李嬌

摘要：研究了參數(shù)未確定的分數(shù)階Volta系統(tǒng)的自適應混合投影同步。通過對控制器和未確定參數(shù)辨識規(guī)則的設計，實現(xiàn)了分數(shù)階Volta系統(tǒng)與給定信號的自適應混合投影同步。異結構分數(shù)階Volta-Liu系統(tǒng)同步數(shù)值仿真表明，該控制器和未確定參數(shù)辨識規(guī)則具有可行性和有效性，在保密通信中的應用效果較好。

關鍵詞：分數(shù)階Volta系統(tǒng)；自適應控制；自適應混合投影同步；保密通信

DOIDOI：10.11907/rjdk.151712

中圖分類號：TP301

文獻標識碼：A 文章編號文章

編號：16727800（2015）008005704

0 引言

自適應控制理論[12]是一種經(jīng)典的控制理論，當受控制混沌系統(tǒng)的參數(shù)已確定并且實際所建立的數(shù)學模型準確時，使用常用的控制方法就能取得較好效果。但實際應用中的系統(tǒng)參數(shù)很多是未確定的，因此有必要將自適應控制方法引入混沌系統(tǒng)控制中。自適應控制方法要求目標系統(tǒng)具有可控的參數(shù)，其中參數(shù)的控制量可以選擇為兩個系統(tǒng)變量之差或是它們的函數(shù)，所采用的控制形式?jīng)Q定了最終達到的同步效果[3]。文獻[4]-[7]分別采取不同的自適應控制方法來進行混沌同步控制。混沌系統(tǒng)相關研究在工程和保密通信領域有著廣泛應用。

針對分數(shù)階Volta混沌系統(tǒng)的自適應混合投影同步問題，對控制器和參數(shù)辨識規(guī)則進行設計，能夠使得參數(shù)未確定的分數(shù)階Volta系統(tǒng)與給定的信號之間實現(xiàn)追蹤控制與同步。以異結構分數(shù)階VoltaLiu系統(tǒng)同步為例進行了數(shù)值仿真，其結果證實了所設計的控制器及未確定的參數(shù)辨識規(guī)則的有效性。

1 系統(tǒng)控制器、參數(shù)辨識規(guī)則設計

1.1 系統(tǒng)數(shù)學模型及問題描述

考慮如下兩個分數(shù)階混沌系統(tǒng)：

dqXdtq=f（X） dqYdtq=g（Y，u（X，Y））

其中q為階數(shù)，0

H=diag（h1，h2，…，hn）∈Rn×n

使得滿足limt→∞yi-hixi=0（i=1，2，…，n），則稱該

兩個分數(shù)階混沌系統(tǒng)混合投影同步，h1，h2，…，hn為投影

因子，H為投影同步的投影因子矩陣。

分數(shù)階Volta系統(tǒng)的參數(shù)a、b、c未確定時，如何設計有效的控制器和參數(shù)辨識規(guī)則，才能使受控制的分數(shù)階Volta系統(tǒng)能以任意給定的投影因子跟蹤同步到任意給定參考信號x（t）=[x1，x2，x3]T，也即使得

1.2 自適應混合投影同步控制器及參數(shù)辨識規(guī)則設計

將分數(shù)階Volta系統(tǒng)重新改寫為如下形式：

顯然式（11）符合分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，同步誤差e1、e2、e3逐漸趨于零，證明了參數(shù)未確定的Volta系統(tǒng)的自適應混合投影追蹤同步。

