帶諾依曼邊界的非局部問(wèn)題非平凡解的存在性

周靜,殷紅燕

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

摘要主要考慮一類帶諾依曼邊界的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的非平凡解的存在性，通過(guò)直接計(jì)算我們得到非局部算子的分部積分公式和格林公式.該問(wèn)題具有變分結(jié)構(gòu).通過(guò)驗(yàn)證該問(wèn)題滿足山路引理?xiàng)l件，證明了該問(wèn)題存在非平凡解的結(jié)論．

關(guān)鍵詞諾依曼問(wèn)題；分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程；非局部法向?qū)?shù)；非平凡解

收稿日期2014-10-27

作者簡(jiǎn)介周靜(1982-)，女，講師，研究方向：非線性偏微分方程，E-mail:zhouj@mail.scuec.edu.cn

基金項(xiàng)目中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZQ13017)

中圖分類號(hào)O175文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

The Existence of Nontrivial Solution of a Nonlocal

Problem with Neumann Boundary

ZhouJing,YinHongyan

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractThe main purpose of this paper is to investigate the existence of nontrivial solution of a Neumann type problem for fractional Schrodinger equations.Through direct computation, we obtain the integration by parts formula and Green′s identity.The problem has a variational structure.Through verifying the problem satisfying the Mountain pass theorem, we prove the existence of nontrivial solution of this problem．

KeywordsNeumann problem；fractional nonlinear Schrodinger equation；nonlocal normal derivative；nontrivial solution

本文主要考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性方程：

(1)

這里Cn,s是對(duì)應(yīng)于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(-Δ)s的標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，滿足：

在本文給出主要結(jié)果之前，先來(lái)回顧關(guān)于經(jīng)典條件下的一些工作，奇異的帶諾依曼邊界條件的次臨界指標(biāo)的非線性薛定諤方程如下：

(2)

1記號(hào)與預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階微分方程是許多工程和物理問(wèn)題中的抽象形式，在分形和多孔介質(zhì)的彌散、電解化學(xué)、半導(dǎo)體物理、凝聚態(tài)物理、粘彈性系統(tǒng)、生物數(shù)學(xué)及統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科中有重要的應(yīng)用，從而使得分?jǐn)?shù)階微分方程的研究得以飛速發(fā)展. 分?jǐn)?shù)階微積分理論主要研究任意階數(shù)的微分、積分算子的特性及應(yīng)用，其發(fā)展幾乎與整數(shù)階微積分理論同步，是整數(shù)階微積分理論的延伸，而分?jǐn)?shù)階微分算子與整數(shù)階微分算子最主要的區(qū)別在于：分?jǐn)?shù)階微分算子為非局部算子而整數(shù)階微分算子為局部算子.

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子中的s,s∈(0,1)是一個(gè)帶有|ξ|2s的偽梯度算子，精確的說(shuō)：

(-Δ)su=F-1(|ξ|2sF(u)(ξ)),

(3)

其中F為傅里葉變換.設(shè)u∈H2s(Rn),那么由(3)式所定義的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子與下面的公式等價(jià)[2]：

其中Cn,s是單位化常數(shù).

記γ(x,y)=Cn,s|x-y|-(n+2s).定義：

注意到K(x,y)=-K(y,x)，且2K(x,y)·K(y,x)=γ(x,y).

x∈Rn.

通過(guò)直接計(jì)算不難得出[1],s滿足：

定義3對(duì)應(yīng)于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的交互算子N定義為：

x∈Ωc.

由以上定義我們可以推導(dǎo)出如下高斯型公式和分部積分公式：

∫Ωv(-Δ)sudx=∫R2nΩcsu·svdydx-

本文所考慮的問(wèn)題具有變分結(jié)構(gòu)，令：

定義空間Hs(Ω)={u:Rn→R可測(cè)，且u,vHs(Ω) <∞}，它為Hilbert空間,范數(shù)為‖·‖2=·,·Hs(Ω) ，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]中命題3.1 g=0,ε=1 的情形．由索伯列夫定理可知，在Hs(Ω)上可以定義等價(jià)范數(shù)：

∫ΩV(x)u2dx.

顯然問(wèn)題(1)的弱解為如下泛函的臨界點(diǎn)：

若u∈Hs(Ω)是問(wèn)題(1)的弱解，則對(duì)任意的v∈Hs(Ω)，有：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy+

∫ΩV(x)uvdx-∫Ω|u|p-1uvdx=0.

(4)

由格林公式有：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy=

∫Ωv(-Δ)sudx-∫ΩcvN(su)dx,

最后一步具體由文獻(xiàn)[2]可得.從而(4)式變成：

∫Ω((-Δ)su+V(x)u-|u|p-1u)vdx-

∫ΩcvNsudx=0.

2主要結(jié)果及證明

引理1I的臨界點(diǎn)是問(wèn)題(1)的解.

證明對(duì)任意的v∈Hs(Ω),有：

I(u+tv)=I(u)+t(∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,

y)dxdy+∫ΩV(x)uvdx-∫Ω|u|p-1uvdx)+

p∫Ω|u+θtv|p-1v2dx).

其中θ∈(0,1)，所以：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy+∫ΩV(x)uvdx-

∫Ω|u|p-1uvdx=u,vHs(Ω) -∫Ω|u|p-1uvdx.

從而可知若u∈Hs(Ω)是I的臨界點(diǎn),那么u∈Hs(Ω)是問(wèn)題(1)的弱解.

引理2I滿足PS緊性條件.

從而有‖un‖有界.

顯然有：

I′(un)-I′(u),un-uHs(Ω) →0,n→∞.

由索伯列夫不等式可得：

引理3I滿足山路引理結(jié)構(gòu).

證明由引理1可知泛函：

由于p>1，可找到r>0使得：

由山路引理[6]可知，I有臨界點(diǎn)，從而問(wèn)題(1)有非平凡解.

參考文獻(xiàn)

[1]Dipierro S, Ros-Oton V, Valdinoci E. Nonlocal problems with Neumann boundary conditions[EB/OL]. [2014-07-11]. http://arxiv.org/abs/1407.3313v3.

[2]Nezza Eleonora Di, Palatucci G, Valdinoci E.

Hitchhiker′s guide to fractional Sobolev spaces[J]. Bull Sci Math, 2012,136:521-573.

[3]Lin C S, Ni W M, Takagi I. Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis system[J]. J Differential Equations, 1988,72(1):1-27.

[4]Ambrosetti A, Malchiodi A, Ni W M. Singularly perturbed elliptic equations with symmetry: existence of solutions concentrating on spheres I[J]. Comm Math Phys, 2003,235(3):427-466.

[5]Ambrosetti A, Rabinowitz P H. Dual variational methods in critical point theory and applications[J]. J Funct Anal,1973,14:349-381.

[6]Brezis H,Coron J M, Nirenberg L. Free vibrations for a nonlinear wave equation and a theorem of P. Rabinowtiz[J].Comm Pure Appl Math,1980,33:667-689.