王偉，劉立冬，王剛，贠超

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京100191)

工業(yè)機(jī)器人具有較大的靈活工作空間和較高的重復(fù)定位精度，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在自動化生產(chǎn)中.為了滿足更加精細(xì)的作業(yè)需求，如何進(jìn)一步提高工業(yè)機(jī)器人的定位精度是當(dāng)前的研究熱點之一.標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)系是提高機(jī)器人定位精度的有效手段之一.機(jī)器人基坐標(biāo)系一般設(shè)置在機(jī)器人底座的固定位置，當(dāng)?shù)?關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為0時，基坐標(biāo)系與第1連桿坐標(biāo)系重合.通常需要利用標(biāo)定方法才能獲得機(jī)器人基坐標(biāo)系在世界坐標(biāo)系中的精確位姿.精確標(biāo)定機(jī)器人基坐標(biāo)系，在機(jī)器人離線編程［1］、多機(jī)器人協(xié)調(diào)［2］和機(jī)器人控制［3］等領(lǐng)域具有重要的意義.

Haytti模型［4］、CPC 模型［5］、S 模型［6］和指數(shù)積模型［7］等被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人運動學(xué)參數(shù)的標(biāo)定，而有關(guān)機(jī)器人基坐標(biāo)系標(biāo)定的研究則較少.

目前國內(nèi)外有關(guān)機(jī)器人基坐標(biāo)系標(biāo)定的研究成果可分為:快速標(biāo)定和精細(xì)標(biāo)定.快速標(biāo)定適用于工業(yè)現(xiàn)場的機(jī)器人基坐標(biāo)的簡便標(biāo)定.快速標(biāo)定技術(shù)方法可分為3類.

第1類是采用球面、圓柱面和平面等特殊幾何形狀［8-9］.利用機(jī)器人末端與特殊幾何形狀接觸，從而將開鏈機(jī)器人轉(zhuǎn)化為閉鏈結(jié)構(gòu)，根據(jù)不同接觸位形建立非線性不相容方程組，求解該方程組的最小二乘解，實現(xiàn)機(jī)器人基坐標(biāo)系的標(biāo)定.

第2類采用線性位移傳感器等增量式測量設(shè)備.文獻(xiàn)［10］集成了線性位移傳感器，提出了一種“相對標(biāo)定”的想法.這種標(biāo)定方法包括的標(biāo)定步驟多，包括的誤差因素較多.

第3類采用單目或雙目視覺標(biāo)定技術(shù)［11-12］，其數(shù)學(xué)模型與第1類標(biāo)定方法相同.視覺標(biāo)定不需要實際的物理接觸，測量范圍更大，有利于提高最終的標(biāo)定精度，但是攝像頭本身的精確度會影響標(biāo)定結(jié)果.

精細(xì)標(biāo)定往往需要采用外部的精確測量設(shè)備，并設(shè)計相應(yīng)的離線標(biāo)定算法.典型的測量設(shè)備為激光跟蹤儀［13］、三維坐標(biāo)測量機(jī)和被動式機(jī)器人測量臂［14］等.精細(xì)標(biāo)定方法的周期較長，一般適用于離線場合.文獻(xiàn)［15］利用瞬時軸法標(biāo)定了雙臂協(xié)調(diào)機(jī)器人的基坐標(biāo)系，提高了旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性.文獻(xiàn)［16］對不精確的旋轉(zhuǎn)矩陣做奇異值分解，獲得了接近于單位齊次矩陣的真實旋轉(zhuǎn)矩陣.

本文采用四元數(shù)表示法來提高機(jī)器人基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性.本文建立了機(jī)器人運動學(xué)模型，設(shè)計了基坐標(biāo)系的初始標(biāo)定方法，提出了四元數(shù)表示法的基坐標(biāo)系的精確標(biāo)定方法，完成了標(biāo)定試驗，對比了標(biāo)定前后機(jī)器人的精度.

1 運動學(xué)建模

選定{S}為機(jī)器人基坐標(biāo)系，工具坐標(biāo)系{T}與末端被測點坐標(biāo)系重合.當(dāng)機(jī)器人的全部關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角都處于理論零位，即q={0}時，{S}和{T}之間的剛體位移定義為參考位形gst(0).

對于每一個關(guān)節(jié)，構(gòu)造一個螺旋ξi.對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)螺旋 ξi=［viωi］T，vi= － ωi× Oi，ωi∈R3是關(guān)節(jié)軸線方向上的單位矢量，Oi∈R3為軸線上的任一點.對于移動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)螺旋ξi=［vi0］T，vi∈R3是指向移動方向的單位矢量.

