郭丹偉 張景波

摘 要：若干個(gè)耦合單元之間通過(guò)相互作用達(dá)到同步的現(xiàn)象在許多領(lǐng)域中屢見(jiàn)不鮮。20世紀(jì)90年代以來(lái)，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡羅爾（P.L.Carroll）提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過(guò)某種驅(qū)動(dòng)（或耦合），仍然可以實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化。該文就混沌同步的幾種主要方法及這些方法的基本原理作簡(jiǎn)要的研究。

關(guān)鍵詞：Lorenz 混沌 PC同步

中圖分類(lèi)號(hào)：O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）08（a）-0045-02

同步是自然界中的一種基本現(xiàn)象，它通常指：至少在兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)相位間的協(xié)調(diào)一致現(xiàn)象。關(guān)于同步現(xiàn)象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）關(guān)于耦合單擺的同步現(xiàn)象的觀察。實(shí)際上，若干個(gè)耦合單元之間通過(guò)相互作用達(dá)到同步的現(xiàn)象在許多領(lǐng)域中屢見(jiàn)不鮮。尤其是進(jìn)入20世紀(jì)90年代以來(lái)，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡羅爾（P.L.Carroll）提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過(guò)某種驅(qū)動(dòng)（或耦合），仍然可以實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化。他們提出了一種混沌同步的方法（簡(jiǎn)稱(chēng)P——C方法），并在電子線路上首次觀察到混沌同步現(xiàn)象。他們的工作和OGY控制混沌的工作，極大地推動(dòng)了混沌同步和混沌控制的理論研究，拉開(kāi)了利用混沌的序幕。

該文僅就混沌同步的幾種主要方法及這些方法的基本原理作簡(jiǎn)要的介紹。

1 Lorenz吸引子

一個(gè)系統(tǒng)的同步是以其條件李雅普諾夫指數(shù)來(lái)衡量的，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的條件李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)是同步的。Lorenz吸引子是一種典型的混沌系統(tǒng)，利用它可以證實(shí)以上的結(jié)論。

Lorenz系統(tǒng)是氣象學(xué)家lorenz在研究流體是提出的動(dòng)力學(xué)模型，隨后人們給出了它的電路實(shí)現(xiàn)。其電路圖如圖1所示。

在電路中，由R1、R2、R3、R4以及運(yùn)算放大器1構(gòu)成了一個(gè)減法器。R5、C2以及運(yùn)算放大器2構(gòu)成一個(gè)積分器。R6、R7以及運(yùn)算放大器3構(gòu)成了一個(gè)倍乘器。乘法器9實(shí)現(xiàn)了U和W的相乘。乘法器10實(shí)現(xiàn)了U和V的相乘。R8、R9、R10、R11、R12以及運(yùn)算放大器4構(gòu)成了一個(gè)加法器。R13、R14以及運(yùn)算放大器5構(gòu)成了一個(gè)反向器。R15、C2以及運(yùn)算放大器6構(gòu)成積分器。R16、R17、R18、R19以及運(yùn)算放大器7構(gòu)成了一個(gè)減法器。R20、C3以及運(yùn)算放大器8構(gòu)成了一個(gè)積分器。

其輸出V（T）—T，關(guān)系如圖2所示。

2 線性狀態(tài)反饋同步

下面討論利用線性反饋的控制方法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)全同系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的同步化。所謂兩個(gè)全同系統(tǒng)，這里是指一個(gè)n維動(dòng)力系統(tǒng)

（7）

對(duì)它的復(fù)制品

（8）

兩式中的函數(shù)有完全相同的形式，只是用帶撇的變量代替了不帶撇的變量（參數(shù)u可以有微小的差別）。系統(tǒng)可稱(chēng)為原系統(tǒng)，系統(tǒng)可稱(chēng)為復(fù)制系統(tǒng)，為利用線性反饋方法使原系統(tǒng)與復(fù)制系統(tǒng)同步化，在復(fù)制系統(tǒng)方程中增加一反饋?lái)?xiàng)，即

（9）

通過(guò)選擇合適的），使得t→∞時(shí)，，就是說(shuō)使式（9）的解漸進(jìn)穩(wěn)定地趨向方程（7）的解，從而使系統(tǒng)（9）與系統(tǒng)（7）同步化。

這樣做的好處在于：一般來(lái)說(shuō)是與的性質(zhì)有關(guān)的一大類(lèi)函數(shù)，使得有多種選擇方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步化，從而使應(yīng)用這一現(xiàn)象的可行性更大。

下面對(duì)lorenz方程的反饋混沌同步進(jìn)行說(shuō)明。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

σ（v-u）

ru-v-uw

uv-bw

反饋加在響應(yīng)系統(tǒng)的第二個(gè)方程上

σ（v-u）

ru-v-uw-λ（v-v）

uv-bw

其中的參數(shù)值與原系統(tǒng)的相同，σ=16，r=45.6，b=4。

電路圖中需要在lorenz基本混沌電路的基礎(chǔ)上，完全復(fù)制一套u(yù)、v、w，再加入一個(gè)由電阻及運(yùn)算放大器組成的減法器，一個(gè)由電阻及運(yùn)算放大器組成的倍乘器，驅(qū)動(dòng)信號(hào)加在v中。

在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，取電容的初始值為0.1v，響應(yīng)系統(tǒng)中，取電容的初始值為0.11v。此時(shí)，研究者關(guān)心的是v、v隨著時(shí)間的推移，是否能達(dá)到同步的問(wèn)題。

該文還是利用pspice軟件來(lái)檢驗(yàn)v與v是否同步的問(wèn)題，用與u驅(qū)動(dòng)同樣的方法來(lái)觀察v與v的關(guān)系曲線。

3 結(jié)語(yǔ)

該文研究了兩種實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)混沌同步的方法，最終一個(gè)系統(tǒng)是可以達(dá)到同步的。

參考文獻(xiàn)

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