Morse不等式的一個(gè)新證明

李合朋

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，四川達(dá)州635000)

摘要：用Witten形變理論在帶邊微分流形上給出Morse不等式一個(gè)新的證明方法. 首先，說(shuō)明了相切型Morse函數(shù)很自然地與帶邊流形的Hodge理論相結(jié)合；然后，利用Witten形變給出算子ΔT在臨界點(diǎn)的性態(tài)，進(jìn)而證明了定理.

關(guān)鍵詞：Morse不等式；Witten形變；Hodge理論；臨界點(diǎn)

收稿日期：2015-06-02

基金項(xiàng)目：四川文理學(xué)院2013年度自然科學(xué)面上項(xiàng)目“動(dòng)力系統(tǒng)幾何理論研究”(2013Z004Y)

作者簡(jiǎn)介：李合朋(1984—),男，河南蘭考人.助教，碩士，主要從事微分幾何研究.

中圖分類號(hào)：O186.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

不論是無(wú)邊流形還是帶邊流形的Morse理論都已經(jīng)被廣泛的研究了.[1-3]80年代初，Witten提出了一套新的方法，使Morse理論重新成為焦點(diǎn)，這個(gè)方法被稱為Witten形變.它不僅給出了經(jīng)典Morse理論新的證明，而且還自然地與Thom-Smale理論相連.這套理論的量子化即后來(lái)發(fā)展的Floer理論.

處理帶邊流形時(shí)，通?？紤]梯度與邊界相截的Morse函數(shù)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)邊流形，從而獲得相關(guān)結(jié)論.一個(gè)自然的問(wèn)題是：是否可以不借助無(wú)邊流形，直接研究帶邊流形的Morse理論.譬如，如何運(yùn)用Witten形變等等，由此考慮此類問(wèn)題的量子化.

基于上述目的，發(fā)現(xiàn)合理的選擇應(yīng)該是梯度與邊界相切的Morse函數(shù).它很自然地與帶邊流形的Hodge理論相結(jié)合，由此，利用Witten形變給出了帶邊流形Morse理論新的證明.

1預(yù)備知識(shí)

1．1帶邊流形的Morse理論

假設(shè)(M,N=?M)是一個(gè)n維的可定向的緊致的帶邊流形.g是一個(gè)度量，假設(shè)N 的鄰域?yàn)镹×[0,ε),度量在這個(gè)鄰域上為

g=gN+dt2

記外法向量-?/?t為ν.

令f:M→R是一個(gè)Morse函數(shù)，滿足

稱之為相切型Morse函數(shù).注意到，任何一個(gè)梯度與邊界橫截的函數(shù)都可以適當(dāng)?shù)男巫兂上嗲行偷?

將f的臨界點(diǎn)分為三類：內(nèi)點(diǎn)，內(nèi)向的邊界點(diǎn)，外向的邊界點(diǎn).先解釋一下后兩者的定義，假設(shè)x∈N是f的臨界點(diǎn)，不妨假設(shè)存在一個(gè)坐標(biāo)卡y=(y1，…，yn-1,t)使得度量

以及

并且當(dāng)k=n時(shí)，″=″成立.

于是有復(fù)形

1．2帶邊流形的Hodge理論與Witten變形

在帶邊流形上，考慮的兩種同調(diào)理論H*(M,R)和H*(M,N,R)，它們都有自己相應(yīng)的deRham理論.令

ivdω|N=0}

(1)

v*∧δω|N=0}

(2)

這里δ是d的對(duì)偶，v*是v的對(duì)偶.

對(duì)上述兩個(gè)復(fù)形，做如下Witten變換.為簡(jiǎn)單起見，著重對(duì)其中一個(gè)描述, 考慮復(fù)形

對(duì)任意T∈R,定義dT=e-TfdeTf.

證明： 利用f是相切型這一性質(zhì)，容易直接驗(yàn)證.

因此可以定義復(fù)形

顯然，這個(gè)復(fù)形定義的同調(diào)自然同構(gòu)于原復(fù)形所定義的同調(diào)理論.

下面考慮該復(fù)形的Hodge理論[6],由直接計(jì)算知dT的對(duì)偶

δT=eTfδe-Tf.

定義

則由經(jīng)典的Hodge理論[7]

2主要結(jié)論

假設(shè)x是非退化臨界點(diǎn)，存在一個(gè)鄰域Ux以及坐標(biāo)y=(y1，…yn)使得

以及

由標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算，算子ΔT在Ω*的核是

當(dāng)x是內(nèi)點(diǎn)，則沒有什么需要特殊處理的; 當(dāng)x是內(nèi)向的；則

證明的方法即把上面的“局部”觀察轉(zhuǎn)化為流形整體的結(jié)果.在此僅討論x是邊界點(diǎn)的情形，局部上有形式ωx,T,下面將適當(dāng)?shù)倪x取一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)γ:M→R 使得它的支集在x的一個(gè)小鄰域Ux內(nèi).令

其中

引理2ivρx,T=0,ivdρx,T=0.

首先

ivωx,T=0,ivdωx,T=0,

所以顯然

ivρx,T=0.

若選取的γ滿足

ivdγ=0.

(3)

則顯然有ivdρx,T=0,于是引理得證.

下面構(gòu)造一個(gè)γ使得(3)成立.

γ(y)=γ(y′,t)=γ1(y′)γ2(t).

此函數(shù)顯然滿足(3),從而證明了定理3.

由此命題出發(fā)，證明所有相關(guān)的Morse理論全是標(biāo)準(zhǔn)的.

參考文獻(xiàn)：

[1] Bismut J M.TheWittenComplexandtheDegenerateMorseInequalities[J]. Journal of Differential Geometry,1986(3):207-240.

[2] Zhang Gongqing, Liu Jiaquan.Morsetheoryundergeneralboundarycoditions[J]. Systems Science and Mathematical Sciences,1991(1):78-83.

[3] Zhou Jianwei.TheWittencomplexandtheMorseinequalities[J].Journal of Suzhou university,1999(4)：8-11.

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[5] M. Taylor.PartialdierentialequationsI[M].New York:Springer-Verlag,1997：368-370.

[6] F.W.Warner.FoundationsofdierentiablemanifoldsandLiegroups[M]. New York: Springer-Verlag,1983：222-249.

[7] 伍鴻熙，陳維桓.黎曼幾何選講[M].北京：北京大學(xué)出版社，1993：7-13.

[8] Weiping Zhang.LecturesonChern-WeiltheoryandWittendeformation[M].Tianjin:Nankai Treats in Mathematics,Vol.4,World Scientic,2001：59-72.

[責(zé)任編輯范藻]

A New Proof of Morse Inequalities

LI Hepeng

(Mathematics and Finance School of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

Abstract:Witten deformation theory is applied to a new proof of the Morse inequalities on a differentiable manifold with boundary. It is explained that the tangential Morse function is naturally combined with the Hodge theory of the manifold with boundary, then, Witten deformation gives the behavior of ΔT at critical point, and thus the theorem is proved.

Key words:Morse inequalities; Witten deformation; Hodge theory; critical point