利用指數(shù)積公式將各關(guān)節(jié)的運動加以組合，可得n個關(guān)節(jié)的串聯(lián)機(jī)器人正向運動學(xué)方程:

往往測量坐標(biāo)系{M}與機(jī)器人基坐標(biāo)系{S}不重合，后者相對于前者存在一個剛體位移gms.在測量坐標(biāo)系{M}下描述的機(jī)器人正運動學(xué)方程為

2 基坐標(biāo)系初始標(biāo)定

設(shè)末端相對于測量坐標(biāo)系的位姿gmt(q)=，基坐標(biāo)系相對于測量坐標(biāo)系的位姿，末端相對于基坐標(biāo)系的位姿利用矩陣的分塊乘法，由式(2)，有

選取5個不共面的TCP，依次記為

由式(3)，依次做4次減法可得

Rms包括9個未知數(shù)，式(4)可以分解為12個獨立方程，那么式(4)為不相容方程組.對式(4)兩端做轉(zhuǎn)置，可得

令RTms=［x1x2x3］，則由式(5)可得

式中，bi和A為已知量;xi為待求量.

建立不相容方程組，可得

由于A為列滿秩，可得

由式(7)，可以求得Rms的3個列向量，以確定基坐標(biāo)系相對于測量坐標(biāo)系的姿態(tài).由式(3)可得

利用式(9)即可求得Pmt，從而確定基坐標(biāo)系相對于測量坐標(biāo)系的位置.由式(7)和式(9)可以完成基坐標(biāo)系的初步標(biāo)定.

3 基坐標(biāo)系精細(xì)標(biāo)定

利用上述初步標(biāo)定方法，可以獲得基坐標(biāo)系的初步位姿g'ms(q).但是由于測量誤差和計算截斷誤差的存在，導(dǎo)致g'ms(q)中的旋轉(zhuǎn)矩陣不能滿足單位矩陣的正交性.在基坐標(biāo)系精細(xì)標(biāo)定中，利用四元數(shù)表示法來解決旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性.

3.1 單位四元數(shù)表示法

描述兩坐標(biāo)系之間的姿態(tài)可以用3個獨立元素來描述.單位四元數(shù)是一種描述兩個正交坐標(biāo)系之間的相對姿態(tài)的數(shù)學(xué)表示法.單位四元數(shù)僅需要4個元素，需滿足一個約束條件.而旋轉(zhuǎn)矩陣包括9個元素，則需滿足6個約束條件.相對而言，四元數(shù)表示法比旋轉(zhuǎn)矩陣更加簡潔，且二者之間存在等效變換關(guān)系.

若存在四元數(shù)q，設(shè)為q=q0+iq1+jq2+kq3，令=iq1+jq2+kq3，那么

設(shè)與之對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為R，那么由關(guān)節(jié)螺旋定義可得

利用 Rodrigue 公式［17］，可得

式中

將式(10)、式(11)和式(13)代入式(12)，可得

式中

3.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的優(yōu)化

利用式(7)標(biāo)定所得的初步旋轉(zhuǎn)矩陣不能滿足旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性，因此需要優(yōu)化初步標(biāo)定結(jié)果.旋轉(zhuǎn)矩陣優(yōu)化就是定義一個目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)四元數(shù)變量取得最優(yōu)值時，目標(biāo)函數(shù)取極小值.

設(shè)與 q等效的旋轉(zhuǎn)矩陣為 R，令 R=Rot(q0，q1，q2，q3).定義 R 與 Rmt之間的距離函數(shù)為

其中F表示為矩陣的F范數(shù).選定上述距離函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)C，則

當(dāng)R為正交化結(jié)果時，應(yīng)滿足以下方程:

那么

且滿足:

方程(18)可視為一個數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，即求得多變量函數(shù)C的最小值，并且滿足約束條件q20+q21+q22+q23=1.拉格朗日乘子法為該類優(yōu)化問題提供了有效的求解方法.定義拉格朗日方程如下:

則式(20)可化為

將式(14)代入式(21)，可得

當(dāng)式(22)取得極值時，滿足以下非線性方程組:

列出上述方程組的顯示表達(dá)式為

式(24)為非線性方程組，包括5個變量和5個方程.利用牛頓迭代法即可求出式(24)的數(shù)值解

當(dāng)q*=［qO0qO1qO2qO3］取得該數(shù)值解時，其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣與初步標(biāo)定的旋轉(zhuǎn)矩陣距離最近，從而實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)矩陣的精細(xì)標(biāo)定.

4 標(biāo)定試驗

本節(jié)介紹機(jī)器人基坐標(biāo)系標(biāo)定的試驗系統(tǒng)組成、標(biāo)定步驟、標(biāo)定數(shù)據(jù)和標(biāo)定前后機(jī)器人精度對比.

