陳利君，胡志興，廖福成

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

具時(shí)滯和細(xì)胞免疫的HIV－1模型穩(wěn)定性分析

陳利君，胡志興＊，廖福成

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

研究一類具時(shí)滯和兩種細(xì)胞免疫（CTLp細(xì)胞和效應(yīng)T細(xì)胞）的HIV－1病毒感染模型，討論了無病平衡點(diǎn)E0和無免疫平衡點(diǎn)E1的局部穩(wěn)定性，并證明了：1）當(dāng)基本再生數(shù)R0＜1時(shí)，E0是全局漸近穩(wěn)定的；2）當(dāng)1＜R1＜R0時(shí)，時(shí)滯改變了免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)（正平衡點(diǎn)）E2的穩(wěn)定性，并引起Hopf分支.

時(shí)滯；穩(wěn)定性；基本再生數(shù)；Hopf分支；HIV－1病毒感染

艾滋病毒（HIV）已經(jīng)成為危害人類健康的大敵，對(duì)其研究有著重要的意義.迄今為止，大量的數(shù)學(xué)模型被用于研究HIV病毒感染的問題，對(duì)病毒、宿主細(xì)胞之間相互關(guān)系的研究已取得很多的成果［1－3］.Nakata［4］研究了一類關(guān)于 Beddington－De Angelis（BD）發(fā)生率的三維 HIV－1模型，劉祥東等［5］研究了一類飽和感染率的HIV模型，Xiang等［6］研究了一類關(guān)于BD發(fā)生率和時(shí)滯的HIV－1病毒感染模型，Cai等［7］研究了一類非線性發(fā)生率的HIV－1病毒感染模型，Lv等［8］研究了一類關(guān)于效應(yīng)細(xì)胞的五維HIV－1模型.基于以上研究，本文擬考察一類具非線性發(fā)生率、時(shí)滯和效應(yīng)細(xì)胞的五維HIV－1模型，并對(duì)各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

1 模型的建立

本文研究如下一類具有時(shí)滯及細(xì)胞免疫的HIV－1病毒感染模型：

其中x（t）為靶細(xì)胞；y（t）為被感染細(xì)胞；v（t）為自由病毒數(shù)量；w（t）為 CTLp細(xì)胞數(shù)量；z（t）為效應(yīng)T細(xì)胞數(shù)量；λ為常數(shù)，表示靶細(xì)胞產(chǎn)生率；d為常數(shù)，表示靶細(xì)胞死亡率；βx（t）v（t）為靶細(xì)胞變成感染細(xì)胞的發(fā)生率，β為常數(shù)；a為感染細(xì)胞的死亡率；p為常數(shù)，表示感染細(xì)胞被效應(yīng)細(xì)胞清除率；k為感染細(xì)胞產(chǎn)生病毒率；u為病毒死亡率；c為免疫細(xì)胞產(chǎn)生率；q（0≤q＜1）為CTLp細(xì)胞轉(zhuǎn)化為效應(yīng)T細(xì)胞的轉(zhuǎn)化率；b為免疫細(xì)胞的死亡率；h為效應(yīng)細(xì)胞的死亡率；τ≥0為感染細(xì)胞產(chǎn)生病毒的時(shí)間，在τ時(shí)間內(nèi)感染細(xì)胞產(chǎn)生病毒的存活率為e－nτ，這里n為常數(shù)；以上參數(shù)均大于等于0.

系統(tǒng)（1）的初始條件為：x（θ）＝φ1（θ）；y（θ）＝φ2（θ）；v（θ）＝φ3（θ）；w（θ）＝φ4（θ）；z（θ）＝φ5（θ），其中φi（θ）≥0（i＝1，2，…，5），θ∈［－τ，0）；φi（θ）＞0（i＝1，2，…，5），θ＝0.令φ＝（φ1，φ2，φ3，φ4，φ5）T∈C（［－τ，0］，R5＋），則φ是巴拿赫空間C（［－τ，0］，R5＋）中從［－τ，0］到 R5＋的連續(xù)函數(shù)，這里R5＋＝｛（x1，x2，x3，x4，x5）：x i≥0，i＝1，2，…，5｝.

2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

通過對(duì)系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的分析，有如下結(jié)論.

定理1 在系統(tǒng)（1）中，i）總是存在無病平衡點(diǎn)E0＝（x0，0，0，0，0），其中x0＝d－1λ；ii）當(dāng)R0＞1時(shí)，存在無免疫平衡點(diǎn)E1＝（x1，y1，v1，w1，z1），其中x1＝au／（kβe－nτ），y1＝du（R0－1）／（kβe－nτ），v1＝d（R0－1）／β，w1＝z1＝0；iii）當(dāng)R0＞R1＞1時(shí)，存在一個(gè)免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)（正平衡點(diǎn)）E2＝（x2，y2，v2，w2，z2），其中x2＝λ／（d R1），y2＝b／［c（1－q）］，v2＝bke－nτ／［cu（1－q）］，w2＝ah（1－q）（R0－R1）／（pqbR1），z2＝a（R0－R1）／（p R1），式中R0＝λβke－nτ／（adu），R1＝1＋βbke－nτ／［cdu（1－q）］分別為病毒和CTL免疫基本再生數(shù).

2.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理2 在系統(tǒng)（1）中，當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)（1）在無病平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

顯然，（2）式有3個(gè)負(fù)實(shí)根：s1＝－d，s2＝－h(huán)，s3＝－b.于是判斷（2）式根的情況，只須討論方程

的根.當(dāng)R0＜1時(shí)，由Routh－Hurwitz判據(jù)知，（3）式所有根均具有負(fù)實(shí)部；因此，當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的.

