李 明，汪秉宏

（中國科學技術大學近代物理系，合肥230026）

0 前言

當今社會中，無論是科學研究，還是日常生活，“網(wǎng)絡”都是出現(xiàn)頻率很高的詞匯之一，如量子網(wǎng)絡、網(wǎng)絡計算、網(wǎng)絡聊天、網(wǎng)絡游戲、網(wǎng)絡教育、網(wǎng)絡購物、網(wǎng)絡營銷等?？梢哉f，當今社會就是一個網(wǎng)絡的社會。

一般地，一個由多個體組成的相互作用系統(tǒng)都可以用網(wǎng)絡描述［1－2］。由于網(wǎng)絡的表示形式可以突顯一個系統(tǒng)的結構與個體間的關聯(lián)性，所以利用網(wǎng)絡的方法研究復雜系統(tǒng)也得到了大量的關注［1－6］。這些研究讓我們對復雜系統(tǒng)的結構與動力學特性有了更為深刻的認識。例如，通過研究人際接觸網(wǎng)絡的特性，可以找到更為有效的控制流行病傳播的方法。

隨著對網(wǎng)絡特性研究的深入，研究人員發(fā)現(xiàn)單一的網(wǎng)絡結構并不能準確且充分地描述出復雜系統(tǒng)個體間的相互作用［7－9］。復雜系統(tǒng)中，個體往往會通過不同的渠道相互作用、影響。也就是說，網(wǎng)絡中個體間會有多種連接方式。而將各種不同的連接方式混為一談，就很可能使研究結果與真實情況出現(xiàn)偏差，甚至完全錯誤。例如，在研究流行病傳播時，需要用到人際關系網(wǎng)絡。在人際關系網(wǎng)絡中，會有多種連接方式，如直接接觸、電話、郵件、微博、微信等。在這些連接方式中，只有直接接觸才會造成疾病的傳播，而其它的非接觸式的人際關系雖然也反映了人際關系網(wǎng)的連接性，但并不能傳播疾病。所以，研究中區(qū)分這些不同種類的連接是很有必要的。多重網(wǎng)絡即提供了這樣的一個框架，可以將同一組元素間的不同作用方式區(qū)別對待，以進行更為準確的復雜系統(tǒng)研究［10－13］。

現(xiàn)實中的多重網(wǎng)絡，還可以舉出很多例子。例如，電力網(wǎng)絡與相應的通信控制網(wǎng)絡，各節(jié)點間既有電力供應關系，也有通信控制關系，是兩種不同的層次［7］。這種系統(tǒng)往往以相依網(wǎng)絡的形式來研究。這里有必要對相依網(wǎng)絡與多重網(wǎng)絡兩個概念做一個簡單的比較與解釋。多重網(wǎng)絡中，一組節(jié)點同時屬于多個層次，在不同層次有不同的連接方式。相依網(wǎng)絡，是多個網(wǎng)絡通過節(jié)點間的耦合與依賴形成的系統(tǒng)，各個網(wǎng)絡中擁有各自的節(jié)點。這兩種網(wǎng)絡很多情況下可以相互轉化，研究中也可用類似的數(shù)學方法處理［14－17］。圖1中，給出了一個多層網(wǎng)絡的示意圖。其中，左圖為二重網(wǎng)絡，在節(jié)點間有兩種不同的連接方式，分別用實線與虛線表示，右圖對應該二重網(wǎng)絡的兩層網(wǎng)絡。這里所給出的只是一個簡單的例子，而真實的多重網(wǎng)絡可能會有更多的層次，且各層次的結構可能具有相關性。

圖1 多重網(wǎng)絡示意圖Fig.1 Schematic diagram of multilayer networks

1 基本概念

1.1 網(wǎng)絡的表示

如圖1所示，多重網(wǎng)絡中只有一組節(jié)點，但有多組連邊，每一組連邊與節(jié)點形成一個網(wǎng)絡，進而構成多重網(wǎng)絡的一層。對于一個有M層的多重網(wǎng)絡，節(jié)點i與j之間的連邊情況可以用矢量aij表示：

