朱云龍，丑武勝，楊東凱

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191;2.北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100191)

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是國(guó)家重要基礎(chǔ)設(shè)施.接收機(jī)是系統(tǒng)與用戶的惟一接口，衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的捕獲是接收機(jī)信號(hào)處理部分的核心技術(shù)，用于搜索衛(wèi)星信號(hào)并將其牽引至跟蹤范圍內(nèi)［1-2］.捕獲是對(duì)擴(kuò)頻碼相位和載波頻率的二維搜索過程，捕獲系統(tǒng)將可能的碼相位和載波頻率搜索范圍分成若干分格，一個(gè)碼相位分格與一個(gè)載波頻率分格構(gòu)成一個(gè)搜索單元.搜索控制邏輯采用某種策略遍歷各搜索單元，檢測(cè)信號(hào)是否存在，并給出碼相位和載波頻率的粗略估計(jì)［2-7］.搜索策略可以是串行的也可以是并行的.

在檢測(cè)某個(gè)搜索單元時(shí)，一般采用門限判決法進(jìn)行檢測(cè)［8-9］，檢測(cè)量可使用輸入信號(hào)與本地復(fù)現(xiàn)信號(hào)相關(guān)結(jié)果的功率值，若檢測(cè)量高于門限，則認(rèn)為信號(hào)存在，該搜索單元對(duì)應(yīng)的值就是碼相位與載波頻率的估計(jì)值.

這種單次檢測(cè)的虛警概率和檢測(cè)概率往往不能滿足要求［9-10］，可以通過增加預(yù)檢測(cè)積分時(shí)間或是增加非相干累加次數(shù)的方式來改善檢測(cè)性能，但會(huì)使計(jì)算量和檢測(cè)時(shí)間都大幅增加.另一種提高檢測(cè)性能的方法是采用多次滯留的檢測(cè)算法，如M/N檢測(cè)算法、(1+M/N)檢測(cè)算法以及Tong 檢測(cè)算法等［2，8，10］.M/N 算法適用于信號(hào)較強(qiáng)的情況，且檢測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)，(1+M/N)算法是單次檢測(cè)與M/N檢測(cè)的結(jié)合體，也只適用于強(qiáng)信號(hào)情況［8］.Tong算法是一種可變滯留次數(shù)檢測(cè)算法，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單靈活，可以通過調(diào)整參數(shù)適應(yīng)各種環(huán)境下的信號(hào)檢測(cè).國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)Tong算法已進(jìn)行了比較多的研究［5-6，9-15］，這些研究討論了 Tong算法的虛警概率、檢測(cè)概率和噪聲單元平均滯留次數(shù)等性質(zhì)，但對(duì)檢測(cè)信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)卻少有研究.實(shí)際上，在并行搜索過程中，信號(hào)單元滯留次數(shù)對(duì)總捕獲時(shí)間將有比較重要的影響，同時(shí)也會(huì)影響到最大滯留次數(shù)等算法參數(shù)的選擇，對(duì)它的研究將有助于合理設(shè)置算法參數(shù)，提高檢測(cè)性能.本文將對(duì)信號(hào)單元滯留次數(shù)的均值和方差進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，給出最大滯留次數(shù)限定方法，分析算法參數(shù)對(duì)檢測(cè)性能的影響，并給出參數(shù)設(shè)置方法.本文以 GPS(Global Positioning System)C/A(Coarse/Acquisition)碼信號(hào)為例進(jìn)行討論，所得結(jié)論也可適用于北斗二號(hào)系統(tǒng)公開服務(wù)信號(hào).

1 Tong檢測(cè)算法結(jié)構(gòu)

Tong算法結(jié)構(gòu)如圖1所示［2］.該算法設(shè)定一個(gè)向上/向下計(jì)數(shù)器k，最大值為A，初始值為B.若檢測(cè)量超過判決門限Vt，則k加1，否則減1，當(dāng)k=A時(shí)捕獲成功，k=0時(shí)該搜索單元被否決，進(jìn)入下一搜索單元進(jìn)行檢測(cè).為防止k在A與0之間徘徊，可規(guī)定一個(gè)最大滯留次數(shù)Nmax，如在某一單元的滯留次數(shù)超過Nmax，則放棄此單元.

圖1 Tong檢測(cè)算法結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Tong detection algorithm

圖1中的檢測(cè)量l為功率檢測(cè)量，表達(dá)式為

式中，Ij，Qj為相關(guān)器I路與Q路輸出的預(yù)檢測(cè)積分結(jié)果;M為非相干累加次數(shù).