定理3 在系統(tǒng)（1）中，當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 設(shè)f：［0，∞）→R 為任意一個(gè)連續(xù)有界函數(shù)，定義f∞＝limt→∞supf（t），f∞＝limt→∞inff（t）.易知，當(dāng)t≥0時(shí)，系統(tǒng)（1）滿足給定初始條件的解都是非負(fù)且有界的；因此，對(duì)于每一個(gè)解，limt→∞sup和limt→∞inf均存在.由波動(dòng)定理［9］知，存在一個(gè)時(shí)間序列tn→∞（n→∞），使得limn→∞x（tn）＝x∞，limn→∞x′（tn）＝0.由系統(tǒng)（1）中第1個(gè)方程可得dlimn→∞x（tn）＋βlimn→∞x（tn）·limn→∞v（tn）＝λ，故d x∞≤（d＋βv∞）x∞≤λ，即x∞≤d－1λ.同理，可得ay∞≤（a＋pz∞）y∞≤βx∞v∞，uv∞≤ke－nτy∞，bw∞≤c（1－q）y∞w∞，hz∞≤cqy∞w∞.下面用反證法證明v∞＝0.假設(shè)v∞＞0.由以上式子可得auk－1enτ（1－R0）v∞≤0，從而可知R0≥1，這與R0＜1相矛盾，故v∞＝0.又由v∞＝0，可得y∞＝w∞＝z∞＝0.又因0≤y∞≤y∞，故y∞＝0.同理可得w∞＝z∞＝v∞＝0，即limt→0y（t）＝limt→0w（t）＝limt→0z（t）＝0.最后，由系統(tǒng)（1）中第1個(gè)方程可得limt→0x（t）＝d－1λ.證畢.

2.2 無免疫平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理4 在系統(tǒng)（1）中，當(dāng)1＜R0＜R1時(shí)，對(duì)任意τ≥0，無免疫平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)1＜R1＜R0時(shí)，E1不穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)（1）在無免疫平衡點(diǎn)E1的特征方程為

顯然，（4）式有2個(gè)負(fù)實(shí)根：s1＝－h(huán)，s2＝－λc（1－q）（R1－R0）／（aR0）.欲判斷（4）式特征方程所有根的情況，只須討論方程

根的情況.當(dāng)τ＝0時(shí)，（5）式可簡(jiǎn)化為

因s＝0不是（7）式的解，故不妨設(shè)s＝iω（ω＞0）為（7）式的一個(gè)解，則有

將（8）式分離實(shí)部和虛部，并平方相加可得

2.3 免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)（正平衡點(diǎn)）的穩(wěn)定性分析

當(dāng)1＜R1＜R0時(shí)，無免疫平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定，故討論免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性.為求解簡(jiǎn)便，進(jìn)行如下變化：

則系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)化為

于是，R0＝e－nτ／（adu），R1＝1＋be－nτ／（cdu），E2＝（d－1，bc－1，be－nτ（cu）－1，ahc（R0－R1）（bR1）－1，a（R0－R1））.系統(tǒng)（10）在免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)E2的特征方程為

定理5 當(dāng)1＜R1＜R0，τ＝0時(shí)，若Δ4＞0，則免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的.

討論Hopf分支存在的條件，令τ＞0.假設(shè)s＝iω（ω＞0）是（11）式的一個(gè)根，并將其代入（11）式可得

將該式實(shí)部和虛部分離，并整理得

于是，由定理5和Hopf分支定理可得如下定理.

定理6 當(dāng)1＜R1＜R0，Δ4＞0，G′（x）＞0時(shí)，假設(shè)（13）式至少有一個(gè)正根，則無免疫平衡點(diǎn)E2在τ＝τ0處產(chǎn)生Hopf分支，其中

當(dāng)τ＜τ0時(shí)，無免疫平衡點(diǎn)E2是穩(wěn)定的；當(dāng)τ＞τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)E2是不穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文研究了一類關(guān)于靶細(xì)胞、被感染細(xì)胞、自由病毒、免疫細(xì)胞、效應(yīng)細(xì)胞之間相互作用的HIV－1病毒感染模型.在此模型中，考慮了感染細(xì)胞產(chǎn)生病毒引起的時(shí)滯；分析了HIV－1病毒感染模型在不同情況下各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)1＜R0＜R1時(shí)，對(duì)任意τ≥0，無免疫平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞R1＞1時(shí)，時(shí)滯τ改變了免疫應(yīng)答平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性，引起Hopf分支：若τ＜τ0，則E2是穩(wěn)定的；若τ＞τ0，則E2是不穩(wěn)定的.

［1］馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 ［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：259－268.

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The stability of an HIV－1 model with time delay and cell mediated immunity

CHEN Lijun，HU Zhixing＊，LIAO Fucheng

（Sch of Math ＆Phys，Univ of Sci ＆ Tech Beijing，Beijing 100083，China）

In this paper，the HIV－1 epidemic model with the cell mediated immunity and time delay is studied.Locally asymptotically stable of the infectious free equilibriumE0and the infectious equilibrium without CTLE1are discussed.It is proved that 1）if the basic reproductive numberR0＜1，E0is globally asymptotically stable.2）if the basic reproductive number 1＜R1＜R0，the stability of the infectious equilibrium with CTL responseE2is changed by using a delay as a bifurcation paramete，and therefore the Hopf bifurcation exists.

delay；stability；basic reproductive number；Hopf bifurcation；HIV－1 infection

O 175.14

A

1007－824X（2015）04－0019－05

2015－02－12.＊ 聯(lián)系人，E－mail：huzhixing＠ustb.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61174209）；北京科技大學(xué)冶金工程研究院基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（YJ2012－001）.

陳利君，胡志興，廖福成.具時(shí)滯和細(xì)胞免疫的HIV－1模型穩(wěn)定性分析 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：19－23.

（責(zé)任編輯 青 禾）