矢量aij的維度即是網(wǎng)絡的層數(shù)M。其中，

本文只討論無向網(wǎng)絡，所以aij＝aji。對于有向網(wǎng)絡，aij與連邊方向有關。另外，對于含權網(wǎng)絡，也可令aij取其它值以表示邊權，參見綜述性文章［17］。

進一步，一個多重網(wǎng)絡的鄰接矩陣A可以表示為

其中，N為網(wǎng)絡的總節(jié)點數(shù)。注意，這里的每個矩陣元都是一個M維的矢量，所以多重網(wǎng)絡的鄰接矩陣將是N×N×M的三維矩陣。

對于任意節(jié)點，在不同網(wǎng)絡層中的度一般不同，也可以用矢量ki表示

該式表示，一個二重網(wǎng)絡中任取一個節(jié)點，它在第1層網(wǎng)絡中度為k，在第2層網(wǎng)絡中度為k′的概率。對于聚類系數(shù)、網(wǎng)絡直徑等參量，可以參照單個網(wǎng)絡的定義［17］。

1.2 各層網(wǎng)絡的關聯(lián)性

真實多重網(wǎng)絡的各層結構并不是完全獨立的，而是具有一定的關聯(lián)性。例如，微博網(wǎng)絡中的大度節(jié)點在微信網(wǎng)絡中也常常是大度節(jié)點。所以，多重網(wǎng)絡的各層網(wǎng)絡度分布并不相互獨立［18－20］，總度分布并不總能寫成各層網(wǎng)絡度分布之積的形式（見式（5））。以兩層網(wǎng)絡為例，一般可表示為

其中，p（k｜k′）為條件概率，即第1層網(wǎng)絡中度為k的節(jié)點在第2層網(wǎng)絡中度為k′的概率。

為了描述多層網(wǎng)絡之間的關聯(lián)性，可以用類似Pearson系數(shù)的方式定義多層網(wǎng)絡之間的度關聯(lián)性。以兩層網(wǎng)絡為例，網(wǎng)絡間的度關聯(lián)系數(shù)可以定義為

其中，

為歸一化系數(shù)。其中，尖括號表示對網(wǎng)絡取平均。類似于單個網(wǎng)絡中的度關聯(lián)，關聯(lián)系數(shù)r也滿足－1≤r≤1。r值為正表示兩層網(wǎng)絡的度正相關，即一個節(jié)點在兩層網(wǎng)絡中的度大小相當；r值為負表示兩層網(wǎng)絡的度負相關，即度差別較大；r＝0，表示兩層網(wǎng)絡的度分布相互獨立。

多層網(wǎng)絡各層間的關聯(lián)性還體現(xiàn)在：兩個節(jié)點在某一層網(wǎng)絡中相鄰，那么，在其它層中也有可能相鄰。仍以雙層網(wǎng)絡為例，對于第一層網(wǎng)絡，可以用式（10）的量來描述這種關聯(lián)性。

其中，ti為在兩層網(wǎng)絡中都為節(jié)點i鄰居的節(jié)點數(shù)目，為節(jié)點i在第1層網(wǎng)絡中的度。顯然，當＝0時，沒有節(jié)點在兩層網(wǎng)絡中都是節(jié)點i的鄰居；當＝1時，節(jié)點i在第1層網(wǎng)絡中的所有鄰居在第2層網(wǎng)絡也都是其鄰居。類似地，對于第2層，也可以定義

從另一個角度看，這種共同鄰居的關聯(lián)性也是網(wǎng)絡間的連邊重疊性［21－22］，即有些節(jié)點在一層網(wǎng)絡中相連，那么，在其它層中也可能相連。這一現(xiàn)象在現(xiàn)實中也很常見，例如，兩個人的微博互相關注，同時還可能是QQ好友，或者還可能兩人也有郵件通訊。為了描述這種結構相似性，我們還可以定義各層網(wǎng)絡連邊的重疊率。以兩個網(wǎng)絡為例，重疊率可以定義為