用H1表示信號(hào)存在，H0表示信號(hào)不存在.對(duì)功率檢測(cè)量做歸一化處理:z=l/σ2n.其中，σ2n是I路或Q路預(yù)檢測(cè)積分結(jié)果中噪聲的功率.可以證明［2］，z滿足如式(2)和式(3)所示的卡方分布:

式中，λ =2M·(s/n)=2M·(c/n)·TI，s/n為預(yù)檢測(cè)信噪比，c/n為預(yù)檢測(cè)載噪比，TI為預(yù)檢測(cè)積分時(shí)間;Γ(M)=(M－1)!為伽瑪函數(shù).

設(shè)歸一化判決門限為NVt，則單次檢測(cè)概率Pd和虛警概率Pf分別為

總檢測(cè)概率PD與總虛警概率PF與單次檢測(cè)概率和單次虛警概率有如下關(guān)系［5，12］:

2 滯留次數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性

2.1 平均滯留次數(shù)

2.1.1 噪聲搜索單元平均滯留次數(shù)

檢測(cè)噪聲單元的平均滯留次數(shù)Nn已有明確結(jié)論，如式(8)所示［12］.其中，r=(1 － Pf)/Pf.

2.1.2 信號(hào)搜索單元平均滯留次數(shù)

以下來推導(dǎo)檢測(cè)信號(hào)單元時(shí)滯留次數(shù)的平均值.假定檢測(cè)正在信號(hào)單元中進(jìn)行，第n次判決時(shí)，計(jì)數(shù)器值k=i，或記為k(n)=i，下一次判決時(shí)計(jì)數(shù)器的值只能加1或減1，加1的概率為減1的概率為

假定計(jì)數(shù)器從到達(dá)i后到結(jié)束對(duì)此單元的檢測(cè)的滯留次數(shù)為 X(i)，其均值為 Ns(i)=暫時(shí)忽略最大滯留次數(shù)的制約(事實(shí)上，通過合理設(shè)置Nmax可以使滯留次數(shù)超過Nmax的概率極小，而且考慮Nmax制約時(shí)，難以得到閉式解).這時(shí)，結(jié)束檢測(cè)主要分為兩種情況:一是計(jì)數(shù)器到達(dá)A，信號(hào)捕獲成功;二是計(jì)數(shù)器到達(dá)0，發(fā)生漏檢.

在第1種情況下，X(i)的最小可能取值為A－i，即每次判決后計(jì)數(shù)器的值均加1，一直到達(dá)A.則Ns(i)可表示為

則由全概率公式可得

由于X(i－1)的最小值為A－i+1，因此有

故而，E1可表示為

用相同方法處理 E2得:E2≈Pd［Ns(i+1)+1］.

由以上推導(dǎo)可得

在第2種情況下，即發(fā)生漏檢時(shí)，X(i)的最小值為i，即每次判決計(jì)數(shù)器的值均減1，一直到達(dá)0.用與上面類似的推導(dǎo)辦法，可得出這時(shí)Ns(i)的遞推形式與式(10)一致.

當(dāng)計(jì)數(shù)器到達(dá)A時(shí)，宣布信號(hào)存在，因此沒有滯留，故而Ns(A)=0;當(dāng)計(jì)數(shù)器到達(dá)0時(shí)，此單元被放棄，發(fā)生漏檢，也沒有滯留，因此Ns(0)=0.如此便得到遞推關(guān)系的兩個(gè)邊界條件.

綜上所述，可得平均滯留次數(shù)的遞推模型為

令 a=(1 －Pd)/Pd，b=1/Pd，解差分方程得

令i等于計(jì)數(shù)器初始值B，并將a與b表達(dá)式代入式(12)，可得檢測(cè)信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)為

2.2 信號(hào)搜索單元滯留次數(shù)方差

令Ds(i)為計(jì)數(shù)器值為i時(shí)滯留次數(shù)X(i)的方差，由方差的定義容易得到

此差分方程較復(fù)雜，這里不做通解推導(dǎo).在實(shí)際應(yīng)用中可通過數(shù)值方法求解.

