徐元銘，李松澤

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

整體加筋壁板由于其制造成本低、有較長(zhǎng)的疲勞壽命等優(yōu)點(diǎn)，近些年來(lái)在飛機(jī)結(jié)構(gòu)上有著廣泛的應(yīng)用.在制造技術(shù)方面，整體加工技術(shù)和增材制造技術(shù)(如電子束自由成型制造技術(shù)［1］)不斷取得發(fā)展，又進(jìn)一步推動(dòng)了整體加筋壁板的發(fā)展，擴(kuò)展了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間［1］.在這樣的背景下，一些學(xué)者從豐富筋條結(jié)構(gòu)層次的角度出發(fā)，提出了次加筋板(sub－stiffened panel)的概念(見(jiàn) 1.1 節(jié)).次加筋板是一種含有比主筋條(primary stiffener)尺寸小的、能夠起到提高穩(wěn)定性作用的次筋條(sub－stiffener)的加筋板［2］.它與傳統(tǒng)整體加筋板相比，在同等壁板結(jié)構(gòu)重量條件下，可較大地提高結(jié)構(gòu)的抗失穩(wěn)性能和抑制裂紋擴(kuò)展的能力.

通過(guò)在傳統(tǒng)加筋板的主筋條之間布置次筋條，可以改變主筋條之間面板(簡(jiǎn)稱(chēng)帶板)發(fā)生初始屈曲時(shí)的屈曲模態(tài).適當(dāng)?shù)亍翱刂啤睅О宓那B(tài)，便可以提高它的臨界屈曲載荷，進(jìn)而提高次加筋板的穩(wěn)定性.其中，主筋條在尺寸和剛度上比次筋條大很多，當(dāng)次加筋板承受載荷達(dá)到臨界屈曲載荷時(shí)，通常帶板先發(fā)生屈曲，主筋條仍未發(fā)生彎曲失穩(wěn).

到目前為止，國(guó)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了一些研究，F(xiàn)arley［3］對(duì)7075鋁合金方板進(jìn)行研究，以很小的重量增加(2% ～5%)為代價(jià)，使棱柱形次加筋板屈曲性能相對(duì)于傳統(tǒng)加筋板提高了23%～68%.Bushnell等［4］利用 Panda2程序?qū)庵未渭咏畎暹M(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果顯示次加筋板可以降低屈曲性能對(duì)筋條間距的敏感度.Watson等［5］應(yīng)用基于有線條理論的VICONOPT程序?qū)紤]后屈曲性能的次加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化.Murphy，Quinn和?zak?a 等［2，6－8］應(yīng)用非線性有限元軟件分析了次加筋結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，表明引入次加筋結(jié)構(gòu)可以使原來(lái)的加筋板的屈曲和后屈曲承載能力提高10%以上.Khvyiuzov等［9］對(duì)不同次筋條高度的等重量的次加筋矩形板進(jìn)行了研究，探索了次加筋條的最優(yōu)布局形式.國(guó)內(nèi)對(duì)這一結(jié)構(gòu)的研究剛剛起步，王博等［10］對(duì)次加筋板的初始缺陷敏感度進(jìn)行了研究，結(jié)果表明與傳統(tǒng)加筋板相比，初始缺陷對(duì)次加筋板的屈曲載荷的影響更小.以上這些學(xué)者的研究均采用的是試驗(yàn)或有限元方法，雖然精確，但費(fèi)用或計(jì)算成本過(guò)高，不適合在初步設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)階段使用.

因此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，借助于傳統(tǒng)加筋板的理論計(jì)算公式，探索了四邊簡(jiǎn)支的棱柱形次加筋板在受到軸向壓縮載荷以及壓剪組合載荷作用下的屈曲載荷的近似計(jì)算公式.通過(guò)與有限元軟件ABAQUS的計(jì)算結(jié)果相對(duì)比，驗(yàn)證計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和適用性.

