劉小冬，陳　俊，杜　歡

(西安財經(jīng)學院， 陜西 西安　710100)

基于GARCH模型族的上證綜指VaR計算

劉小冬，陳俊，杜歡

(西安財經(jīng)學院， 陜西 西安710100)

摘要：VaR已成為近年來國際廣泛應用的風險度量方法。文章選取我國2008年至2012年每個交易日。上證綜指的收盤價，結合GARCH模型族，在正態(tài)分布、t分布、GED分布三種收益率序列分布假設下，對VaR的值進行了分析和對比，并應用Kupiec提出的“失敗頻率檢驗法”進行了準確性檢驗，通過實證分析得出，采用TGARCH—GED模型能夠較好地反映股市風險。

關鍵詞：上證綜指 ；VaR方法；GARCH模型；準確性檢驗

一、文獻綜述

隨著布雷頓森林體系的解體，從20世紀70 年代開始，全球金融持續(xù)動蕩，而2008年金融危機和2009年歐債危機使得風險收益急劇變化，國際金融乃至世界經(jīng)濟受到巨大沖擊。隨著金融衍生產(chǎn)品的發(fā)展，風險的度量與管理已成為金融活動的中心。傳統(tǒng)的通過方差、久期和CAPM等風險管理方法無法系統(tǒng)考慮金融市場中的各種風險，而VaR克服傳統(tǒng)方法的缺陷，將風險數(shù)值化并逐漸在金融機構中推廣應用。如今，VaR的重要性逐漸得以體現(xiàn)，也受到越來越多國內(nèi)外學者的關注。

1993年G30集團《衍生產(chǎn)品的實踐和規(guī)則》的報告，基于金融衍生產(chǎn)品首次提出了度量市場風險的VaR。Philippe[1]作為最早研究的學者之一，詳細地介紹了如何使用VaR進行風險預算和風險管理。在我國，最先將VaR方法引入的是鄭文通[2]，他分別概括了不同資產(chǎn)收益分布下VaR的計算方法，并介紹了VaR方法的用途和引入我國的必要性。王春峰[3]系統(tǒng)完整地講解了VaR 的相關理論基礎。姚剛[4]介紹了資產(chǎn)組合的VaR值的計算方法，并使用Black-Scholes 模型從線性和非線性范疇對VaR方法進行了說明。

GARCH模型是描繪波動率的模型，隨著研究的不斷深入，GARCH模型還作為一種分析算法被引入VaR的度量中。在股票市場風險研究中，Timotheos Angelidis、Alexandros Benos、Stavros Degiannakis[5]選取了五個股票指數(shù)計算投資組合日VaR的值，得出GARCH模型族的精確度對每一個投資組合是不同的。Andrea Beltratti、Claudio Morana[6]和Giot、Laurent[7]則采用GARCH模型族實證分析了單個股票指數(shù)的風險價值。鄒建軍、張宗益、秦拯[8]分別采用GARCH( 1, 1) 模型、RiskMetrics 和移動平均法計算上海股票市場的VaR 值，并通過返回檢驗得出GARCH( 1, 1) 能較好地反映上海股市的風險。閆志剛[9]基于GARCH族模型探討了我國上證指數(shù)的波動性，研究發(fā)現(xiàn)選擇的模型中EGARCH模型的擬合度最好，而GARCH-M模型在上海股票市場不適用。

然而，傳統(tǒng)的VaR估計方法不考慮金融時間序列尖峰厚尾和波動聚集性的特點，假定收益率序列服從假設條件過于嚴格的正態(tài)分布，從而導致風險的估計會出現(xiàn)較大的誤差。因此，為更好描述金融時間序列的特征，越來越多的學者開始關注資產(chǎn)序列的概率分布。Lee、Sue、Liu[10]和Cheng、Hung[11]，分別引入偏態(tài)廣義誤差分布(SGED)實證分析標準普爾500指數(shù)、道瓊斯指數(shù)，引入偏態(tài)廣義t分布(SGT)分析能源和貴金屬市場的風險價值，得出基于SGED分布和t分布的模型計算的VaR值優(yōu)于傳統(tǒng)的 GARCH-N模型。林美艷、薛紅剛[12]對上證綜合指數(shù)采用GARCH( 1, 1)模型，并在收益率分別從正態(tài)分布和t分布的假設前提下考慮靜態(tài)和動態(tài)VaR的計算方法,實證得出模型GARCH-t4 .869是最優(yōu)的。陳守東、俞世典[13]對深圳股票市場和上海股票市場分別建立GARCH-N模型、GARCH-GED模型、GARCH-t模型估計風險價值，分析得出正態(tài)分布不能夠很好地反映收益率的特征以及深圳股票市場面臨的風險較大。

本文在國內(nèi)外學者的研究基礎上選取最近6年上證綜指數(shù)據(jù)，基于GARCH模型、GARCH-M模型、TGARCH模型、EGARCH模型，選取不同的置信區(qū)間并擴充其擾動項的條件分布，分別假設服從正態(tài)分布、t分布和廣義誤差分布(GED)下計算我國上證綜指的風險價值，并檢驗模型的準確性。