令 Δ(i)=Rs(i)－Rs(i+1)，對(duì)式(15)變形可得

式中

可以解得

通過數(shù)值計(jì)算可得 Δ(0)的值，進(jìn)而得到Rs(1)=Rs(0)－Δ(0)= －Δ(0)，再通過式(15)，求得各個(gè)Rs(i).令 i=B，由式(14)可得檢測(cè)信號(hào)單元的滯留次數(shù)方差為

2.3 最大滯留次數(shù)的選擇方法

在下面的分析中將會(huì)看到，信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)往往遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，因此最大滯留次數(shù)的選擇以信號(hào)單元的情況為準(zhǔn).可依據(jù)3西格瑪原則，取最大滯留次數(shù)為

3 Tong檢測(cè)算法性能分析

檢測(cè)一般采用涅曼-皮爾遜準(zhǔn)則，即恒虛警準(zhǔn)則.限定總虛警概率PF后，由式(7)求得單次虛警概率Pf，由式(5)求得門限后，可由式(4)求得單次檢測(cè)概率Pd，然后由式(6)求得總檢測(cè)概率PD，由式(8)、式(13)分別求得噪聲單元平均滯留次數(shù)Nn和信號(hào)單元平均滯留次數(shù)Ns.分析使用GPS C/A碼信號(hào)，預(yù)檢測(cè)積分時(shí)間TI=1 ms，非相干累加次數(shù)M=1.限定總虛警概率PF=10－6.

3.1 檢測(cè)概率分析

圖2是Tong算法的總檢測(cè)概率曲線.可以看出，增加A和B均能使總檢測(cè)概率提高，增加B的效果比增加A的效果更明顯.

圖2 Tong算法總檢測(cè)概率Fig.2 Total detection probabilities of Tong algorithm

3.2 平均滯留次數(shù)分析

3.2.1 噪聲搜索單元中的平均滯留次數(shù)

表1為不同A與B下，噪聲單元平均滯留次數(shù).可以看出，增加A與B的值均會(huì)使噪聲單元的平均滯留次數(shù)增加，增加B的效果更為明顯.

表1 不同A與B下噪聲搜索單元平均滯留次數(shù)Table1 Average dwell times of noise search unit for different A and B

3.2.2 信號(hào)搜索單元中的平均滯留次數(shù)

表2與表3為不同A與B下，信號(hào)單元的平均滯留次數(shù).其中，表2中的數(shù)據(jù)在預(yù)檢測(cè)信噪比s/n=6 dB情況下得到，表3中的數(shù)據(jù)在預(yù)檢測(cè)信噪比s/n=9 dB情況下得到.

表2 不同A與B下信號(hào)搜索單元平均滯留次數(shù)(s/n=6 dB)Table2 Average dwell times of signal search unit for different A and B(s/n=6 dB)

表3 不同A與B下信號(hào)搜索單元平均滯留次數(shù)(s/n=9 dB)Table3 Average dwell times of signal search unit for different A and B(s/n=9 dB)

從表2和表3可以看出，信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，增大A會(huì)使信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)增加.

在A一定時(shí)，若s/n較低，則B較小時(shí)，平均滯留次數(shù)也較小，B較大時(shí)，平均滯留次數(shù)也較大.這是由于當(dāng)s/n較低時(shí)，尤其當(dāng)A也較小時(shí)，檢測(cè)概率也較低，例如s/n=6 dB，A=4，B=1時(shí)，Pd=48.36%，PD=22.60%;A=4，B=2 時(shí)，Pd=48.32%，PD=36.02%，這種情況下很容易發(fā)生漏檢，計(jì)數(shù)器值減小并到達(dá)0的概率較大，此時(shí)不同B值下的單次檢測(cè)概率較為接近，則B越小，計(jì)數(shù)器越容易到達(dá)0，平均滯留次數(shù)也越小.隨著A的增大，檢測(cè)概率也在增大，計(jì)數(shù)器值增加并到達(dá)A的可能性變大，但單次檢測(cè)概率仍不是很高，中間過程有可能出現(xiàn)反復(fù)，例如s/n=6 dB，A=8，B=1 時(shí)，Pd=83.99%，PD=80.94%;A=8，B=2 時(shí)，Pd=83.78%，PD=96.25%，B 較小時(shí)單次檢測(cè)概率稍大，因此平均滯留次數(shù)稍小.

在A一定時(shí)，若s/n較高，則B較小時(shí)，平均滯留次數(shù)較大，B較大時(shí)，平均滯留次數(shù)較小.這是由于，若s/n較高，則檢測(cè)概率也較高，例如s/n=9 dB 時(shí)，A=4，B=1 時(shí)，Pd=86.31%，PD=84.19%;A=4，B=2 時(shí)，Pd=86.28%，PD=97.48%;A=12，B=1 時(shí)，Pd=99.30%，PD=99.29%;A=12，B=2 時(shí)，Pd=99.27%，PD=99.99%.這時(shí)，計(jì)數(shù)器值增加并到達(dá)A的概率較大，且不同B值下的單次檢測(cè)概率較為接近，則初始位置越接近A，平均滯留次數(shù)越小.隨著A的增加，不同B值下的平均滯留次數(shù)之差趨于定值，即計(jì)數(shù)器初始位置之差，例如，B=1和B=2兩種情況下的平均滯留次數(shù)之差隨著A的增加趨于1.