1 次加筋板臨界失穩(wěn)載荷計(jì)算方法

1.1 模型主要參數(shù)及受載情況

本文分析的結(jié)構(gòu)是圖1中棱柱形次加筋板，它的特點(diǎn)是次筋條的截面形狀為矩形，且次筋條為直筋條.模型受載情況是次加筋板端面承受均勻的壓縮載荷或壓剪組合載荷，如圖2所示.

圖1 傳統(tǒng)加筋板和次加筋板的比較Fig.1 Comparison between traditional stiffened panel and sub－stiffened panels

圖2 次加筋板的主要尺寸與載荷的示意圖Fig.2 Schematic diagram of primary dimensions and load of sub－stiffened panel

假設(shè)平板部分作用有正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxy.在厚度方向上應(yīng)力是均勻分布的，單位長(zhǎng)度的壓縮和剪切內(nèi)力分別為:Nx= σx·t，Nxy= τxy·t.主、次筋條的端面應(yīng)力與平板的端面應(yīng)力σx相同，主、次筋條端面合力分別為:Np=hp·tp·σx，Ns=hs·ts·σx.

1.2 基本假設(shè)和失穩(wěn)載荷近似計(jì)算方法

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，采取如下假設(shè):忽略材料非線性的影響，只研究次加筋薄壁板彈性穩(wěn)定性問(wèn)題;采用Kirchhoff板假設(shè)和小變形假設(shè);主筋條不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，即次加筋板不會(huì)發(fā)生整體失穩(wěn);不考慮筋條對(duì)板的扭轉(zhuǎn)約束限制，即筋板連接處看作簡(jiǎn)支約束.

文獻(xiàn)［5］和有限元數(shù)值仿真表明，棱柱形次加筋板主要可能發(fā)生3種失穩(wěn)情況:①次筋條之間的板發(fā)生失穩(wěn).②次筋條發(fā)生局部失穩(wěn).③主筋條之間，由次筋條和平板組成的帶板發(fā)生整體失穩(wěn).當(dāng)其中之一的情況出現(xiàn)時(shí)就認(rèn)為棱柱形次加筋板發(fā)生了失穩(wěn).失穩(wěn)模式示意圖如圖3所示.

圖3 次加筋板失穩(wěn)模式示意圖Fig.3 Schematic diagram of buckling forms of sub－stiffened panel

1.2.1 次筋條之間的平板失穩(wěn)［11］

當(dāng)次筋條與它們之間平板的彎曲剛度比值較大時(shí)，容易發(fā)生該種失穩(wěn).特征是次筋條與板連接處保持為直線，次筋條之間的板在y軸方向呈現(xiàn)出一個(gè)半波，x軸方向呈現(xiàn)若干個(gè)半波.此時(shí)，次筋條之間的平板可看作是四邊簡(jiǎn)支的彈性板.

當(dāng)僅在縱向壓縮載荷Nx或剪切載荷Nxy作用下，可使用經(jīng)典的矩形板屈曲載荷計(jì)算公式:

式中，D為板的彎曲剛度;k1，k2為穩(wěn)定系數(shù).對(duì)于大多數(shù)情況，面板的長(zhǎng)寬比遠(yuǎn)大于4，可近似看作為無(wú)限長(zhǎng)板，k1可以近似取為4.k2可由擬合公式得:k2=(5.34+4(bi/a)2)，a，bi分別為次筋條之間的平板的長(zhǎng)度和寬度.

當(dāng)受到均布?jí)杭艚M合載荷作用時(shí)，次加筋板的屈曲載荷可用下式計(jì)算:

1.2.2 次加筋條發(fā)生局部屈曲

當(dāng)次筋條高厚比很大的時(shí)候，會(huì)發(fā)生此類(lèi)失穩(wěn).特征是筋條與板相連接處仍保持為直線，自由端在筋條面外方向產(chǎn)生若干個(gè)半波.因此，次筋條可以看作長(zhǎng)寬比很大、三邊簡(jiǎn)支、一邊自由的板條.在失穩(wěn)發(fā)生時(shí)，次筋條端面應(yīng)力與平板端面應(yīng)力相同.由于筋條承受面外橫向載荷能力很弱，因此忽略筋條承受該方向外載的能力.

