周慧敏，杜昕彥，魏俊潮

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅲ）

周慧敏，杜昕彥，魏俊潮＊

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

設(shè)R為環(huán)，證明了如下結(jié)論：1）R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意x，y∈R，當(dāng)1－xy∈GPE（R）時(shí)必有1－y x∈GPE（R）；2）若R為正則環(huán)，則PE（R）為正則環(huán)；3）R為約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；4）R為強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

Abel環(huán)；冪等元；冪零元；約化環(huán)；正則環(huán)

0 引言

本文中的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán).設(shè)R為一個(gè)環(huán)，E（R），N（R），Z（R）分別表示R的冪等元集合、冪零元集合及R的中心.設(shè)x∈R，若存在正整數(shù)n＝n（x）≥2，使得x n＝x，則稱x是R的potent元.易見，冪等元總是potent元，但反之未必.例如：在環(huán)Z6中，是potent元，但不是冪等元.記PE（R）＝｛a∈R｜a與R的全體potent元可交換｝，則易證PE（R）是R的子環(huán).若E（R）?Z（R），則稱R為Abel環(huán).眾所周知，冪等元在環(huán)論中發(fā)揮了重要作用，很多著名的環(huán)類如強(qiáng)正則環(huán)、exchange環(huán)、clean環(huán)都與冪等元緊密相關(guān).冪等元的很多性質(zhì)已被逐步應(yīng)用到矩陣代數(shù)與Hilbert空間中的正交投射算子中［1－2］.近年來，有關(guān)Abel環(huán)的研究很多，Han等［3］證明了一個(gè)環(huán)R是Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R的任意冪等元f，e，有fe，ef都是冪等元；屈寅春等［4－5］先后證明了一個(gè)環(huán)R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)CZE（R）（R）是R的理想，一個(gè)環(huán)R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)冪等元可唯一地表示為一個(gè)square元與一個(gè)冪等元之和；周穎等［6］證明了一個(gè)環(huán)R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意e，g∈E（R），有｜e∨g｜≤3；Wei等［7］證明了一個(gè)環(huán)R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是quasi－normal環(huán)和左冪等自反環(huán).關(guān)于冪等元的研究還可參見文獻(xiàn)［8－10］.本文的主要目的是繼續(xù)刻畫Abel環(huán).

1 主要結(jié)論

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，記GPE（R）＝｛a∈R｜對R的每個(gè)potent元x，存在正整數(shù)m＝m（x），使得ax＝x max｝.一個(gè)環(huán)R是Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)e∈E（R），總有（1－e）Re＝0.借助于GPE（R），有如下定理.

定理1 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為Abel環(huán)；

2）GPE（R）＝R；

3）對任意x，y∈R，當(dāng)xy∈GPE（R）時(shí)必有x∈GPE（R）或y∈GPE（R）.

證明 1）?2）：由于R為 Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)ZE（R）＝R，并注意到ZE（R）?GPE（R），故GPE（R）＝R.

2）?3）：顯然.

3）?1）：設(shè)e∈E（R）.任取a∈R，記h＝（1－e）ae，則he＝h，eh＝0且h2＝0∈GPE（R），所以h∈GPE（R），h＝he＝ehe＝0；因此，對每個(gè)a∈R，都有（1－e）ae＝0，從而R為Abel環(huán).

由定理1的證明可得如下推論.

推論2R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意x，y∈R，當(dāng)xy∈ZE（R）時(shí)必有x∈ZE（R）或y∈ZE（R）.

由于一個(gè)環(huán)R是Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)N（R）?ZE（R），故利用定理1易得如下推論.

推論3R為Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)N（R）?GPE（R）.

定理4 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意x，y∈R，當(dāng)1－xy∈GPE（R）時(shí)必有1－y x∈GPE（R）；

3）對任意e，g∈E（R），當(dāng)1－eg∈GPE（R）時(shí)必有1－ge∈GPE（R）.

證明 1）?2）：由定理1知成立.

2）?3）：顯然.

3）?1）：設(shè)e∈E（R）.任取a∈R，記g＝e＋（1－e）ae，則eg＝e，ge＝g且g2＝g.由于1－e（1－g）＝1∈GPE（R），故由3）知1－（1－g）e∈GPE（R），即1－e＋g∈GPE（R）.于是，e（1－e＋g）e＝（1－e＋g）e，故ege＝ge，即g＝e.這說明對每個(gè)a∈R，有（1－e）ae＝0，因此R為Abel環(huán).