其中，T為兩層網(wǎng)絡中重疊的邊數(shù)，E1為第1層網(wǎng)絡的總邊數(shù)。由式（12）還可以看出：

顯然，當β1＝0時，兩層網(wǎng)絡結構無關聯(lián)。注意，β1＝1并不能說明兩層網(wǎng)絡結構完全相同，只是說明第2層網(wǎng)絡包含第1層網(wǎng)絡中的所有連邊，但是第2層網(wǎng)絡可能還有其它連邊。

類似地，對于第2層網(wǎng)絡，也可以定義重疊率，

一般地，β1≠β2。

2 網(wǎng)絡魯棒性

網(wǎng)絡的魯棒性研究一直以來都是網(wǎng)絡科學的一個重要研究方向［23－26］。所謂魯棒性是指系統(tǒng)在一定擾動下，維持其某些性能的性質。在網(wǎng)絡科學中，這種擾動即是節(jié)點或邊的刪除，我們關注的性質首先就是網(wǎng)絡的連通性。

對于單一的網(wǎng)絡，常用逾滲模型研究網(wǎng)絡的魯棒性［23－27］，即在一個無限大的網(wǎng)絡中隨機刪除一定比例的節(jié)點（或邊），最后考察剩余節(jié)點能否組成一個與原網(wǎng)絡大小相比擬的網(wǎng)絡。定量研究中，一般選取剩余節(jié)點的最大連通分量與原網(wǎng)絡的大小之比S為序參量，即原網(wǎng)絡中一個節(jié)點屬于最終巨分量的概率。顯然，當剩余的節(jié)點能組成一個與原網(wǎng)絡大小相比擬的網(wǎng)絡時有0＜S＜1，即網(wǎng)絡巨分量存在；反之，S＝0即表示網(wǎng)絡巨分量不存在。設初始刪除的節(jié)點占網(wǎng)絡總節(jié)點的比例為1－p。當p較小時，即刪除大量節(jié)點時，網(wǎng)絡的巨分量顯然不存在（S＝0）。隨著p的增加，網(wǎng)絡的巨分量從無到有，即序參量S從零變?yōu)榉橇阒?。序參量S首次達到非零值的點稱為臨界點，記為pc。一個較小的臨界點pc說明網(wǎng)絡的魯棒性很好，能夠抵御大量節(jié)點的損毀；反之，則說明網(wǎng)絡的魯棒性很差，少量節(jié)點的損毀就會使整個網(wǎng)絡崩潰。

2.1 無關聯(lián)多重網(wǎng)絡

對于多重網(wǎng)絡，也可利用逾滲模型研究網(wǎng)絡的魯棒性。需要說明的是，在多重網(wǎng)絡中，一個連通集團是指在各層網(wǎng)絡中都連通的一組節(jié)點。研究中，也是將多重網(wǎng)絡刪除部分（比例1－p）節(jié)點，然后考察網(wǎng)絡中是否存在與原網(wǎng)絡大小相比擬的連通集團，這個集團一般稱為互連巨分量［7］。

這里，將用平均場的方法對多重網(wǎng)絡的逾滲模型進行求解［14，27－30］。根據(jù)多重網(wǎng)絡中連通集團的定義，序參量S與控制參量p的關系式可以寫為

其中，Rx為第x層網(wǎng)絡中的一條邊通向互連巨分量的概率。另外

為第x層網(wǎng)絡的度分布生成函數(shù)。式（15）的意義很容易理解即表示在第x層網(wǎng)絡中，一個節(jié)點屬于互連巨分量的概率（至少有一條邊通向互連巨分量）［27］。由于考察的是無關聯(lián)多重網(wǎng)絡，這個概率相乘對各層獨立，所以連乘即可得到聯(lián)合概率。

類似地，還可以給出Rx所滿足的方程：

進一步，引入了第x層網(wǎng)絡的剩余度分布的生成函數(shù)