二、GARCH模型族

GARCH模型一般通過條件均值方程和條件方差方程來預測收益率序列的波動性和相關性。條件均值方程通常采用簡單的形式，如，rt=μ+εt，其中μ為無條件均值，εt為擾動項。GARCH模型更關注展現(xiàn)不同模型之間差異的條件方差方程，在正態(tài)分布不能充分描述時間序列數(shù)據(jù)特性的情況下，GARCH模型假定εt服從t分布或一般誤差分布。對GARCH模型進行深入研究后，學者們又逐步發(fā)展了非對稱GARCH模型、指數(shù)GARCH模型和因子GARCH模型等，并廣泛地應用于金融機構的風險度量研究。下面簡介各類GARCH 模型。

(一)GARCH模型

GARCH(p,q)模型的主要思想是：條件方差方程中滯后期的誤差項εt-i(ARCH項)和滯后期的條件方差σt-j(GARCH項)均是當期條件方差的影響因素。數(shù)學形式如下：

(ω>0,α1,…，αi，…,αq≥0;β1,…，βj，…,βp≥0)

(1)

其中，α是回報系數(shù)，β是滯后系數(shù)。

(二)GARCH-M模型

1987年Engle、Lilien 和Robins[14]在GARCH模型的均值方程中引入條件方差，提出了GARCH-M模型，即資產(chǎn)收益率序列也會受到自身方差的影響，來解釋說明資產(chǎn)的期望收益與期望風險相關，期望風險系數(shù)的估計值可視為風險—收益的抵換系數(shù)(risk-return tradeoff)。

條件均值方程：

(2)

條件方差方程：

(ω>0,α1,…，αi，…,αq≥0;β1,…，βj，…,βp≥0)

(3)

然而GARCH模型在應用中仍具有一定的局限性：第一，以上模型要求系數(shù)的值均非負，在一定程度上制約了條件方差的動態(tài)性；第二，GARCH模型屬于對稱模型，條件方差僅與εt-i項的幅度相關，與符號無關。這與實際相悖，實際的金融價格運動受到正負消息的影響是不對稱的，即存在杠桿效應( leverage effect )。為表明正負兩類殘值不對稱的反饋現(xiàn)象，在上述模型的基礎上發(fā)展了EGARCH模型、TGARCH模型等非對稱GARCH模型。

(三)TGARCH模型

Glosten、Jaganathan 和Runkle[15]提出門限GARCH模型(Thresholed ARCH，簡稱TGARCH模型)，在條件方差方程中引入虛擬變量考慮正負誤差項對條件波動的不同影響。

其數(shù)學表達式為：

(4)

其中Dt-i是虛擬變量，當εt-i<0時，Dt-i=1；否則，Dt-i=0。

(四)EGARCH模型

EGARCH(p,q)的模型指定條件方差為：

(5)

三、實證分析

(一)數(shù)據(jù)的選取和處理

在本文中，所選取的數(shù)據(jù)為2008年1月2日至2012年12月31日每個交易日上證綜指的收盤價，共1 457個觀測值。數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件。分析采用的軟件是EVIEWS7.2和EXCEL2007。設第t天的上證綜指的收盤價為pt，為了消除誤差，對收益率同時采用對數(shù)形式：

(6)

(二)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征分析

圖1　上證綜指日收益率序列

圖2　上證綜指日收益率分布直方圖

如圖1所示，日收益率序列波動呈現(xiàn)出明顯的時變性、突發(fā)性和群聚效應。圖2上證指數(shù)收益率偏度-0.145 916，左偏峰度6.184 589(正態(tài)分布偏度為0，峰度為3)，可以看出日收益率呈左偏、尖峰厚尾形態(tài)，且JB 統(tǒng)計量為 519.008 8，其正態(tài)性檢驗也證實了收益率r偏離正態(tài)分布。

(三)模型檢驗

1.平穩(wěn)性檢驗

收益率數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗采用的是單位根 ADF 檢驗，其中根據(jù) SIC 信息準則，使其值最小滯后階數(shù)為最優(yōu)，通過分析選擇滯后1期，且r均值幾乎為零，選擇無截距檢驗，ADF 統(tǒng)計量檢驗的p值非常小，所以斷定此序列是一個平穩(wěn)序列(見表1)。

表1ADF檢驗結果

2.自相關檢驗

通過檢驗可知，各階滯后的Q 統(tǒng)計量的p值都大于0.05，且由相關系數(shù)AC 和偏相關系數(shù)PAC可以看出在95%的顯著水平下，殘差序列不存在序列自相關。

殘差序列的平方存在高階自相關，各階滯后的Q 統(tǒng)計量的p值都小于0.05。

3.ARCH效應檢驗

Engle提出LM檢驗法，來檢驗收益率序列是否能夠建立ARCH模型。如表2所示：當q=3 時， LM統(tǒng)計量的χ2檢驗和F統(tǒng)計量的P值均為0.000 0，即收益率的殘差序列高階ARCH 效應明顯，符合GARCH模型建立條件。

