架飛機組成的由地面視覺系統(tǒng)導航的編隊．小攻擊角下，飛機的縱向模型可以表示為[14]

其中?為俯仰角，ω為俯仰角速度，α為小攻擊角度,μ為升降舵偏角，ηω,η?和η為系統(tǒng)參數(shù)．

在爬升過程中，要求所有的飛機具有相同的俯仰角速度．在適當?shù)目刂破飨?，俯仰角速度的動態(tài)方程可以表示為[15]

子系統(tǒng)1(只與第1架飛機通信)

子系統(tǒng)2(只與第2架飛機通信)

假設(shè)a1=a2=8,有

設(shè)計

圖3系統(tǒng)的切換信號圖4系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

Fig.3Switching signalFig.4 State response

4結(jié)論

對于子系統(tǒng)不可鎮(zhèn)定的不確定切換系統(tǒng)，提出了一種設(shè)計自適應(yīng)控制器和切換律的方法．自適應(yīng)律在其對應(yīng)的子系統(tǒng)激活時段調(diào)整控制參數(shù)．雖然子系統(tǒng)不存在收斂的Lyapunov函數(shù)，切換律可以保證整個切換系統(tǒng)切換之后的能量函數(shù)收斂，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性．切換信號的設(shè)計放寬了對系統(tǒng)的要求，在子系統(tǒng)都不可鎮(zhèn)定的極端情況下，仍有可能找到使系統(tǒng)穩(wěn)定的自適應(yīng)控制器和切換律．

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(責任編輯：王蘭英)