劉素珍

摘要：我校小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，普遍不能真正理解其實(shí)質(zhì)，上課走神、厭學(xué)等抵觸情緒比較嚴(yán)重。筆者覺得應(yīng)緊密聯(lián)系其專業(yè)，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。因此考慮在學(xué)習(xí)的過程中大量引入小學(xué)教材中的實(shí)例，將小學(xué)的問題高數(shù)化，實(shí)現(xiàn)從感性向理性，再由理性到感性的發(fā)展，完成質(zhì)的飛躍。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；極限；積分

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）02-0225-02

《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)一直以來都是擺在很多同學(xué)面前的一座大山，想要翻越顯得非常的困難。很多學(xué)者都分析了其中的原因。無非就是學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，高等數(shù)學(xué)抽象性和符號化的語言給學(xué)習(xí)造成的困難，教學(xué)方面的原因等等。凡事都有內(nèi)因和外因之分，都有主客觀原因之分。筆者認(rèn)為最主要的原因源于教學(xué)。不管從事什么樣的工作，興趣非常的重要。正所謂興趣是最好的老師，如何使學(xué)生始終保持高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)該是我們努力的方向。興趣的問題解決了，那么上面所涉及到的其他原因都是次要的了。我校小教專業(yè)的學(xué)生在三年級分小語和小數(shù)專業(yè)，既然學(xué)生在文理分科時(shí)選擇了數(shù)學(xué)專業(yè)，說明這部分同學(xué)是對數(shù)學(xué)感興趣或是覺得數(shù)學(xué)學(xué)得比語文要好。但在接觸了高等數(shù)學(xué)之后，為什么會有很多的抱怨：“以后我難道還要教學(xué)生如何求極限、導(dǎo)數(shù)、積分嗎？”高等數(shù)學(xué)太抽象了。教學(xué)中出現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)知識與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)重脫節(jié)，學(xué)生覺得學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)沒有什么用處。其實(shí)，高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)不僅在內(nèi)容上，而且在思維形式方面都存在著密切的聯(lián)系。筆者多年從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)厭學(xué)的同學(xué)不在少數(shù)，絕大部分同學(xué)不能理解，真正感興趣的同學(xué)少之又少。如果在《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)過程中能將極限、導(dǎo)數(shù)、積分的講解與小學(xué)數(shù)學(xué)教材緊密聯(lián)系起來，相信將會有更多的同學(xué)感興趣。這樣的教學(xué)就與其專業(yè)緊密相連，同時(shí)也讓學(xué)生真正體會到《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)只會讓他站得更高，看得更遠(yuǎn)。從一定程度上來說，小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系，如果小學(xué)數(shù)學(xué)教師能從高等數(shù)學(xué)的角度來理解小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，那將會對小學(xué)數(shù)學(xué)的教材分析得更加透徹，對小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)也起到一定的積極作用。高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分等是小學(xué)數(shù)學(xué)中一些量的抽象，而小學(xué)數(shù)學(xué)有些內(nèi)容則是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的具體實(shí)例。如果站在高等數(shù)學(xué)的高度對小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行分析，才能真正理解小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，數(shù)學(xué)的知識才更具有完整性。高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)之間有著密不可分的關(guān)系。如果我們在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中能科學(xué)地認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)之間的互補(bǔ)聯(lián)系，能有意識地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在思維形式上的相通性，準(zhǔn)確地把握每個(gè)知識點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，融會貫通，將大大提高小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)水平，并且對學(xué)生以后數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展也起到了一定的推動(dòng)作用。下面將從幾個(gè)具體事例進(jìn)行說明：

1.極限思想。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中有許多問題是與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容有關(guān)的，尤其是極限概念與小學(xué)數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容直接聯(lián)系。這些問題的解決不一定需要教師給以嚴(yán)格的證明，但要求教師能夠通過樸素的語言解釋清楚這些問題。要達(dá)到這一目的，需要小學(xué)數(shù)學(xué)教師自身能夠理解極限概念，掌握極限的本質(zhì)內(nèi)容。因此，對于職前小學(xué)教師的培養(yǎng)而言，理解極限概念的思維方式，掌握極限的基本思想方法，應(yīng)是職前小學(xué)教師培養(yǎng)的目標(biāo)。極限知識是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，極限的思想方法貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，也是導(dǎo)數(shù)、積分概念形成必不可少的核心內(nèi)容。學(xué)生對極限概念的掌握、理解程度將直接影響到后期的學(xué)習(xí)。然而，極限概念的理解難度是比較大的，剛開始的學(xué)習(xí)，對極限的理解是膚淺的、記憶的、機(jī)械的，在認(rèn)識上存在著很大的偏差。在講解極限的第一課，我總喜歡讓學(xué)生比較大小0.■和1。幾乎所有的同學(xué)都認(rèn)為0.■≠1。循環(huán)小數(shù)是在蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊習(xí)題中提到它的定義，1÷3如果一直除下去，余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)“1”，商重復(fù)出現(xiàn)“3”。像0.3…這樣的小數(shù)是循環(huán)小數(shù)。根據(jù)需要，可以用“四舍五入”的方法取循環(huán)小數(shù)的近似值。而0.■的近似值取1，其實(shí)在學(xué)習(xí)了極限之后就會知道，它的精確值也是1.這樣循環(huán)，無限進(jìn)行下去，其實(shí)就隱藏了極限的思想，體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)的變化過程。同時(shí)在蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊中提到P101，有限小數(shù)和無限小數(shù)的定義，其中將無限小數(shù)定義為小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)。對于小學(xué)生如何來理解“無限”，對于小學(xué)數(shù)學(xué)老師位于多高的層次來理解就非常重要了。用初等數(shù)學(xué)的知識解決這類問題，只能得到近似值，得不到最終的答案；要得到精確答案，必須在無限動(dòng)態(tài)變化的過程中來研究這個(gè)問題，而這正是高等數(shù)學(xué)的思想方法。作為小學(xué)數(shù)學(xué)老師，這點(diǎn)不能理清將會直接影響到教學(xué)內(nèi)容的把握。都說初等數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)的研究，高等數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)的研究。其實(shí)嚴(yán)格來講并不能劃清界限，小學(xué)生對循環(huán)小數(shù)的理解，就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、變化的過程，只不過是感性的理解。而對于職前小數(shù)老師的培養(yǎng)，則要求能掌握極限的概念，理解極限的思想，從量化的角度來理解極限的概念，實(shí)現(xiàn)由感性向理性的轉(zhuǎn)化。不能僅僅停留在能理解，而應(yīng)該知道“為什么”。