表4是不同A與B值及預(yù)檢測(cè)信噪比s/n情況下信號(hào)單元的平均滯留次數(shù).

表4 不同A，B和s/n下信號(hào)搜索單元平均滯留次數(shù)Table4 Average dwell times of signal search unit for different A，B and s/n

由表4可以看出，除了A=4，B=1情況外，其他各種A，B組合情況下的信號(hào)單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高而減小.這是由于隨著s/n的提高，檢測(cè)概率將增加，計(jì)數(shù)器到達(dá)A的可能性增大，中間的反復(fù)過程減少，平均滯留次數(shù)隨之下降.另外，由圖2可以看出，隨著s/n的提高，在一定的A，B組合下，總檢測(cè)概率增加的趨勢(shì)越來越緩慢，單次檢測(cè)概率增加的趨勢(shì)也將變緩，這造成平均滯留次數(shù)下降趨勢(shì)的減緩，逐漸接近成功捕獲所需的最低滯留次數(shù).

對(duì)于A=4，B=1的情況，上面已經(jīng)提到，當(dāng)s/n較低時(shí)，漏檢概率較大，例如s/n=6 dB時(shí)，Pd=48.36%，PD=22.60%，又由于 B 值較小，因此計(jì)數(shù)器很容易到達(dá)0，造成平均滯留次數(shù)較小;當(dāng)s/n有所提高時(shí)，檢測(cè)概率也會(huì)增加，但仍然不很高，例如 s/n=7 dB時(shí)，Pd=61.53%，PD=44.24%，這會(huì)造成中間過程的反復(fù)，致使平均滯留次數(shù)增加;若s/n繼續(xù)增加，則檢測(cè)概率迅速增加，例如 s/n=10 dB 時(shí)，Pd=94.20%，PD=93.84%，這時(shí)，中間反復(fù)過程減少，平均滯留次數(shù)降低.

4 算法參數(shù)設(shè)置

Tong算法的主要可調(diào)參數(shù)是A與B.通過以上分析可知，當(dāng)信號(hào)較強(qiáng)(即s/n較大)時(shí)，A和B的值不需要取很大就能滿足檢測(cè)概率的需求.對(duì)于串行搜索，檢測(cè)多數(shù)情況下在噪聲單元中進(jìn)行，適當(dāng)增大A、減小B可以在保證檢測(cè)概率的前提下，減小噪聲單元中的平均滯留次數(shù)，例如可選A=8，B=1;對(duì)于并行搜索，信號(hào)單元滯留次數(shù)影響較大，可以適當(dāng)減小A、增大B，這樣可以在保證檢測(cè)概率的前提下，減小信號(hào)單元中的平均滯留次數(shù)，縮短捕獲時(shí)間，例如可選A=6，B=2.

在信號(hào)較為微弱(即s/n較小)的情況下，對(duì)串行搜索，可以通過增加A的方法來提高檢測(cè)概率，例如，可選A=12，B=1，這樣既能保證檢測(cè)性能，又能使噪聲單元的平均滯留次數(shù)不至于過大;對(duì)并行搜索，可以通過增加A或B的方法，尤其是增加B的方法來提高檢測(cè)概率，可選A=10，B=2或者A=8，B=2，這樣既能保證高檢測(cè)概率，又可以使信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)不至于過大.

總之，參數(shù)的選擇應(yīng)依據(jù)信號(hào)強(qiáng)弱和搜索方式，并且要折衷考慮對(duì)檢測(cè)概率與平均滯留次數(shù)的影響.

5 結(jié)論

1)在涅曼-皮爾遜準(zhǔn)則下，增加計(jì)數(shù)器上限A和初值B能使Tong檢測(cè)算法的總檢測(cè)概率提高，增加B的效果尤為明顯.

2)增加A與B的值會(huì)使檢測(cè)噪聲單元的平均滯留次數(shù)增加，增加B的效果更為明顯.

3)信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，增大A會(huì)使信號(hào)單元的平均滯留次數(shù)增加.若預(yù)檢測(cè)信噪比s/n較低，則B較小時(shí)，平均滯留次數(shù)也較小，B較大時(shí)，平均滯留次數(shù)也較大;若s/n較高，則B較小時(shí)，平均滯留次數(shù)較大，B較大時(shí)，平均滯留次數(shù)較小.

