陳關(guān)榮

近年來在復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的研究中有兩項(xiàng)比較重要的發(fā)現(xiàn)：小世界網(wǎng)絡(luò)模型和無尺度網(wǎng)絡(luò)模型。前者指貌似龐大的網(wǎng)絡(luò)其實(shí)是個小世界，即網(wǎng)絡(luò)中大多數(shù)節(jié)點(diǎn)間有較短的連結(jié)（路徑）；后者指復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的連接度分布具有某種冪指數(shù)形式。研究表明，現(xiàn)實(shí)世界中許許多多的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都是小世界或無尺度類型的網(wǎng)絡(luò)：從生物體中的大腦結(jié)構(gòu)到各種新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、從Internet到WWW、從大型電力網(wǎng)絡(luò)到全球交通網(wǎng)絡(luò)、從科研合作網(wǎng)絡(luò)到各種政治、經(jīng)濟(jì)、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等等，數(shù)不勝數(shù)。因此，復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的研究引起了不同學(xué)科的廣泛重視和關(guān)注。今天，復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的研究正從數(shù)學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)滲透到社會科學(xué)、物理學(xué)、以及醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等眾多不同的學(xué)科。對網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的定量計(jì)算與定性特征的科學(xué)理解以及對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如何影響其動力學(xué)行為的研究已成為一項(xiàng)極其重要而且富有挑戰(zhàn)性的科研課題。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)理論研究開始于1960年前后，當(dāng)時著名的數(shù)學(xué)家Erdos和Renyi提出了現(xiàn)在被稱為ER隨機(jī)圖模型的奠基性的數(shù)學(xué)理論。此后將近40年里ER隨機(jī)圖論一直是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本模型。但是近年來，有兩項(xiàng)開創(chuàng)性的工作掀起了一股研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。首先是1998年Watts和Strogatz在《Nature》雜志上發(fā)表文章，引入了小世界網(wǎng)絡(luò)模型，以描述從完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)到完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變。小世界網(wǎng)絡(luò)既具有與規(guī)則網(wǎng)絡(luò)類似的聚類特性，又具有與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)類似的較小平均路徑長度的特征。然后是1999年Barabasi和Albert在《Science》上發(fā)表文章，指出許多現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的連接度分布具有某種冪指數(shù)的形式。由于冪律分布沒有明顯的特征長度，該類網(wǎng)絡(luò)稱為無尺度網(wǎng)絡(luò)。之后人們相繼提出并研究了多種網(wǎng)絡(luò)模型及其性質(zhì)，特別是網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為之間的關(guān)系，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特別是混沌網(wǎng)絡(luò)的同步問題，以及復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)對于隨機(jī)性的“故障”、“錯誤”和“攻擊”的“魯棒性”與“脆弱性”的關(guān)系，等等。

近幾年來，復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)研究之所以受到了不同學(xué)科的廣泛關(guān)注并取得了比較重大的進(jìn)展，其主要原因在于：1）隨著大型和快速計(jì)算能力的日益提高，世界上已逐漸建立起了一些有關(guān)大型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)庫，進(jìn)而激發(fā)起了人們從理論、仿真和實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證3方面研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的濃厚興趣。2）學(xué)科之間的相互交叉和融合趨勢在不斷加強(qiáng)，使得人們有能力在對各種不同類型網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，揭示復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的一些共有的特征和性質(zhì)。3）人們認(rèn)識到傳統(tǒng)的分解方法試圖把對復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的研究分割為對各個孤立單元（獨(dú)立的動力系統(tǒng)）的研究盡管取得了很大的成功，但卻存在明顯的局部分析的局限性。以分割法和組合論相結(jié)合為特色的復(fù)雜性科學(xué)的興起促使人們開始用復(fù)雜性理論去研究復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、產(chǎn)生機(jī)理、以及動力學(xué)行為。4）大量的數(shù)據(jù)和觀察表明，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與非線性動力學(xué)理論分不開。以Internet為例，網(wǎng)絡(luò)擁塞控制系統(tǒng)事實(shí)上會因控制不當(dāng)而產(chǎn)生復(fù)雜的分岔和混沌行為。這使得結(jié)構(gòu)上復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)變得行為上也復(fù)雜，從而對研究工作具有更大的挑戰(zhàn)性。

絕大多數(shù)的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)具有如下幾個特征：1）網(wǎng)絡(luò)行為的統(tǒng)計(jì)性：網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)可有成千上萬，甚至上億，從而大規(guī)模性的網(wǎng)絡(luò)行為一般都具有統(tǒng)計(jì)特性；2）網(wǎng)絡(luò)連接的稀疏性：一個有N個節(jié)點(diǎn)的具有全局耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)連接數(shù)目為O（N2），而實(shí)際存在的大型網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)目通常為O（N）；3）連接結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性：大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界的大型網(wǎng)絡(luò)的連接結(jié)構(gòu)既非完全規(guī)則也非完全隨機(jī)；4）網(wǎng)絡(luò)的時空復(fù)雜性：復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的演化通常都具有空間和時間的復(fù)雜性，能夠展示豐富多彩的復(fù)雜行為（如分岔和混沌）；5）網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（動力系統(tǒng)）之間的同步運(yùn)動（包括混沌同步）。

值得注意的是，上述網(wǎng)絡(luò)特性的時空復(fù)雜性和同步運(yùn)動及其物理機(jī)制問題，是研究復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的一個重要的關(guān)鍵。長期以來，同步一直是科學(xué)技術(shù)中的一個重要的基本概念。對同步的研究最早起源于鐘擺的發(fā)明者惠更斯。歷史上為了弄清各種同步的機(jī)理，科學(xué)家們經(jīng)歷了漫長的探索道路。今天，人們已經(jīng)認(rèn)識到，耦合振子之間的同步運(yùn)動是解釋許多自然界中的協(xié)調(diào)現(xiàn)象的基礎(chǔ)。目前，關(guān)于大型復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)各種同步現(xiàn)象的研究工作已經(jīng)開展起來，方興未艾。

總而言之，近年來復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)研究工作的迅猛發(fā)展表明：非線性、連接性、以及復(fù)雜性問題的研究已經(jīng)使人類對自然界的認(rèn)識產(chǎn)生了新的飛躍，并已取得了重要的進(jìn)展。如何把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論、動力系統(tǒng)理論和現(xiàn)代控制理論3種科學(xué)理論有機(jī)地結(jié)合起來，深入地研究復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的分析與控制方法，是十分重要的。例如，在動力系統(tǒng)理論與控制理論相結(jié)合的基礎(chǔ)上，如果能夠再進(jìn)一步從理論上分析Internet擁塞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與振蕩行為，揭示其中的分岔與混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理，就有希望能利用分岔和混沌控制的一些特殊方法提出更為有效的網(wǎng)絡(luò)擁塞控制方案。

人們預(yù)言21世紀(jì)是復(fù)雜性的世紀(jì)，復(fù)雜性研究將在新世紀(jì)獲得重大的突破，并將展示美好的應(yīng)用前景。而復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的研究涉及到廣泛的交叉學(xué)科，也是復(fù)雜性理論研究的一部分，它將是新世紀(jì)科學(xué)研究的前沿課題之一。