4.1 標(biāo)定試驗系統(tǒng)

在運動學(xué)參數(shù)標(biāo)定試驗中，試驗系統(tǒng)由FARO ARM、末端球形靶標(biāo)和ABB公司的標(biāo)準(zhǔn)工業(yè)機(jī)器人IRB 1410組成，如圖1所示.圖1中{T}表示待測量的靶標(biāo)坐標(biāo)中心，視為工具坐標(biāo)系.{S}為IRB 1410機(jī)器人的基坐標(biāo)系，{M}為FARO ARM的測量坐標(biāo)系.IRB1410機(jī)器人的自由度數(shù)為6，其幾何參數(shù)的名義值為:l1=170 mm;l2=475 mm;l3=600 mm;l4=1195 mm;l5=720 mm.在{S}下，靶標(biāo)相對于機(jī)器人手腕中心的位置偏移量為(－14.17 mm，－12.10 mm，251.39 mm).

4.2 試驗步驟和數(shù)據(jù)

在圖1所述標(biāo)定系統(tǒng)中，F(xiàn)ARO ARM可以直接測量出靶標(biāo)中心{T}在{M}下的位置坐標(biāo).讀取IRB 1410的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，利用式(1)，可以獲得靶標(biāo)中心{T}在{S}下的名義位置.而在一次測量中，{S}與{M}之間存在一個固定的剛體變換gms.假設(shè)機(jī)器人運動學(xué)參數(shù)無誤差，利用四元數(shù)表示法即可精確標(biāo)定出gms的實際值.從而將測量所得位置坐標(biāo)和名義位置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到同一個坐標(biāo)系{M}中.

圖1 機(jī)器人基坐標(biāo)系標(biāo)定系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic of robot base frame calibration system

考慮到FARO ARM測量臂的測量范圍較小，本次測量一共設(shè)計20個測量點.每個測量點對應(yīng)一個不同的機(jī)器人關(guān)節(jié)位形.實際測量過程如圖2所示.一共測量20個不同的末端位置，3個坐標(biāo)分量記為{PxPyPz}T，如表1所示，p為末端位置序號.對應(yīng)的機(jī)器人關(guān)節(jié)位形q，如表2所示.

圖2 末端坐標(biāo)測量Fig.2 Coordinate measurement of end

表1 末端位置坐標(biāo)Table1 Position coordinates of end mm

表2 機(jī)器人關(guān)節(jié)位形Table2 Robot’s joint configurations

4.3 標(biāo)定結(jié)果

本節(jié)分別利用非線性最小二乘擬合、初步標(biāo)定和精細(xì)標(biāo)定等3種方法對試驗系統(tǒng)中的IRB 1410機(jī)器人的基坐標(biāo)系進(jìn)行標(biāo)定，并驗證標(biāo)定后的機(jī)器人末端的精度水平.

1)非線性最小二乘擬合.

將式(3)按行轉(zhuǎn)化為3個非線性方程.每個方程包括4個未知數(shù).分別取5個測量位形，采用最小二乘非線性擬合方法，即可求出4個未知數(shù).所選取的5個測量位形的序號分別是:4，8，11，14，17，標(biāo)定所得的基坐標(biāo)系位姿矩陣為

2)初步標(biāo)定.

利用式(7)和式(9)，即可求出初始標(biāo)定的基坐標(biāo)系位姿.所選取的5個測量位形的序號分別是:4，8，11，14，17，標(biāo)定所得的基坐標(biāo)系位姿矩陣為

3)精細(xì)標(biāo)定.

利用式(24)，即可求出精細(xì)標(biāo)定的基坐標(biāo)系位姿.所選取的5個測量位形的序號分別是:4，8，11，14，17，標(biāo)定所得的基坐標(biāo)系位姿矩陣的四元數(shù)為

對應(yīng)的齊次矩陣為

4)標(biāo)定結(jié)果對比.

分別利用最小二乘法擬合標(biāo)定結(jié)果、初始標(biāo)定結(jié)果和精細(xì)標(biāo)定結(jié)果，對4.2節(jié)中的20組機(jī)器人位形和對應(yīng)的末端位置進(jìn)行精度驗證.驗證結(jié)果如圖3所示，其中縱坐標(biāo)為所測點的名義坐標(biāo)與測量坐標(biāo)之間的絕對定位誤差，橫坐標(biāo)是所測點的序號.

圖3 精度驗證和比較Fig.3 Verification and comparation of accuracy

如果采用最小二乘擬合法對機(jī)器人基坐標(biāo)系進(jìn)行標(biāo)定，那么第1點處誤差最大，定位偏差為2.35 mm，在第17點處誤差最小，定位偏差為0.045 mm.