其中，〈kx〉為第x層網(wǎng)絡的平均度。由此，式（17）可寫成更為簡潔的生成函數(shù)形式

另外，注意到，當M ＝ 1時，即網(wǎng)絡只有一層時，兩個方程（15）與（19）可以退化成經(jīng)典的網(wǎng)絡逾滲方

在圖2中，給出了M取不同值時，由方程（15）與（19）解出的S與p的變化關系。圖中所用多重網(wǎng)絡的每一層都是平均度為4的ER隨機網(wǎng)絡。由圖可以看出，網(wǎng)絡的層數(shù)越多，系統(tǒng)臨界點pc越大，即網(wǎng)絡的魯棒性越差。這一點也很容易直觀理解。因為網(wǎng)絡層越多，在受到外部擾動時，越難保證節(jié)點在每一層網(wǎng)絡都連通。

由圖2，還可以發(fā)現(xiàn)，當網(wǎng)絡只有一層時（M＝1），隨著p的增加，序參量S在臨界點連續(xù)變化，達到非零值，一般稱為連續(xù)相變（二階相變或更高階）；而當網(wǎng)絡有多層時（M＞1），序參量S在臨界點跳躍式變化，一般稱為不連續(xù)相變（一階相變）。多重網(wǎng)絡的不連續(xù)相變，也反映出多重網(wǎng)絡的極度脆弱性與不穩(wěn)定性。

對于單一網(wǎng)絡，在外部擾動逐漸增大的過程中，網(wǎng)絡的連通性是緩慢變化的。也就是說，實際中很容易在網(wǎng)絡全部癱瘓前發(fā)現(xiàn)故障，從而避免網(wǎng)絡的更大面積損壞。而對于多重網(wǎng)絡，在外部擾動未達到臨界點時，系統(tǒng)能保證很高的完整率，但是一旦到達臨界點，網(wǎng)絡就突然全部癱瘓。這種跳躍式的變化，在實際中往往使得網(wǎng)絡故障一旦發(fā)生，整個系統(tǒng)就會立刻癱瘓，不留下彌補的時間。這也給實際中各種網(wǎng)絡的保護，以及網(wǎng)絡疾病傳播的控制提出了巨大的挑戰(zhàn)［33－36］。

2.2 關聯(lián)性多重網(wǎng)絡

2.1節(jié)對無關聯(lián)多重網(wǎng)絡的魯棒性進行了討論，然而真實多重網(wǎng)絡的各層網(wǎng)絡結構往往呈現(xiàn)出一定的關聯(lián)性?？紤]極端情況，當各層網(wǎng)絡結構完全一樣時，系統(tǒng)就可以退化成單一網(wǎng)絡。由圖2可知，單層網(wǎng)絡的魯棒性較多重網(wǎng)絡要強很多。所以，試想當多重網(wǎng)絡中各層之間存在一定的關聯(lián)性時，即結構趨近于單一網(wǎng)絡時，系統(tǒng)的魯棒性會變得更強［18－22，37－39］。下面對這個情況的求解做一個簡單的介紹。

為了方便，這里討論一個有邊重疊的二重網(wǎng)絡［21－22］。設兩層網(wǎng)絡的邊重疊率分別為β1與β2。這樣，可以寫出序參量S與控制參量p的關系式：

其中，G0x（z）與Rx的含義與前文相同，而γ1＝1－（1－β1）R1，γ2＝ 1－ （1－β2）R2。在式（22）中，p顯然表示節(jié)點不被初始刪除的概率，1－G10（1 － R1）表示節(jié)點屬于第1層網(wǎng)絡的巨分量的概率，表示節(jié)點屬于第1層網(wǎng)絡的巨分量，但不屬于第2層網(wǎng)絡的巨分量的概率。

