潘 敏，葛 靜，張群英＊

（1．揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002；2．泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇 泰州225300）

近年來(lái)，不同功能反應(yīng)的捕食模型引起了廣泛關(guān)注［1－2］．考慮到生物種群的遷移現(xiàn)象，很多學(xué)者致力于研究帶有擴(kuò)散項(xiàng)的捕食－被捕食模型［3－4］，其中對(duì)Beddington－DeAngelis（BD）型捕食－被捕食擴(kuò)散模型的研究已有較多理論結(jié)果［5－7］．本文將討論一類具階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的BD 型捕食－被捕食反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的子系統(tǒng)平衡解的全局穩(wěn)定性，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證相關(guān)結(jié)論．

1 模型及相關(guān)引理

本文主要研究如下具階段結(jié)構(gòu)的BD 型捕食－被捕食反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

其中u1，u2分別表示被捕食者為幼年種群和成年種群的種群密度，u3表示捕食者的種群密度；正常數(shù)Di（i＝1，2，3）表示第i個(gè)種群的擴(kuò)散系數(shù)；b表示成年被捕食者的出生率；d1表示幼年捕食者的死亡率；Ω 為Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域；η 表示邊界?Ω 上的單位外法向量；齊次Neumann邊界條件?ui／?η＝0表示上述系統(tǒng)在邊界上沒(méi)有種群遷移；初值函數(shù)φi（x，t）在ˉΩ×（－τ，0］上非負(fù)且H?lder連續(xù)，并在?Ω 上滿足相應(yīng)的相容性條件?φi／?η＝0（i＝1，2，3）；τ表示幼年被捕食者成熟所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；e－d1τ表示每一個(gè)幼年捕食者在成熟之前的存活率；mu2u3／（1＋k1u2＋k2u3）為BD 響應(yīng)函數(shù)，式中k1為捕食率，k2為捕食者之間的相互影響率；n為捕食者攝取食物轉(zhuǎn)化為能量的轉(zhuǎn)化率；d 為捕食者的死亡率；以上這些參數(shù)均為正常數(shù)．為方便討論，令r＝be－d1τ，K＝be－d1τ／a，α＝m，β＝ned1τ．因幼年種群的密度取決于成年種群的密度，故考慮該系統(tǒng)的子系統(tǒng)

顯然，該子系統(tǒng)（1）有平凡解E0＝（0，0）；半平凡解E1＝（K，0）；且當(dāng)（αβe－d1τK）（1＋k1K）－1＞d 時(shí)，子系統(tǒng)（1）有正平衡解E2＝（u2＊，u3＊），其中式中為證明子系統(tǒng)（1）半平凡解E1＝（K，0）和正平衡解E2＝（u2＊，u3＊）的全局穩(wěn)定性，下面先給出4個(gè)引理．

引理1 若u∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標(biāo)量問(wèn)題

的一個(gè)非負(fù)非平凡解，其中A1≥0，A2，B，τ＞0，則i）當(dāng)B±A1＞0，且t→＋∞時(shí)，u→（B±A1）／A2在上一致成立；ii）當(dāng)B±A1≤0且t→＋∞時(shí)，u→0在ˉΩ 上一致成立．

引理2設(shè)v∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標(biāo)量問(wèn)題

的一個(gè)非負(fù)非平凡解，其中所有參數(shù)均為正值，i）若（αβe－d1τ－dk1）M－d＞0，則當(dāng)t→＋∞時(shí)，v→［（αβe－d1τ－dk1）M－d］／k2d 在上一致成立；ii）若（αβe－d1τ－dk1）M－d≤0，則當(dāng)t→＋∞時(shí)，v→0在上一致成立．

引理3設(shè)w∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標(biāo)量問(wèn)題

的一個(gè)非負(fù)非平凡解，其中所有參數(shù)均為正值，且r＞αu0（1＋k2u0）－1，則當(dāng)t→＋∞時(shí)，w→w＊在ˉΩ上一致成立，這里

引理4子系統(tǒng)（1）的平衡解均一致有界．

證明 易證子系統(tǒng)（1）在初始條件非負(fù)的情況下其解一定為正．由子系統(tǒng)（1）的第1個(gè)方程有

考慮方程組

由比較原理知w2（x，t）≥u2（x，t）＞0，（x，t）∈ˉΩ×［0，＋∞）．再根據(jù)文獻(xiàn)［8］中定理2得w2（x，t）有界，從而u2（x，t）一致有界，即存在M＞K，T1＞0，使得u2（x，t）＜M，（x，t）∈ˉΩ×［T1，＋∞）．將u2（x，t）＜M代入子系統(tǒng)（1）的第2個(gè)方程，有由引理2和比較原理知，若N＝［（αβe－d1τ－dk1）M－d］k2－1d－1＞0，則對(duì)任意小ε＞0，存在T2＞T1，使得u3＜N＋ε，（x，t）∈Ω×［T2，＋∞），即u3（x，t）一致有界，證畢．