如果采用初始標(biāo)定的機(jī)器人基坐標(biāo)系位姿，那么第1點處誤差最大，定位偏差為3.09 mm，在第17點處誤差最小，定位偏差為0.099 mm.

如果采用本文的精細(xì)標(biāo)定方法，那么在第5點處誤差最大，定位偏差為1.30 mm，在第13點處誤差最小，其定位偏差為0.165 mm.

可見，經(jīng)過基坐標(biāo)系的精細(xì)標(biāo)定后，所測20個位置的定位誤差帶縮小，各點的定位誤差更加均勻，提高了機(jī)器人的定位精度.

5 結(jié)論

本文提出和實施了一種采用四元數(shù)表示法的機(jī)器人基坐標(biāo)系的精確標(biāo)定方法，提高了基坐標(biāo)系姿態(tài)矩陣的正交性.

1)初始標(biāo)定步驟中，建立待標(biāo)定齊次矩陣的不相容非線性方程組，以最小二乘解作為初始標(biāo)定結(jié)果.

2)在精細(xì)標(biāo)定中，采用了四元數(shù)法來描述機(jī)器人基坐標(biāo)系的實際位姿，以初始標(biāo)定位姿與實際位姿偏差矩陣的F范數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)方程，采用拉格朗日乘子法和牛頓迭代法獲得機(jī)器人基坐標(biāo)系的精確標(biāo)定結(jié)果.

3)搭建了工業(yè)機(jī)器人和測量臂組成的標(biāo)定試驗系統(tǒng)，完成20個測量點的驗證試驗，證明經(jīng)過本方法標(biāo)定后，最大機(jī)器人定位誤差減小為1.30 mm.

References)

［1］ Jin X S，Yang X C.Off-line programming of a robot for laser remanufacturing［J］.Tsinghua Science ＆ Technology，2009，14(S1):186-191.

［2］ Pradeep V，Konolige K，Berger E.Calibrating a multi-arm multisensor robot:a bundle adjustment approach［J］.Experimental Robotics Springer Tracts in Advanced Robotics，2014，79:211-225.

［3］ Graig J J.Introduction to robotics:mechanics and control［M］.3rd ed.Upper Saddle River:Pearson Education Inc，2005:10-20.

［4］ Hayati S A.Robot arm geometric link parameter estimation［C］//Proceedings of 22nd IEEE Conference on Decision and Control.San Antonio，Texas:IEEE，1983，22:1477-1483.

［5］ Zhuang H，Roth Z S，Hamano F.A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，1992，8(4):451-463.

［6］ Stone H W，Sanferson A C.A prototype arm signature identification system［J］.Proceeding of IEEE Conference on Robotics and Automation，1987，4:175-182.

［7］ He R，Zhao Y J，Yang S N，et al.Kinematic-parameter identification for serial-robot calibration based on POE formula［J］.IEEE Transactions on Robotics，2010，26(3):411-423.

［8］ Gan Z，Rossano G，Li X，et al.Method for calibrating and programming of a robot application:US，Patent 6，822，412［P］.2004-11-23.

［9］ Gu X，F(xiàn)eng C.A calibration procedure for a system of two coordinated manipulators［J］.International Journal of Robotics and Automation，1995，10(4):152-158.

［10］ Sun Y，Giblin D J，Kazerounian K.Accurate robotic belt grinding of workpieces with complex geometries using relative calibration techniques［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2009，25(1):204-210.

［11］ Jianbo S U.Base calibration for dual robot system［J］.Control Theory and Applications，1998，15(4):575-582.

［12］ Wang H，Shen S，Lu X.A screw axis identification method for serial robot calibration based on the POE model［J］.Industrial Robot:An International Journal，2009，39(2):146-153.

［13］ Nubiola A，Bonev I A.Absolute calibration of an ABB IRB 1600 robot using a laser tracker［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2013，29(1):236-245.

［14］ Santolaria J，Aguilar J J，Yanue J A，et al.Kinematic parameter estimation technique for calibration and repeatability improvement of articulated arm coordinate measuring machines［J］.Precision Engineering，2008，32(4):251-268.

［15］ Gan Y，Dai X.Base frame calibration for coordinated industrial robots［J］.Robotics and Autonomous systems，2011，59(7):563-570.

［16］ Ernst F，Richter L，Mmtthaus L，et al.Non-orthogonal tool/flange and robot/world calibration［J］.The International Journal of Medical Robotics and Computer Assisted Surgery，2012，8(4):407-420.

［17］ Murray R M，Li Z，Sastry S S，et al.A mathematical introduction to robotic manipulation［M］.Boca Raton:CRC Press，1994:28.