2.導(dǎo)數(shù)的理解。在小學(xué)教材中，運(yùn)動(dòng)問題中速度的解釋一般是路程除以時(shí)間，即求出的是平均速度，這樣的定義是有問題的。因?yàn)橐话愕倪\(yùn)動(dòng)都是變速運(yùn)動(dòng)，在不同的時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的速度是不一樣的，這就是在高等數(shù)學(xué)中討論的變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題。那么，如何求瞬時(shí)速度呢？這就涉及到高等數(shù)學(xué)中計(jì)算平均變化率的極限問題，即導(dǎo)數(shù)的定義。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，僅僅會計(jì)算勻速運(yùn)動(dòng)的平均速度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，現(xiàn)實(shí)中很多運(yùn)動(dòng)都是變速的。因此還必須能理解變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，并且能解釋瞬時(shí)速度的計(jì)算步驟。這樣就站在抽象后的高度對小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行分析，才能真正理解小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容。由此可以看出，高等數(shù)學(xué)中的一些概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中一些量的抽象，而小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容則是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的具體實(shí)例。教學(xué)中將小學(xué)教材中的具體實(shí)例引入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，讓學(xué)生清楚地看到小數(shù)和高數(shù)的聯(lián)系，高數(shù)的學(xué)習(xí)讓自己以后在工作中能站得更高，如此怎么可能不激發(fā)學(xué)生重視高數(shù)的學(xué)習(xí)呢？

3.積分的應(yīng)用。劉徽的“割圓術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上的重要成就之一，其中包含著中國數(shù)學(xué)家對無限問題的獨(dú)特認(rèn)識和致用的處理方式?！陡叩葦?shù)學(xué)》在講授數(shù)列極限概念之前，介紹了我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)中極限思想，進(jìn)而引入數(shù)列極限的描述定義.作為極限定義的引入性例子，最早出現(xiàn)在小學(xué)五年級（下）教材中P102提到割圓術(shù)。大約1700年前，我國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”來求圓周長的近似值。他從圓的內(nèi)接正六邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，正十二邊形、正二十四邊形……計(jì)算得出圓周率是3.14。并指出，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，周長越接近圓的周長。此方法正是積分定義中關(guān)鍵的分割、近似代替、求和、取極限的步驟。而在P104頁例8中又提到在硬紙上畫一個(gè)圓，把它平均分成16份，剪開后可以拼成下面的圖形。

如果把圓平均分成32份、64份……拼成的圖形會有什么變化？

拼成的長方形與原來的圓有什么聯(lián)系？

此方法正是積分定義中關(guān)鍵的分割、近似代替、求和、取極限的步驟。可見分得的份數(shù)越來越多直至無限分割可以得到一個(gè)長方形，這里滲透的極限思想是學(xué)生難以理解的。用有限的拼接引導(dǎo)學(xué)生展開無限的想象。數(shù)學(xué)史研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家探究圓的面積計(jì)算也是一個(gè)從模糊到精確，從感性到理性的追求過程。對于小學(xué)生只要能感性理解的過程，而對于職前教師應(yīng)能有理性的理解，而不是模糊的認(rèn)識。從數(shù)學(xué)史中大家都能知道是先有圓周長和面積的研究，后有高等數(shù)學(xué)微積分的形成。而后人在學(xué)習(xí)的過程中先是對圓周長和面積的感性理解，在學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)之后發(fā)展到理性的認(rèn)識，對于職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言又由理性回到感性，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的第二次飛躍。只有真正理解了微積分的思想才能更好地把握小學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)涵，更有效地指導(dǎo)教學(xué)。

總之，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的思想、方法存在著直與曲、常與變、有限與無限、間斷與連續(xù)等統(tǒng)一的一面.從整體來看，初等數(shù)學(xué)主要是以研究直線、平面及常量的有限與不連續(xù)關(guān)系為主要特征的，高等數(shù)學(xué)主要是以研究曲線、曲面及變量的無限與連續(xù)關(guān)系為其主要特征的.看似明顯的區(qū)別，其實(shí)卻又有著不可斬?cái)嗟穆?lián)系。教學(xué)中要能科學(xué)地認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在內(nèi)容上的密切聯(lián)系，能有意識地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在思維形式上的相通性，準(zhǔn)確地把握每個(gè)知識點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，融會貫通，讓后學(xué)者不禁回過頭看看以前走過的那些路，真是回味無窮。

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