由定理4，可得如下推論.

推論5 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意x，y∈R，當(dāng)1－xy∈ZE（R）時(shí)必有1－y x∈ZE（R）；

3）對任意e，g∈E（R），當(dāng)1－eg∈ZE（R）時(shí)必有1－ge∈ZE（R）.

設(shè)R為一個(gè)環(huán)，若對每個(gè)a∈R，存在b∈R，使得a＝aba，則稱R為正則環(huán).若R為正則環(huán)，則Z（R）是正則環(huán).文獻(xiàn)［4］3中推論10證明了：若R為正則環(huán)，則ZE（R）為正則環(huán).本文將推廣這個(gè)結(jié)果如下.

定理6 設(shè)R為正則環(huán)，則PE（R）為正則環(huán).

證明 設(shè)a∈PE（R），由于R為正則環(huán)，故存在b∈R，使得a＝aba.記e＝ba，g＝ab，則e，g是potent元且a＝ae＝ga.由于a∈PE（R），故ag＝ga＝a＝ae＝ea，因此a2b＝a＝ba2，從而a2b3＝b3a2.設(shè)x為任一個(gè)potent元，則xa＝ax，即ba2x＝xa2b＝a2xb，因此b3a2x＝a2xb3，于是b3a2∈PE（R）.由于a（b3a2）a＝ab2（ba2）a＝ab2a2＝ab（ba2）＝aba＝a，故PE（R）為正則環(huán).

定理7 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意e，g∈E（R），存在x∈R，使得eg＝gexge；

3）對任意e，g∈E（R），存在y∈R，使得eg＝geyeg.

證明 1）?2），1）?3）：顯然.

設(shè)e∈E（R）.任取a∈R，記g＝e＋ea（1－e），則eg＝g，ge＝e，g2＝g；若2）成立，則存在x∈R，使得eg＝gexge，故g＝exe，從而e＝ge＝（exe）e＝exe＝g；若3）成立，則有y∈R，使得e（1－g）＝（1－g）eye（1－g），由于（1－g）e＝e－ge＝e－e＝0，從而e（1－g）＝0，故e＝eg＝g；因此，無論在條件2）還是條件3）下，總有e＝g；因此，ea（1－e）＝0，故R為Abel環(huán).

設(shè)R為一個(gè)環(huán)，若N（R）＝0，則稱R是約化環(huán)［11］.關(guān)于約化環(huán)，有如下刻畫.

定理8 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為約化環(huán)；

2）對每個(gè)e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；

3）對每個(gè)e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea.

證明 1）?2），1）?3）：由于R為約化環(huán)時(shí)，故N（R）＝0，易證結(jié)論成立.

2）?1）：現(xiàn)設(shè)a∈N（R）且a2＝0，由2）知存在x∈R，使得a＝axa.設(shè)e＝xa，則a＝ae且e2＝e.再由2）知存在y∈R，使得ae＝eayae.因?yàn)閑a＝xa2＝0，所以a＝ae＝0，從而R為約化環(huán).

同理可證，3）?1）.

由定理8易證如下推論.

推論9 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為約化環(huán)；

2）對每個(gè)a∈N（R），每個(gè)b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab；

3）對每個(gè)a∈N（R），每個(gè)b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxba；

4）對每個(gè)a∈N（R），存在x∈aRa，使得a＝axa.

關(guān)于強(qiáng)正則環(huán)，有如下定理.

定理10 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為強(qiáng)正則環(huán)；

2）對每個(gè)a∈R，每個(gè)e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea；

3）對每個(gè)a∈R，每個(gè)e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae.

證明 1）?2），1）?3）：設(shè)R為強(qiáng)正則環(huán)，則R為正則環(huán)和Abel環(huán)，故對每個(gè)a∈R，都有x∈R，使得a＝axa.從而，對每個(gè)e∈E（R），有ae＝eaxea＝eaxae.

2）?1）：由2）知R為正則環(huán)，再由定理7知R為Abel環(huán)，從而R為強(qiáng)正則環(huán).

同理可證，3）?1）.

推論11 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為強(qiáng)正則環(huán)；

2）對任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

證明 2）?1）：定理10的直接推論.