用經(jīng)典矩形板屈曲載荷理論可以得到次筋條在該邊界條件下的屈曲載荷［12］:

式中ks為穩(wěn)定系數(shù).次筋條長(zhǎng)寬比很大，穩(wěn)定系數(shù)可取為 ks=0.425［13］.

當(dāng)主筋條與帶板的彎曲剛度之比較大，且次筋條的彎曲剛度和高厚比較小時(shí)，容易發(fā)生此類(lèi)失穩(wěn).特點(diǎn)是主筋條間的帶板發(fā)生了整體失穩(wěn)，對(duì)于一般的航空薄壁結(jié)構(gòu)，在y軸方向有一個(gè)半波，在x軸方向有若干半波.這一結(jié)構(gòu)可看作四邊簡(jiǎn)支的加筋板.當(dāng)次筋條的數(shù)目比較密(大于2)時(shí)，帶板可進(jìn)一步看作正交各向異性板.

帶板的等效各向異性板厚度可表示為t－=t+(ns·ts·hs)/b(5)

式中ns為次筋條個(gè)數(shù).當(dāng)該等效性板僅在縱向壓縮載荷作用下，屈曲載荷計(jì)算公式為［11］

當(dāng)該等效各向異性板僅在剪切載荷作用下，可通過(guò)下式計(jì)算得到屈曲載荷［11］:

1.2.4 小 結(jié)

其次，加強(qiáng)宣傳工作，營(yíng)造良好的績(jī)效目標(biāo)管理考核氛圍。為了能夠使學(xué)校全體工作人員都能夠以積極的態(tài)度和飽滿(mǎn)的熱情參加到考核工作中來(lái)，必須從思想意識(shí)領(lǐng)域使其意識(shí)到績(jī)效目標(biāo)管理考核的重要性與必要性，使其充分認(rèn)識(shí)到所肩負(fù)的責(zé)任和承擔(dān)的使命，只有在此基礎(chǔ)上才能夠營(yíng)造出協(xié)同共進(jìn)的績(jī)效目標(biāo)管理考核氛圍，推動(dòng)考核工作法順利開(kāi)展。

在計(jì)算次筋條數(shù)大于2的次加筋板的臨界屈曲載荷時(shí)，綜合以上3種失效情況，取它們中的最小值為屈曲載荷.同時(shí)，最小值所對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)，即為次加筋板的屈曲模態(tài).該計(jì)算方法沒(méi)有考慮主筋條對(duì)次加筋壁板穩(wěn)定性的影響，在使用時(shí)應(yīng)注意滿(mǎn)足假設(shè)條件.

式中，p±m(xù)=奇數(shù);q±n=奇數(shù)，m，n，p，q均為正整數(shù);D1=D(1+ γ(ns+1)).當(dāng) Amn取 A11，A13，A31，A33，A22這5項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，得到 5個(gè)方程組成的方程組，令其系數(shù)行列式為零，從而得到屈曲載荷Nxy，且得到的結(jié)果已經(jīng)足夠精確［11］.本文后面的計(jì)算均取這5項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.

當(dāng)該等效各向異性板在壓剪組合載荷作用下，重新改寫(xiě)式(3)，得到屈曲載荷計(jì)算公式:

2 公式準(zhǔn)確度的有限元驗(yàn)證

若要上述計(jì)算方法能夠計(jì)算次加筋板失穩(wěn)載荷，首先要求理論公式在計(jì)算各個(gè)失穩(wěn)形式時(shí)有較高的準(zhǔn)確度，因此有必要對(duì)它們的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性進(jìn)行有限元驗(yàn)證.

