彭娟 范周田 黃秋梅
摘要:在高等數(shù)學(xué)教材中,介紹弧微分定義是在給出曲線弧長定義之前,其中用到了曲線弧上兩點(diǎn)非常接近時(shí)弧長與弦長之比極限為這一結(jié)論,由于學(xué)生很難理解,本文提出了兩個(gè)解決方案。
關(guān)鍵詞:弧長;弦長;第一個(gè)重要極限
中圖分類號(hào):G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2015)48-0244-02
度量問題是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常古老的問題,而長度的度量是最常用的。有關(guān)長度的度量都以線段的長度定義為基礎(chǔ),例如計(jì)算平面上一段曲線的弧長,最早也是最直接的方法是用一些直線段來作出和曲線相似的形狀,以直線段的長度代替曲線的弧長。僅憑直覺,關(guān)于曲線的弧長認(rèn)識(shí)往往存在偏差,下面是一個(gè)典型的例子。
一、一個(gè)有趣的錯(cuò)誤
如圖1,有一個(gè)直徑為1的圓C,其長為L,在圓外作一個(gè)邊長為1的外切正方形C1,其長為4;然后將正方形的四個(gè)角向內(nèi)折,使得直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊(見圖2),這時(shí)曲線C2的長度仍為4;進(jìn)一步將曲線C2的8個(gè)向外突出的直角內(nèi)折,使直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊(見圖3),形成的曲線C3長度仍不變。同法,每次將曲線Cn-1的向外突出的直角內(nèi)折,使其直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊,得到曲線Cn,其長度一直不變。隨著n的增大,曲線Cn越來越接近曲線C,所以曲線C的長度L=4,由此得到圓周率=圓周長/直徑=4。
上面的做法隱含了這樣一個(gè)假設(shè):如果n趨于無窮時(shí),曲線列Cn趨于曲線C,則曲線列Cn的長趨于曲線C的長。實(shí)際上,這個(gè)假設(shè)不成立。下面看一個(gè)反例。
二、有關(guān)弧微分和弧長定義的先后順序問題
在多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》教材的內(nèi)容安排上,都是先講授一元函數(shù)微分學(xué),后講積分學(xué)。為了介紹曲率都先給出弧長的微分的定義。
這里試圖給出弧微分公式的推導(dǎo),但其中用到的弧長與弦長之比趨于1這個(gè)暫時(shí)無法證明的結(jié)論,反而使得學(xué)生更難以理解,怎么解決大家的疑惑呢?有兩種處理方法。
方法一:給個(gè)具體實(shí)例。
在第一個(gè)重要極限的證明中,我們做了一個(gè)單位圓,如圖8。
由此我們得到了圓周上兩點(diǎn)間距離很小時(shí)弧長與弦長之比極限等于1的結(jié)論,這是一個(gè)直觀的例子,這有助于學(xué)生的理解。
教師在介紹第一個(gè)重要極限時(shí),往往只強(qiáng)調(diào)這個(gè)極限在推導(dǎo)正弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中的作用,從未從幾何上去分析它的實(shí)際意義,在教學(xué)過程中補(bǔ)充幾何意義,即說明了圓周上距離很小的兩點(diǎn)之間弧長與弦長之比極限等于1,這樣會(huì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
方法二:先給出弧長的嚴(yán)格定義,再介紹弧微分。
弧長的定義默認(rèn)了當(dāng)曲線弧上兩點(diǎn)無限接近時(shí),弧長與對應(yīng)弦長之比極限等于1,有了這個(gè)結(jié)論再介紹弧微分的定義就不會(huì)有什么困難了。
弧長的定義也說明了第一部分中求圓的周長應(yīng)該利用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近。
顯然,從邏輯上來說方法二是一個(gè)最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇?,但是現(xiàn)有的高數(shù)教材都是先介紹弧微分,后來在介紹定積分的應(yīng)用時(shí)才引入弧長的定義。這是因?yàn)榍蕦儆趯?dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用,討論曲率必須有弧微分的定義;而弧長的計(jì)算屬于定積分的應(yīng)用,自然在后來才介紹。
我們以后講弧微分的定義時(shí)可以采用第一種方法,給個(gè)直觀的例子幫助學(xué)生理解就可以了。
參考文獻(xiàn):
[1]范周田,張漢林.高等數(shù)學(xué)教程[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.