2 數(shù)值仿真試驗

以異結構分數(shù)階Volta-Liu系統(tǒng)的自適應混合投影同步進行數(shù)值仿真，具體如下：

自適應混合投影同步誤差曲線如圖2所示。從圖中可以看出，驅(qū)動系統(tǒng)（12）和響應系統(tǒng)（4）逐漸同步。

圖2 混合投影同步時驅(qū)動系統(tǒng)（12）和響應系統(tǒng)（4）的誤差曲線

3 自適應混合投影同步在保密通信中的應用

3.1 混沌保密通信方法

為了達到對保密信息進行加密隱藏的目的，設計分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步保密通信系統(tǒng)結構如圖3所示。其中m（t）為有效信號，x（t）為分數(shù)階Volta混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號，s（t）為有效信號和分數(shù)階Volta混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號相加形成的在通信路線發(fā)送的加密信號，m'（t）為在接收端將加密信號s（t）與上述設計的分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應控制系統(tǒng)x'（t）相減而得到的信號。由于s（t）=x（t）+m（t），x'（t）≈x（t）。因此，m'（t）=s（t）-x'（t）≈m（t），實現(xiàn)了從加密信號中恢復出有效信號m（t）。

圖3 混沌掩蓋通信系統(tǒng)

在上述利用分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步實現(xiàn)保密通信過程中，發(fā)送端把有效信息源m（t）加在分數(shù)階混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號上，使在公共信道中傳輸?shù)氖切嗡圃肼暤姆謹?shù)階混沌信號s（t）。接收端收到形似噪聲的分數(shù)階混沌信號s（t）后利用上述設計的分數(shù)階Volta自適應混合投影同步系統(tǒng)分離其中由分數(shù)階混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號x（t），得到有效信號m'（t），從而實現(xiàn)有效信息從發(fā)送端加密后在公用信道傳輸?shù)浇邮斩死眉s定好的分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步解密的全過程。研究發(fā)現(xiàn)，在公用信道傳輸過程中，一般有用信號m（t）的幅度比分數(shù)階混沌信號x（t）小很多，經(jīng)過相加后形成的s（t）的幅度與x（t）的幅度相差不大，如此使得即使竊聽者竊取到信號，由于分數(shù)階混沌信號的噪聲特點，竊聽者會以為是噪聲信號且難以從中竊取到有效信號。另外，分數(shù)階混沌系統(tǒng)存在微小差異將導致同步失敗，在接收端解密出有效信號完全依賴于事先約定設計好的Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步控制器，系統(tǒng)微小的差異將導致接收端無法解密出有效信號，使得系統(tǒng)具有較高的保密性。

3.2 基于混沌掩蓋的分數(shù)階Volta系統(tǒng)保密通信

以異結構分數(shù)階Volta-Liu系統(tǒng)的自適應混合投影同步為例，在發(fā)送端將分數(shù)階Liu系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號與有效信號m（t）做如下混沌掩蓋：

dqx1 （t）dtq = α（x2 （t）-x1 （t））

dqx2 （t）dtq = βx1 （t）-λx1 （t）x3 （t）

dqx3 （t）dtq = -γx3 （t） + δx1 （t）2

en（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 （13）

其中，en（t）為由分數(shù)階Liu系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號與有效信號m（t）做混沌掩蓋后在公用信道上傳輸?shù)男盘?，m（t）為有效信號。在接收端根據(jù)設計的分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步構造如下接收系統(tǒng)：

dqy1dtq=-y1-（+ea）y2-y3y2+u1

dqy2dtq=-y2-（+eb）y1-y1y3+u2

dqy3dtq=（+ec）y3+y1y2+1+u3

m'（t）=（en（t）-（y2/h1）2+（y3/h2））/（1+（y1/h3）2）（14）

其中，en（t）為由分數(shù)階Liu系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號與有效信號m（t）做混沌掩蓋后在公用信道上傳輸?shù)男盘?，m'（t）是接收端根據(jù)分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步解密后的信號。當t→∞時，y1→h1x1，y2→h2x2，y3→h3x3，將設計的加密函數(shù)en（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 代入式（14），可得：m'（t） = （（x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 ）-（y2 /h2）2 + （y3 /h3））/（1 + （y1 /h1）2）即m'（t）→m（t），從而可恢復出有用信號。