2.1 用于驗(yàn)證準(zhǔn)確度的有限元模型

采用ABAQUS軟件進(jìn)行有限元分析.材料為2024－T351 鋁合金，彈性模量 E=73.8 GPa，泊松比 μ =0.33，密度 ρ=2 780 kg/m3.根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)的建議［14－15］，計(jì)算加筋板屈曲時(shí)，宜采用四節(jié)點(diǎn)四邊形殼單元S4R，每個(gè)屈曲的半波之間至少設(shè)計(jì)6個(gè)網(wǎng)格.針對(duì)1.2節(jié)提出的3種失穩(wěn)形式，分別建立了3個(gè)有限元模型，如圖4所示.圖4(a)模型:四邊簡(jiǎn)支，a=590 mm，bi=27.8 mm，t=2 mm;圖4(b)模型:三邊簡(jiǎn)支，一邊自由，a=590 mm，hs=10 mm，ts=1.5 mm;圖4(c)模型:四邊簡(jiǎn)支，a=590 mm，b=167 mm，t=2 mm，均勻分布著5根次筋條，高度和寬度與圖4(b)尺寸相同.

2.2 結(jié)果與討論

對(duì)上述模型分別在縱向壓縮載荷和壓剪載荷比例1∶0.5的組合載荷作用下進(jìn)行計(jì)算.由于筋條不能承受剪切載荷，因此在壓剪組合載荷作用時(shí)不考慮失效形式2.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

圖4 準(zhǔn)確度驗(yàn)證有限元模型Fig.4 Finite element models for accuracy verification

表1 有限元模型計(jì)算結(jié)果Table1 Calculation results of finite element models

當(dāng)受載情況為縱向壓縮載荷時(shí)，失效形式1的結(jié)果準(zhǔn)確度很高，失效形式3準(zhǔn)確度適中，失效形式2結(jié)果稍差，但仍有足夠的準(zhǔn)確度(不超過(guò)10%).結(jié)果稍差的原因可能是由于文獻(xiàn)中失效形式2的穩(wěn)定系數(shù)ks值存在一定誤差.當(dāng)受載情況為壓剪組合載荷時(shí)，失效形式1和3均有較高的準(zhǔn)確度.從兩種工況中的相應(yīng)結(jié)果可以看出剪力的存在對(duì)失效形式1的誤差影響很小，而對(duì)失效形式3，剪力的存在使誤差減小.綜合以上結(jié)論，3種失效形式理論公式具有較高的準(zhǔn)確度.

3 計(jì)算方法適用性的有限元驗(yàn)證

3.1 整體次加筋壁板有限元模型

材料屬性和網(wǎng)格劃分方法均與第2節(jié)一致.為保證主筋條不易發(fā)生彎曲失穩(wěn)，選用了彎曲剛度較大的T字形筋條.次筋條為刀片形，均勻布置在主筋條之間.為了較為準(zhǔn)確地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)邊界條件，模型在平行x軸的邊向外延伸了一定的長(zhǎng)度，結(jié)構(gòu)形式如圖5所示.模型在x軸方向的兩端面處簡(jiǎn)支，另兩端面處自由.

圖5 次加筋板的有限元模型(次筋條數(shù)可以不同)Fig.5 Finite element model of sub－stiffened panel(sub－stiffener numbers may be different)

為了不失一般性，針對(duì)不同的次加筋帶板的長(zhǎng)寬比，次筋條的高厚比，壓剪載荷比例建立了9個(gè)有限元模型.這些模型中相同的基本參數(shù)是:t=2 mm，hp=40 mm，tp=2 mm，ts=1.50 mm.模型其他參數(shù)以及受載情況見(jiàn)表2.

表2 整體次加筋板模型參數(shù)Table2 Model parameters of integral sub-stiffened panel

3.2 結(jié)果與討論

對(duì)模型1～4分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3.由于壓剪載荷比例已知，因此下面的所有表格中理論結(jié)果均為Nx值.

表3 模型1～4計(jì)算結(jié)果Table3 Calculation results of model 1-4

模型1～4長(zhǎng)寬比不同，當(dāng)壓剪載荷比為1∶0時(shí)，最大誤差出現(xiàn)在模型2，僅為6%.當(dāng)壓剪載荷比為1∶0.5時(shí)，所有模型誤差均比縱向壓縮載荷作用時(shí)的誤差大，除模型4的結(jié)果外，其他模型誤差均可接受.進(jìn)一步檢查模型4，發(fā)現(xiàn)造成誤差過(guò)大的原因是長(zhǎng)寬比過(guò)大時(shí)，主筋條抑制板剪切失穩(wěn)的能力不足，結(jié)構(gòu)發(fā)生了整體失穩(wěn)(如圖6)，這與理論公式假設(shè)的主筋條不發(fā)生彎曲失穩(wěn)不符，造成了誤差增大.

