混合序列加權(quán)和的完全收斂性及a.s.收斂性

陳晨1，2

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2 湖北大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 武漢 430062)

摘要在新的條件下討論了不同分布的混合序列加權(quán)和的完全收斂性，獲得了混合序列完全收斂的兩個充分條件及Marcinkiewicz-Zygmund型的強(qiáng)大數(shù)定律.

關(guān)鍵詞混合序列；加權(quán)和；完全收斂法；a.s.收斂

作者簡介陳晨(1980-)，女，碩士，講師，研究方向：隨機(jī)級數(shù)，E-mail:wenter_198294@163.com

基金項(xiàng)目應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目

中圖分類號O211.4文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

Complete Convergence and Almost Sure Convergence for Weighted

ChenChen1，2

(1 College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China;

2 Hubei Key Laboratory of Applied Mathematics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

1預(yù)備知識與引理

設(shè)N為自然數(shù)集，{Xn,n≥1}是概率空間(Ω，Ψ，P)上的隨機(jī)變量序列，F(xiàn)s=σ(Xi,i∈S?N)為σ域，記Lp(Ψ)為所有的Ψ可測且p階矩有限的隨機(jī)變量全體，在Ψ中給定σ域F，U，令：

ρ(F,U)=sup{|corr(X,Y)|;X∈L2(F),Y∈L2(U)}.

關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量的一些經(jīng)典的極限理論，在20世紀(jì)30年代已獲得較為完善的發(fā)展.實(shí)際上我們所遇到的很多問題中的隨機(jī)變量都是不獨(dú)立的，因此隨機(jī)變量的相依性概念引起許多學(xué)者的研究興趣.對于混合序列的情形，已有許多學(xué)者給出了一系列深刻的結(jié)果，當(dāng)然這些結(jié)果大都是建立在強(qiáng)平穩(wěn)或者同分布的條件之下.

2完全收斂性

首先我們討論非同分布的混合序列加權(quán)和的完全收斂性.

證明令Xni=XiI(|aniXi|≤nα) ,先證:

(1)

①當(dāng)α>1,p≥1時,

n1-α→0,(n→∞).

②當(dāng)α>1,p<1時,

n-αnθn-α(p-1)=nθ-αp→0,(n→∞).

因此?ε>0,當(dāng)n充分大時，有

故要證明結(jié)論成立，只需證明：

(2)

(3)

先證明(2)式：

在定理1中若θ=1，則有以下相似結(jié)論，其證明過程與定理1類似.

推論1的證明過程與文[3]中定理2的證明方法相同.

3M-Z型強(qiáng)大數(shù)定律

證明不失一般性，令|ani|≤n-α,1≤i≤n,n∈N.

Xni=XiI(|Xi|≤nα) ,Yni=XiI(|Xi|>nα) ,

故要證結(jié)論成立，只需證：

(4)

(5)

(6)

然后證明(5)式：

最后證明(6)式.由Markov不等式及引理1知，

T1+T2.

故只需證T1,T2<∞.

-1,T1<∞的證法同(1).

(3) 當(dāng)α>1時，取q=2.

由此，定理2得證.

在定理2中若θ=1，則類似地有以下結(jié)果.

參考文獻(xiàn)

[4]Soo Hak Sung. Complete convergence for weighted sums ofρ*-mixing random variables[J]. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2010,52:447-454.

[5]Utev S, Peligrad M. Maximal inequalities and an invariance principle for a class of weakly dependent random variables[J].Theoret Probab, 2003(16):101-115.

[6]陳晨.隨機(jī)級數(shù)的T-可和性與本性收斂[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，32(1)：116-119.