1）?2）：設(shè)a，b∈R，由于R為強(qiáng)正則環(huán)，故R為正則環(huán)和Abel環(huán)，從而存在m，y，z∈R，使得ab＝abmab，a＝aya，b＝bzb.設(shè)e＝ay，g＝bz，則a＝ea，b＝gb且e，g∈E（R），于是ab＝abmab＝agbmab＝gabmab＝bzabmab＝bzeabmab＝bezabmab＝bayzabmab＝ba（yz）ab.令x＝y(tǒng)z，則ab＝baxab.

由環(huán)R的一個(gè)元a是強(qiáng)正則元當(dāng)且僅當(dāng)存在R的可逆元u，使得a＝aua且ua＝au，因此有如下定理.

定理12 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為強(qiáng)正則環(huán)；

2）對任意a，b∈R，存在R的可逆元u，使得ab＝bauab.

證明 2）?1）：推論11的直接推論.

1）?2）：設(shè)a，b∈R，由于R為強(qiáng)正則環(huán)，故R為正則環(huán)和Abel環(huán)，從而存在x，v，w∈R，其中v，w是可逆元，使得ab＝abxab，a＝awa，b＝bvb.設(shè)e＝bv，g＝aw，則a＝ga，b＝eb，且e，g∈E（R），因此ab＝abxab＝agbmab＝gaebxab＝egabxab＝bvgabxab＝bgvabxab＝bawvabxab＝ba（wv）ab.取u＝wv，則u是R的可逆元，且ab＝bauab.

推論13 設(shè)R為一個(gè)環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為強(qiáng)正則環(huán)；

2）對任意a∈R，存在b∈aRa，使得a＝aba.

證明 1）?2）：設(shè)a∈R，則存在R的可逆元u使得a＝aua且ua＝au.取b＝uauau，則a＝aba，且b＝au3a∈aRa.

2）?1）：由推論9知R是約化環(huán).由于約化的正則環(huán)是強(qiáng)正則環(huán)，故R是強(qiáng)正則環(huán).

［1］RAKO EVI V.On the norm of idempotent in a Hilbert space［J］.Amer Math Monthly，2000，107（8）：748－750.

［2］KOLIHA J J，RAKO EVI V.Invertibility of the difference of idempotents［J］.Linear Multilinear Algebra，2003，51（1）：97－110.

［3］HAN J，LEE Y，PARK S W.Semicentral idempotents in a ring［J］.J Korean Math Soc，2014，51（3）：463－472.

［4］屈寅春，范志勇，魏俊潮.環(huán)的子集的交換化子的性質(zhì) ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，16（1）：1－3.

［5］屈寅春，周穎，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，15（4）：5－7.

［6］周穎，李敏，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅱ）［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（1）：1－3，8.

［7］WEI Junchao，LI Libin.Quasi－normal rings［J］.Comm Algebra，2010，38（5）：1855－1868.

［8］WANG Shuqin.On op－idempotents［J］.Kyungpook Math J，2005，45（2）：171－175.

［9］CHEN Huanyin.A note on potent elements［J］.Kyungpook Math J，2005，45（4）：519－526.

［10］ZHOU Ying，WEI Junchao.Generalized weakly central reduced rings［J］.Turkish J Math，2015，39（5）：604－617.

［11］WEI Junchao.On rings with weakly prime centers［J］.Ukrainian Math J，2014，66（12）：1812－1822.

Some characterizations on Abel rings（Ⅲ）

ZHOU Huimin，DU Xinyan，WEI Junchao＊

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

In this paper，the following results are proved：1）A ringRis an Abel ring if and only if for eachx，y∈R，1－xy∈GPE（R）implies that 1－yx∈GPE（R）；2）IfRis a regular ring，thenPE（R）is a regular ring；3）Ris a reduced ring if and only if for eache∈E（R）anda∈N（R），there exists an elementxofRsuch thatae＝eaxae；4）Ris a strongly regular ring if and only if for eacha，b∈R，there existsx∈Rsuch thatab＝baxab.

Abel ring；idempotent element；nilpotent element；reduced ring；regular ring

O 153.3；O 154

A

1007－824X（2015）04－0016－03

2015－04－23.＊ 聯(lián)系人，E－mail：jcweiyz＠126.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471282）；2014年揚(yáng)州大學(xué)大學(xué)生科技創(chuàng)新資助項(xiàng)目.

周慧敏，杜昕彥，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅲ）［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：16－18，23.

book=23,ebook=252

（責(zé)任編輯 青 禾）