2 全局穩(wěn)定性

首先，討論子系統(tǒng)（1）半平凡解E1＝（K，0）的全局穩(wěn)定性．

定理1當(dāng)αβe－d1τK／（1＋k1K）≤d 時(shí)，limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．

證明 先討論當(dāng)αβe－d1τK／（1＋k1K）＜d 時(shí)半平凡解的穩(wěn)定性．顯然，存在充分小的ε＞0，使得αβe－d1τ（K＋ε）／［1＋k1（K＋ε）］＜d 成立．由引理1 及方程（2）知limt→＋∞w2（x，t）＝K，則對(duì)任意ε，存在Tε＞0，使得w2（x，t）＜K＋ε．再由比較原理知u2（x，t）≤w2（x，t）＜K＋ε，（x，t）∈ˉΩ×［Tε，＋∞）．將上式代入子系統(tǒng)（1）的第2個(gè)方程，得

由引理2和比較原理知limt→＋∞u3（x，t）＝0，因此，對(duì)任意0＜δ＜r，存在Tδ＞0，使得αu3／（1＋k1u2＋k2u3）＜δ成立，其中（x，t）∈ˉΩ×［Tδ，＋∞）．于是由子系統(tǒng)（1）的第1個(gè)方程，有ru2（x，t－τ）－δu3－ru22／K＜u2t－D2Δu2＜ru2（x，t－τ）－ru22／K．再由引理1和比較原理，得limt→＋∞u2（x，t）＝K．

其次，當(dāng)αβe－d1τK／（1＋k1K）＝d 時(shí)，類似于文獻(xiàn)［9］中定理3．1的情形二，可證得limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．定理得證．

然后，利用上下解［10］及迭代方法證明正平衡解E2＝（u＊2，u＊3）的全局穩(wěn)定性．

定理2若子系統(tǒng)（1）滿足條件

則正平衡解E2全局吸引．

證明 考慮子系統(tǒng)（1）的第1 個(gè)方程，根據(jù)比較原理和引理1，并注意到條件αβe－d1τK／（1＋k1K）＞d，知對(duì)任意小的ε＞0，存在T1＞0，使得再將其代入子系統(tǒng)（1）的第2個(gè)方程，有u3t－D3Δu3≤［αβe－d1τˉu21／（1＋k1ˉu21＋k2u3）－d］u3，（x，t）∈Ω×［T1，＋∞）．令引理2中的M＝ˉu21，可得limt→＋∞v（x，t）＝［（αβe－d1τ－dk1）ˉu21－d］k－12 d－1＞0．由比較原理知，u3（x，t）≤v（x，t），（x，t）∈Ω×［T1，＋∞），即對(duì)任意小的ε＞0，存在T2＞T1，使得

將式（4）代入子系統(tǒng)（1）的第1個(gè)方程，得

由引理3和比較原理知對(duì)任意小的ε＞0，存在T3＞T2，使得

同理可得，對(duì)任意小的ε＞0，存在T4＞T3，使得

由條件（3），引理3及比較原理知對(duì)任意小的ε＞0，存在T5＞T4，使得

同理可得，對(duì)任意小的ε＞0，存在T6＞T5，使得

又因

注1若將條件（3）中的r，K，α，β還原為子系統(tǒng)（1）的系數(shù)，則得等價(jià)條件

由此可見(jiàn)，時(shí)滯τ越大，條件（12）越不易滿足，故引入階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的持續(xù)生存將帶來(lái)負(fù)面影響；而式（12）與擴(kuò)散系數(shù)無(wú)關(guān)，即引入擴(kuò)散項(xiàng)未對(duì)種群的持續(xù)生存和滅絕產(chǎn)生明顯影響．

3 數(shù)值模擬

利用Matlab軟件對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬．先考慮半平凡解E1，選取初始函數(shù)u2（x，t）＝0．367 9＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．5＋0．1cos 2x，參數(shù)D2＝2，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝0．5，k1＝0．6，k2＝1，d＝2．此時(shí)子系統(tǒng)（1）有唯一的半平凡解E1（0．367 9，0）．可繪制出子系統(tǒng)（1）的模擬曲面，見(jiàn)圖1．由圖1可觀察到，當(dāng)t→＋∞時(shí)，u2（x，t）→0．367 9，u3（x，t）→0，這與定理1的理論結(jié)果一致．

圖1 半平凡解E1 的全局穩(wěn)定性Fig．1 Global stability of boundary equilibriumE1

再考慮正平衡解E2，選取初始函數(shù)u2（x，t）＝0．333 2＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．136＋0．1cos 2x，參數(shù)D2＝0．04，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝2，k1＝0．6，k2＝20，d＝0．17．此時(shí)子系統(tǒng)（1）有唯一的正平衡解E2（0．333 2，0．136）．可繪制出子系統(tǒng)（1）的模擬曲面，見(jiàn)圖2．由圖2可觀察到，當(dāng)t→＋∞時(shí)，u2（x，t）→0．333 2，u3（x，t）→0．136，這與定理2的理論結(jié)果一致．

圖2 正平衡解E2 的全局穩(wěn)定性Fig．2 Global stability of positive equilibriumE2

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