類似地，滿足

對稱地，可知滿足

聯(lián)立以上3式即可解出序參量S與p的關系，以及臨界點pc。

本文給出一個具體的例子?？紤]兩層網(wǎng)絡度分布相同的二重網(wǎng)絡。這種情況下，兩層網(wǎng)絡的生成函數(shù)相同，統(tǒng)一記為G0（z）與G1（z）；重疊率也相同，統(tǒng)一記為β；R1與R2等價，統(tǒng)一記為R；γ1與γ2相等，統(tǒng)一記為γ。由此，方程（22）～（24）可簡化為兩個方程

進一步，若考慮ER隨機網(wǎng)絡，則生成函數(shù)有

所以，S與R 等 價，方程（26），（27）可以合并為一個方程

在圖3中，給出了式（28）相應數(shù)值解。圖中給出的是網(wǎng)絡平均度為4的ER隨機網(wǎng)絡的情況?？梢钥闯?，當重疊率較大時，系統(tǒng)的魯棒性較強，而當重疊率較小時，臨界點增大，即系統(tǒng)的魯棒性變差。也就是說，關聯(lián)多重網(wǎng)絡要比無關聯(lián)多重網(wǎng)絡更加魯棒。這一現(xiàn)象與之前我們的猜測相符。另外，我們還可以發(fā)現(xiàn)，在重疊率由小變大的過程中，系統(tǒng)的相變類型也經(jīng)歷了從一階相變到二階相變的變化。系統(tǒng)的臨界點與三相點也可以利用式（28）得出。

圖2 多重網(wǎng)絡的逾滲相變Fig.2 Percolation transition on multilayer networks

圖3 關聯(lián)多重網(wǎng)絡上的逾滲相變Fig.3 Percolation transition on dependend multilayer networks

3 總結與展望

多重網(wǎng)絡是近年來提出的一個新概念，是對過去單一的網(wǎng)絡概念的擴展，可以更好地描述真實系統(tǒng)的特性。簡單地說，多重網(wǎng)絡雖然只有一組節(jié)點，但是具有多組連邊，可以區(qū)分系統(tǒng)中不同類型的相互作用。

文中，對多重網(wǎng)絡的概念和基本性質進行了簡單的介紹，并利用生成函數(shù)計算討論了多重網(wǎng)絡的魯棒性。發(fā)現(xiàn)相比單一網(wǎng)絡，多重網(wǎng)絡十分脆弱，這給實際中保護多重網(wǎng)絡提出了巨大的挑戰(zhàn)。同時，通過對有關聯(lián)多重網(wǎng)絡的魯棒性的討論，發(fā)現(xiàn)各層網(wǎng)絡結構之間的關聯(lián)性會使得多重網(wǎng)絡的魯棒性變強。各層的結構關聯(lián)性越強，結構越相似，系統(tǒng)的魯棒性就越強。而真實系統(tǒng)中各層網(wǎng)絡的關聯(lián)程度還有待進一步實證數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析。

對于單一網(wǎng)絡，很多網(wǎng)絡結構特性都對網(wǎng)絡的魯棒性以及動力學有著重要的影響，如度分布、相配性、社團等。已有研究也表明，這些性質對多重網(wǎng)絡的影響同樣巨大，且并不與單一網(wǎng)絡類似，甚至某些影響是相反的。例如，同配會使單一網(wǎng)絡的魯棒性增強［40－41］，而對于多重網(wǎng)絡，各個層次內的同配使得網(wǎng)絡的魯棒性減弱［42］。

多重網(wǎng)絡也會對網(wǎng)絡動力學的研究帶來很多新思路。如前言已經(jīng)提到的信息與疾病傳播的例子。雖然非接觸式的人際關系對疾病傳播沒有直接貢獻，但是也會有間接的影響。例如，通過電話、微博、微信等，疾病的信息會在人群之間傳播。這種傳播會使人們提前做好防護準備，以降低被感染的概率。同時，疾病信息的傳播，也會使人們減少直接接觸，增加其它的聯(lián)系方式。也就是說，多重網(wǎng)絡的相互作用會使得各層網(wǎng)絡的結構發(fā)生演化［43］。然而，網(wǎng)絡結構會怎樣演化，這也是值得我們進一步研究的問題。

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