表2ARCH-LM檢驗結果

(四)模型的建立及預測

本文采用樣本內(nèi)預測，對2008-2013年上證綜指的日收益率分別建立了GARCH、GARCH-M、TGARCH、EGARCH 模型進行比較。對于每個模型本節(jié)都選取2013年的數(shù)據(jù)為對照組，首先通過2008 -2012 年的前1 218個數(shù)據(jù)來估計模型的參數(shù)，然后再預測2013 年238個交易日的上證綜指收益率的日VaR值，最后將預測的值進行事后檢驗。估計的結果如表3-6所示。

表3　GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計結果

表4　GARCH(1,1)-M模型的參數(shù)估計結果

表5　TGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計結果

表6　EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計結果

表7　2013年VaR估計結果的事后檢驗

(五)基于失敗率的VaR檢測

本文對 VaR模型進行事后準確性檢驗選用Kupiec[17]提出的“失敗頻率檢驗法”。Kupiec假設VaR估計具有時間獨立性，將準確性檢驗轉化為檢驗失敗率的零假設。在置信水平為c下失敗的期望概率p*=1-c，那么失敗檢驗的二項式結果即為一系列獨立的伯努利實驗。

假定失敗率為p=N/T(T為樣本數(shù)，N為失敗次數(shù))，Kupiec提出了對零假設p=p*的似然比率檢驗：

(7)

本文用于檢測的樣本共238個，按照該方法，置信水平95%和99%的非拒絕域分別為5

四、結論

金融風險管理的VaR方法是近幾年來學術界關注的重點。我國研究分析的一個重要目的就是要科學有效地管理市場風險，提高資金的利用率。本文基于GARCH模型族，充分結合殘差項服從正態(tài)分布、t分布、GED分布的三種假設，在不同的置信水平下量化分析我國上證綜指的VaR，并對模型有效性進行檢驗。得出如下主要結論：

第一，根據(jù)日收益率序列的統(tǒng)計特征可以分析得出傳統(tǒng)的VaR計算方法并不能夠反映上證綜指尖峰厚尾和波動集聚的特點，本文通過實證分析得出GARCH模型族能夠較好地描繪金融時間序列的短期波動。在建立的GARCH模型族中，TGARCH模型和EGARCH模型都能夠很好地解釋股票市場對非對稱沖擊的反饋信息，且TGARCH模型計算的結果更符合實際。

第二，從參數(shù)ρ(見表4)可以看出，收益率序列自身的波動對收益有較小的影響，說明上海股票市場并不適用GARCH-M模型。同時參數(shù)τ(見表5)為負和參數(shù)δ(見表6)為正，條件方差在同等條件下，利好消息比利空消息更為敏感，說明存在杠桿效應，反映了我國股票市場的信息不對稱以及“政策市”的存在。目前這種政府定位以及不成熟的市場環(huán)境使市場機制不能充分發(fā)揮，我國證券市場缺乏賣空機制。

第三，在VaR 值的測算方面，分別在99%和95%置信水平下進行了準確性檢驗，得出在95%置信水平下，幾乎所有模型計算的VaR值過于保守，而基于GED 分布的模型VaR值被高估可能性被降低，且其計算的精準度也比t分布模型高。VaR值被高估在一定程度上會造成資金流動率過低，財務杠桿未能充分利用，致使企業(yè)競爭力不足。總的來說，采用99%置信水平下基于TGARCH-GED模型能夠更好地反映上海股票市場風險。

參考文獻

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(責任編輯：任紅梅)

收稿日期：2014-10-14

基金項目：陜西省自然科學基金項目(2014JM93067)

作者簡介：劉小冬(1963-)，男，陜西西安人，西安財經(jīng)學院管理學院教授，博士，碩士生導師，研究方向為博弈論及其應用；陳俊(1990-)，女，陜西安康人，西安財經(jīng)學院碩士研究生，研究方向為金融工程；杜歡(1988-)，女，陜西西安人，西安財經(jīng)學院碩士研究生，研究方向為金融工程。

中圖分類號：F830.91：F224

文獻標識碼：A

文章編號：1672-2817(2015)02-0023-05

Research on Calculation of VaR of Shanghai Composite Index
Based on GARCH Family Models

LIUXiao-dong,CHENJun,DUHuan

(Xi’an University of Finance and Economics,Xi’an 710100,China)

Abstract:VaR methods have become a global consensus measurement of risk in recent years . On the basis of theoretical analysis of VaR, this article takes the Shanghai composite index in our country as an example, combining with GARCH family models, analyses and compares the consequence of VaR under the assumptions of the normal distribution,t distribution and GED distribution. Besides, it uses the Kupiec method to verify the accuracy. Through the empirical analysis, it is concluded that the TGARCH-GED model can better reflect the risk of stock market.

Keywords:Shanghai composite index; VaR methods; GARCH models; accuracy test