圖6 模型8的屈曲模態(tài)Fig.6 Buckling modal of model 8

對(duì)模型5～7分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 模型5～7計(jì)算結(jié)果Table4 Calculation results of model 5-7

模型5～7次筋條的高厚比不同，表4顯示，在兩種工況下，結(jié)果的誤差都在8%以?xún)?nèi)，理論公式結(jié)果與有限元結(jié)果符合得較好.其中，模型7由于次筋條過(guò)高，發(fā)生了第2種失效形式(次筋條失穩(wěn)).由2.2節(jié)可知，失效形式2的理論計(jì)算公式比其他失效形式的理論公式誤差更大，因而模型7在縱向壓縮載荷作用時(shí)相對(duì)于其他模型的誤差稍大.

對(duì)模型8和9分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與模型6結(jié)果一同記錄在表5.

表5 模型6，8，9計(jì)算結(jié)果Table5 Calculation results of model 6，8，9

模型6，8，9次筋條數(shù)目不同，結(jié)果顯示除在壓縮載荷作用下的模型9數(shù)據(jù)異常外，其他的誤差都在8.5%以?xún)?nèi)，理論公式結(jié)果與有限元結(jié)果符合得較好.模型9誤差較大的原因是次筋條個(gè)數(shù)過(guò)多，造成帶板的彎曲剛度過(guò)高，導(dǎo)致主筋條抑制帶板彎曲的能力變?nèi)?，主筋條發(fā)生了彎曲，這與第2節(jié)的基本假設(shè)不符.為驗(yàn)證分析是否正確且希望對(duì)模型的改動(dòng)最小，僅將主筋條的翼板增加1倍，以增加主筋條抗彎剛度，有限元計(jì)算結(jié)果變?yōu)?22 kPa，誤差減小到5.21%.

對(duì)模型6分別在壓剪比例1∶0.2和1∶0.8的組合載荷作用下進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與模型6在其他載荷比例下的結(jié)果記錄在表6.

表6 模型6在不同壓剪載荷比計(jì)算結(jié)果Table6 Calculation results of model 6 under different compression and shear load ratios

計(jì)算結(jié)果顯示誤差均在5%以?xún)?nèi)，理論與有限元結(jié)果符合得較好.剪力的存在對(duì)誤差有一定影響，但是影響的效果不確定:表3的結(jié)果顯示剪力的存在增大了誤差，表6的結(jié)果顯示剪力的存在減小了誤差，從各個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，剪力的影響都不是很大.

從上述的討論中可以得到，在滿(mǎn)足理論公式假設(shè)的前提下，即主筋條不發(fā)生彎曲失穩(wěn)時(shí)，提出的計(jì)算方法適用于計(jì)算次加筋板屈曲載荷，且有一定準(zhǔn)確度.

4 結(jié)論

1)本文提出的棱柱形整體次加筋板計(jì)算公式僅適用于主筋條間次筋條個(gè)數(shù)大于2個(gè)的情況，且次加筋板不會(huì)發(fā)生整體失穩(wěn).否則，將會(huì)產(chǎn)生較大誤差.

2)針對(duì)3種失效形式而提出的計(jì)算公式，無(wú)論在縱向壓縮載荷作用下還是壓剪組合載荷作用下，公式計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果的誤差都不大于10%，有較高的準(zhǔn)確度.

3)針對(duì)不同的次加筋帶板的長(zhǎng)寬比、次筋條的高厚比，以及不同壓剪載荷比例，本文提出的計(jì)算方法與有限元仿真的結(jié)果符合得較好，反映出該方法具有較為廣泛的適用性，非常適合用于結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)階段進(jìn)行近似計(jì)算，以及加快棱柱形次加筋板的優(yōu)化速度.

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