胡上生

二次函數(shù)是高中最重要的基本初等函數(shù)之一，是各章節(jié)知識(shí)之間連接的紐帶與載體.有這樣一類函數(shù)，表面上看起來(lái)不是二次函數(shù)，但實(shí)際上換元之后得到一個(gè)二次函數(shù)，由此可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決這類問(wèn)題，像這類函數(shù)稱之為“隱形”的二次函數(shù).下面筆者通過(guò)具體實(shí)例來(lái)認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的“隱形”應(yīng)用.

例1.函數(shù)y=x+4 （x≤1）的值域?yàn)?.

簡(jiǎn)解：令 =t，則x=1-t2，t2≥0，所以y=-t2+4t+1=-（t-2）2+5（t≥0），根據(jù)圖象易得y∈（-∞，5].

例2.關(guān)于x的方程9x+（4+a）3x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

簡(jiǎn)解：令3x=t，則t>0，從而問(wèn)題就等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程t2+（4+a）t+4=0在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根.再令f（t）=t2+（4+a）t+4（t>0），

則有Δ=（4+a）2-16>0- >0f（0）=4>0解得a<-8.

例3.已知函數(shù)f（x）=log x-log x+5（x∈[2，4]），求f（x）的最大值與最小值.

簡(jiǎn)解：令log x=t，因?yàn)閤∈[2，4]，所以t∈[-1，- ]，則原函數(shù)等價(jià)于g（t）=t2-t+5=（t- ）2+ ，易知g（t）在t∈[-1，- ]上單調(diào)遞減，則g（t）∈[ ，7]，所以f（x）max=7， f（x）min= .

例4.若關(guān)于x的方程cos2x-2cosx+m=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

簡(jiǎn)解：原方程等價(jià)于m=-cos2x+2cosx，由于cos2x=2cos2x-1，

所以m=-2cos2x+cosx+1，m是關(guān)于cosx的二次函數(shù)，這就是一個(gè)二次的值域問(wèn)題，由cosx∈[-1，1]，容易得到m∈[-3， ].

例5.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-2x+2，對(duì)于滿足10，求實(shí)數(shù)a的值.

簡(jiǎn)解：由于原二次函數(shù)的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸都未知，所以利用分離變量的方法，將ax2-2x+2>0轉(zhuǎn)化成a>- + ，對(duì)滿足1 .

通過(guò)上述幾例，不難發(fā)現(xiàn)“隱形”的二次函數(shù)其實(shí)就是外層函數(shù)為二次函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)為各類函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，它在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，并且運(yùn)用過(guò)程中又貫穿著函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與歸化，分類與整合等重要的數(shù)學(xué)思想方法.

編輯 孫玲娟