4)A與B一定時(shí)，一般情況下信號(hào)單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高而減小.若A與B均較小，則信號(hào)單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高先增大而后減小.

5)A與B的選擇需依據(jù)信號(hào)強(qiáng)弱和搜索方式，并且要折衷考慮對(duì)檢測(cè)概率與平均滯留次數(shù)的影響.

6)最大滯留次數(shù)可依據(jù)信號(hào)單元滯留次數(shù)的均值和方差，采用3西格瑪原則確定.

References)

［1］ 謝剛.GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009:349-389.Xie G.Principles of GPS and receiver design［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2009:349-389(in Chinese).

［2］ 寇艷紅.GNSS軟件接收機(jī)與信號(hào)模擬器系統(tǒng)研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2006.Kou Y H.The study on GNSS software receiver and signal simulation system［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006(in Chinese).

［3］ 張麗娜.Galileo系統(tǒng)BOC信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)研究與實(shí)現(xiàn)［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2007.Zhang L N.BOC signals processing platform in Galileo system design and research［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007(in Chinese).

［4］ 鄧煒.導(dǎo)航衛(wèi)星信號(hào)處理算法測(cè)試平臺(tái)研究與實(shí)現(xiàn)［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2006.Deng W.Navigation satellite signal process algorithm testing platform design and research［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006(in Chinese).

［5］ Kaplan E D，Hegarty C J.Understanding GPS:principles and applications［M］.2nd ed.Boston:Artech House Inc，2006:223-227.

［6］ Enge P K.The global positioning system:signals，measurements，and performance［J］.International Journal of Wireless Information Networks，1994，1(2):83-105.

［7］ Tusi J B Y.Fundamentals of global positioning system receivers:a software approach［M］.New York:John Wiley ＆ Sons Inc，2000:133-164.

［8］ 孫禮.GPS接收機(jī)系統(tǒng)的研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，1998.Sun L.The study on GPS receiver system［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，1998(in Chinese).

［9］ 姚錚，崔曉偉，陸明泉，等.應(yīng)用于GPS接收機(jī)的序貫檢測(cè)器性能分析［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，47(7):1166-1169.Yao Z，Cui X W，Lu M Q，et al.Performance analysis of sequential detector for GPS receivers［J］.Journal of Tsinghua University:Science and Technology，2007，47(7):1166-1169(in Chinese).

［10］ 馬琳，崔嵬，吳嗣亮.極低信噪比環(huán)境下含近鄰約束的改進(jìn)唐檢測(cè)判決算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(8):1745-1749.Ma L，Cui W，Wu S L.Improved Tong multiple trial algorithm with near neighbor constraint in extremely low SNR condition［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33(8):1745-1749(in Chinese).

［11］ Tong P S.A suboptimum synchronization procedure for pseudo noise communication systems［C］//IEEE 1973 National Telecommunications Conference Vol.II.Piscataway，NJ:IEEE Press，1973:26D1-26D5.

［12］ 李思超，葉甜春，徐建華.唐檢測(cè)器的駐留時(shí)間及檢測(cè)性能分析［J］.電子測(cè)量技術(shù)，2009，34(3):53-55.Li S C，Ye T C，Xu J H.Analysis on resident time and detection performance of Tong detector［J］.Electronic Measurement Technology，2009，34(3):53-55(in Chinese).

［13］ Daffara F，Vinson P.Improved search algorithm for fast acquisition in a DSP-based GPS receiver［C］//Proceeding of ISSSE 98.Piscataway，NJ:IEEE Press，1998:310-314.

［14］ 孫曉峰，劉云飛，王西奪.高動(dòng)態(tài)條件下Tong檢測(cè)技術(shù)應(yīng)用研究［J］.無線電工程，2012，42(4):34-36.Sun X F，Liu Y F，Wang X D.Application research of Tong detection based on high dynamic environment［J］.Radio Engineering，2012，42(4):34-36(in Chinese).

［15］ 馬琳，崔嵬，田靜，等.基于馬爾科夫鏈的含有檢測(cè)次數(shù)約束條件的唐檢測(cè)器［J］.宇航學(xué)報(bào)，2011，32(8):1799-1804.Ma L，Cui W，Tian J，et al.Study on Tong detector with number of detection times constraint based on Markov chain［J］.Journal of Astronautics，2011，32(8):1799-1804(in Chinese).