3.3 保密通信數(shù)值仿真

為了驗證所設計分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步的正確性，在仿真中，取有效信號m（t）=20sin（5t），取分數(shù)階Liu系統(tǒng)和受控的分數(shù)階Volta系統(tǒng)的初值分別為x1（0）=8，x2（0）=2，x3（0）=1；y1（0）=38，y2（0）=12，y3（0）=11。接收端受控的分數(shù)階Volta系統(tǒng)參數(shù)a=19，b=11，c=0.73，發(fā)送端分數(shù)階Liu系統(tǒng)參數(shù)α=10，β=40，γ=2.5，δ=4，λ=1系統(tǒng)階次均取q=0.98，仿真時間Tsim取10s，時間步長為0.001，投影因子取h1=0.5，h2=-1，h3=-2。在MatlabR2013a上進行仿真，仿真效果如圖4所示。

其中，圖4 （a）是有效信號m（t）的仿真曲線譜，圖4（b）是將有效信號與分數(shù)階Liu系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號相混合做混沌掩蓋后在公用信道上傳輸?shù)募用苄盘杄n（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 ，圖4 （c）為利用分數(shù)階Volta系統(tǒng)自適應混合投影同步系統(tǒng)分離接收到信號中由分數(shù)階Liu系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號，得到的有效信號m'（t）的曲線圖，圖4 （d）為有效信號與解密出的有效信號誤差曲線m'（t）-m（t）。從仿真結果圖4（b）可以明顯看出，通過該分數(shù)階混沌系統(tǒng)加密后可很好地實現(xiàn)將有效信號隱藏在其混沌序列中。從仿真結果圖4（c）可以明顯看出，通過分數(shù)階Volta自適應混合投影同步系統(tǒng)將接收到的混沌信號解密出有效信號。從仿真結果圖4（d）可以明顯看出，在很短時間內(nèi)原有效信號與解密出的有效信號很快漸近到零點，即原有效信號能夠被很好地解密出來。以上仿真很好地表明了該方案應用于保密通信的有效性和可行性。

3.4 分數(shù)階Volta系統(tǒng)保密通信性能分析

混沌保密通信系統(tǒng)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在其良好的保密性上，所設計的分數(shù)階Volta自適應混合投影同步系統(tǒng)在保密性能方面的優(yōu)點主要表現(xiàn)在以下3個方面：①由于在公共信道中傳輸?shù)氖切嗡圃肼暤姆謹?shù)階混沌信號，因而抗破譯能力較強；②秘鑰的選擇比較多，由于設計的解密端系統(tǒng)為自適應混合投影同步系統(tǒng)，因而不同的分數(shù)階混沌系統(tǒng)也可作為密鑰，同一個分數(shù)階混沌系統(tǒng)不同參數(shù)或不同初值可以用作密鑰；③加密函數(shù)可以動態(tài)調(diào)整。為對傳輸信號進行掩蓋，本文選擇了en（t） =x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 作為加密函數(shù)。一般而言，有用信號的幅度比分數(shù)階混沌信號小很多，如果要傳輸?shù)挠行盘柕姆堤?，也可以通過調(diào)整加密函數(shù)實現(xiàn)。如果調(diào)整加密函數(shù)為en（t） =x22 + 0.01（1 + x21 ）m（t）-x3 ，則可傳輸信號的幅值可擴大100倍，相應的解密函數(shù)則為m'（t）=100*（en（t）-（y2/f）2+（y3/f））/（1+（y1/f）2）。

圖4 基于分數(shù)階系統(tǒng)的保密通信仿真結果

4 結語

本文設計的控制器和未確定參數(shù)的辨識規(guī)則，實現(xiàn)了參數(shù)未確定的分數(shù)階Volta系統(tǒng)的自適應混合投影同步，并實現(xiàn)了對異結構VoltaLiu系統(tǒng)同步的數(shù)值仿真。仿真結果誤差趨近于零，證實了所設計的控制器和未確定參數(shù)辨識規(guī)則的可行性，并通過仿真程序?qū)π盘栠M行加密和解密，證實了其在保密通信領域的良好應用效果。

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（責任編輯：孫 娟）