張 穎，陳惠香

（1.淮海工學院理學院，江蘇 連云港 222005；2.揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002）

一類Hopf代數的單Yetter－Drinfeld模

張 穎1，陳惠香2＊

（1.淮海工學院理學院，江蘇 連云港 222005；2.揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002）

研究一類有限維分次Hopf代數H的單Yetter－Drinfeld模.利用H的生成元在單Yetter－DrinfeldH－模上的作用，給出單Yetter－DrinfeldH－模的結構和同構分類.

Hopf代數；Yetter－Drinfeld模；單Yetter－Drinfeld模

Hopf代數H上 Yetter－Drinfeld模（YDH－模）又稱為交叉雙模，最初由 Yetter［1］引入.YDH－模的理論有著廣泛的應用［2－4］.Makhlouf等［5］證明了當H的反極S是雙射時，YDH－模范疇（HYDH）是一個辮子monoidal范疇，因此每一個YDH－模提供了Yang－Baxter方程的一個解；當H是有限維Hopf代數時，HYDH與Drinfeld doubleD（H）－模范疇是等價的.2009年，Cibils等［6］利用n階循環(huán)群代數上的一個二維Yetter－Drinfeld模構造了一類新的Hopf代數H，本文擬利用Radford［7］和Zhu等［8］的工作確定H上單Yetter－Drinfeld模的結構和同構分類.

1 預備知識

本文中恒設k是一個特征為p＞0的代數閉域，所有的代數和模都是域k上的向量空間，代數上的模均為左模，n是一個被p整除的正整數.有關代數的表示及其模等基本概念可參考文獻［9］.當p＝2時，Cibils等［6］4035構造的Hopf代數H的結構可描述如下：作為k－代數，H由g，a，b生成，關系式為：g n＝1，g－1ag＝a，g－1bg＝a＋b，a2＝0，b4＝0，baba＝abab，b2a＝ab2＋aba.H的余乘法、余單位和反極S分別由下述等式確定：Δg＝g?g，Δa＝a?1＋g?a，Δb＝b?1＋g?b；ε（g）＝1，ε（a）＝ε（b）＝0；S（g）＝g－1，S（a）＝－g－1a，S（b）＝－g－1b.由文獻［6］4035中推論3.4知H是維數為16n的有限維分次pointed Hopf代數，令

則集合｛g ix｜x∈I，0≤i≤n－1｝是H的一組k－基.設X是一個左H－模，則X?H∈HYDH，X?H的左H－模作用和右H－余模作用由下式給出：

其中h，y∈H，x∈X.Radford［7］678證明了任一單YDH－模M必然滿足M?H·N，其中N是X?H的一個單子余模，X是單H－模.若H是一個pointed Hopf代數，則由文獻［7］684中引理3知N是一維的，且x?y是N的一組k－基，其中x∈X，y∈G（H）；因此，H·N＝H·（x?y）.

2 主要結論

群代數kG是H的余根.設n＝2st，其中（2，t）＝1，s≥1，并設ξ∈k是一個t次本原單位根.由文獻［10］中定理1知H有t個互不同構的單模Si，0≤i≤t－1，且每個單模Si都是一維的，Si的模結構為g·v＝ξiv，a·v＝b·v＝0，v∈Si.由于H是pointed Hopf代數，故Si?H的任一單子余模N是一維的，N中任一非零元素形如v?g j（0≤j≤n－1），其中0≠v∈Si.由上述分析知要計算單YDH－模只須考慮YDH－模H·（v?g j）即可，記為H（Si，g j），其中0≤i≤t－1，0≤j≤n－1.通過計算得Δ2（g）＝g?g?g，Δ2（a）＝a?1?1＋g?a?1＋g?g?a，Δ2（b）＝b?1?1＋g?b?1＋g?g?b，S－1（a）＝g－1a，S－1（b）＝bg－1＝g－1a＋g－1b.

引理1 設0≤j≤n－1，則在H（S0，g j）中有下述結論成立：

1）當j是偶數時，g·（v?gj）＝v?gj，a·（v?gj）＝b·（v?g j）＝0，此時，dimH（S0，g j）＝1；

2）當j是奇數時，g·（v?g j）＝v?gj，a·（v?g j）＝0，b·（v?g j）＝v?ag j－1，b2·（v?gj）＝v?abgj－2＋v?bagj－2，b3·（v?gj）＝0，此時，dimH（S0，g j）＝3.

證明 由H（S0，g j）上的左H－模作用的定義和文獻［11］中命題4.1，直接驗證可得上述結論中各等式.顯然，集合｛xg i｜x∈I，0≤i≤n－1｝也是H的一組k－基，將基中每個元素作用在v?g j上，再由這些等式即知H（S0，g j）的維數.證畢.

命題2 設0≤j≤n－1，則H（S0，gj）是一個單YDH－模.

證明 由引理1知線性空間k（v?g j）是H（S0，g j）中唯一的單余子模，從而H（S0，g j）是單YDH－模.

命題3 設1≤i≤t－1，0≤j≤n－1，則H（Si，gj）是一個單YDH－模，dimH（Si，g j）＝16.

證明 由于特征p＝2，故可分以下2種情形計算H在H（Si，g j）上的作用.

1）當j為偶數時，直接驗證可得下述等式：

2）當j為奇數時，直接驗證可得下述等式：

因ξ是一個t次本原單位根且（2，t）＝1，故1＋ξ2i≠0，其中1≤i≤t－1.由集合｛xgi｜x∈I，0≤i≤n－1｝是H的一組k－基，將基中的每個元素作用在v?gj上，再由命題3證明1）和2）中全體等式可知集合｛x·（v?g j）｜x∈I｝是H（Si，g j）的一組基，且線性空間k（v?g j）是H（Si，g j）中唯一的單子余模；因此，H（Si，g j）是單YDH－模，且dimH（Si，g j）＝16.證畢.

由上述引理及命題，即得單YDH－模的分類定理.

定理5 所有互不同構的單YDH－模分類如下：

1）2s－1t個一維的單YDH－模：H（S0，g j），其中j為偶數，且0≤j≤n－1；

2）2s－1t個三維的單YDH－模：H（S0，g j），其中j為奇數，且0≤j≤n－1；

3）（t－1）n個維數為16的單YDH－模：H（Si，g j），其中1≤i≤t－1，0≤j≤n－1.

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The simple Yetter－Drinfeld modules of one Hopf algebra

ZHANG Ying1，CHEN Huixiang2＊

（1.Sch of Sci，Huaihai Inst of Tech，Lianyungang 222005，China；2.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

This paper studies the simple Yetter－Drinfeld modules of one class of finite－dimensional graded Hopf algebraH.Using the action of generators ofHon the simple Yetter－DrinfeldH－modules，the author gives the structures of all simple Yetter－DrinfeldH－modules and classifies them up to isomorphism.

Hopf algebra；Yetter－Drinfeld module；simple Yetter－Drinfeld module

O 153.3

A

1007－824X（2015）04－0009－04

2015－06－28.＊ 聯系人，E－mail：jsgyzy22＠sina.com.

國家自然科學基金資助項目（11171291）.

張穎，陳惠香.一類Hopf代數的單Yetter－Drinfeld模 ［J］.揚州大學學報（自然科學版），2015，18（4）：9－12.

（責任編輯 青 禾）