楊曉晨，武彩萍，王麗明

（太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

0 引 言

模糊二元關(guān)系最早由Zadeh［1］提出，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是在模糊決策領(lǐng)域.例如，在模糊聚類分析中，利用模糊等價關(guān)系（自反、對稱、傳遞關(guān)系）對備擇對象進行了分類；在模糊偏好結(jié)構(gòu)中，嚴格偏好關(guān)系、無區(qū)別關(guān)系以及不可比關(guān)系均是滿足某些特殊性質(zhì)的二元關(guān)系；在模糊選擇函數(shù)的研究中，模糊偏好關(guān)系的自反性、完全性、傳遞性起著重要的作用.在這些模糊關(guān)系中，經(jīng)常出現(xiàn)的一些性質(zhì)主要有非自反、反對稱、T-傳遞、S-負傳遞、T-S-半傳遞、T-S-Ferrers關(guān)系等.Fodor［2］對這些性質(zhì)進行了討論，得出了：若Q非自反且T-S-半傳遞（T-S-Ferrers關(guān)系），則Q滿足T-傳遞性.隨后，Wang［3］進一步系統(tǒng)地討論了這些模糊關(guān)系性質(zhì)之間的聯(lián)系，得到：若Q反對稱且S-負傳遞，則Q滿足T-傳遞、T-S-半傳遞、TS-Ferrers關(guān)系.一般地，一個模糊關(guān)系滿足某一性質(zhì)與否是確定的，但有時模糊關(guān)系未必完全滿足或完全不滿足某一性質(zhì).為了反映模糊關(guān)系滿足某種性質(zhì)的程度，Belohlavek［4］給出了模糊關(guān)系自反指標(biāo)、對稱指標(biāo)、完全指標(biāo)以及各種傳遞性指標(biāo)等概念，從而開啟了關(guān)于指標(biāo)問題的研究.接著，Beg以及Mazhar［5］、Wang［6］等進一步研究了與模糊傳遞性指標(biāo)（一個模糊關(guān)系滿足傳遞的程度）有關(guān)的性質(zhì)指標(biāo)間的關(guān)系，其中有些結(jié)論是在特殊t-模下取得的.為此，本文重新定義了模糊關(guān)系的反對稱指標(biāo)，并在彭育威［7］等提出的條件C下，進一步研究了它與其它性質(zhì)指標(biāo)，尤其是與傳遞性有關(guān)的指標(biāo)間的關(guān)系，從而將Fodor和王的一些結(jié)果推廣為程度描述.

1 預(yù)備知識

首先，介紹一些模糊邏輯聯(lián)結(jié)運算的概念和性質(zhì)，詳見文獻［2，8］.

設(shè)T，S分別表示連續(xù)的t-模和t-余模；W，W′分別表示Lukasiewicz t-模與Lukasiewicz t-余模；連續(xù)的t-模和t-余?！鶷，T分別表示由T導(dǎo)出的蘊涵以及相應(yīng)的非.其中，T（x，y）=x∧y是最大的t-模，稱為Godel t-模，簡記為min.由Godel t-模導(dǎo)出的蘊涵及其對應(yīng)的非分別記為→G，G.

任給x1，x2，…，xn∈［0，1］，由t-模的結(jié)合律，可記T（x1，…，xn）=T（T（x1，…，xn-1），xn）.

引理1［2，8］任給x，y，z∈［0，1］，以下性質(zhì)成立：

引理2 任給x，y，z∈［0，1］，以下性質(zhì)成立：

證明 1）若y≤z，則T（x，y∧z）=T（x，y）=T（x，y）∧T（x，z）.若y＞z，類似可證.

2）若y≤z，則S（x，y∧z）=S（x，y）=S（x，y）∧S（x，z）.若y＞z，類似可證.

3）由（2）知，S（x，y）∧z≤S（x，y）∧S（x，z）=S（x，y∧z）.

其次，介紹模糊關(guān)系的性質(zhì)指標(biāo)以及有關(guān)它們之間聯(lián)系的一些結(jié)論.詳見文獻［6］.

定義1［6］設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，定義

文獻［6］對上述指標(biāo)進行了研究，得到下列結(jié)論.

定理1［6］設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，則下列結(jié)論成立：

1）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TS-Semi-Trans（Q）.

3）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TS-Ferrers（Q）.

定理2［6］設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，S=max，則下列結(jié)論成立：

1）T（Iref（Q），T-S-Semi-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Iref（Q），T-S-Ferrers（Q））≤T-Trans（Q）.

2 條件C下模糊關(guān)系性質(zhì)指標(biāo)間的關(guān)系

本文給出模糊關(guān)系反對稱指標(biāo)的又一種形式，并且在條件C下，進一步討論這些性質(zhì)指標(biāo)間的關(guān)系.

定義2 設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，定義Q的反對稱指標(biāo)：

Anti-Sym（Q）=∧x≠y（Q（x，y）∧Q（y，x））.

定理3 設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，則Anti-Sym（Q）=1?Q是反對稱的.

證明 由定義2知，

注1 顯然，Anti-Sym（Q）與Anti-Sym（Q）min均是模糊關(guān)系的反對稱指標(biāo)，但這兩個指標(biāo)未必相等.例如，設(shè)X=｛x，y，z｝，（x）=1-x.定義X上的模糊關(guān)系

容易驗證Anti-Sym（Q）=0.9，而Anti-Sym（Q）min=0.

事實上，它們之間具有如下關(guān)系：

定理4 設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，則Anti-Sym（Q）min≤Anti-Sym（Q）.

證明 由定義2及引理1（6）知，

彭育威等在文獻［7］中提出了條件C：T（S（x，y），z）≤S（x，T（y，z））.顯 然，（min，S），（T，max）和（W，W′）滿足上述條件.

下面在條件C下對上述模糊關(guān)系的性質(zhì)指標(biāo)進行進一步研究.

定理5 設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，且T和S滿足條件C，則下列結(jié)論成立：

1）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T-SSemi-Trans（Q）.

3）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T-SFerrers（Q）.

證明 1）只需證任給x，y，z∈X，

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）. （i）若x=y，則T（Q（x，y），Q（y，z））≤Q（y，z）=Q（x，z）.

由引理1（4）知，T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）=1.故（i）式成立.

若x≠y，則由引理1（1）知，所證即為

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤Q（x，z）. （ii）

由引理1（2），（3），（5）及條件C，得：

故（ii）式成立，從而結(jié)論成立.

2）只需證任給x，y，z，w∈X，

由引理1（4）知，T（Q（x，y），Q（y，z））→TS（Q（x，w），Q（w，z））=1.故（iii）式成立.

若y≠w，則由引理1（1）知，所證即為

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤S（Q（x，w），Q（w，z））. （iv）

由引理1（2），（3），引理2（1），（3）以及條件C得，

故（iv）式成立，從而結(jié)論成立.

3）只需證任給x，y，z，w∈X，

故（v）式成立.

若y≠w，則由引理1（1）知，所證即為

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w）））≤S（Q（x，w），Q（z，y））. （vi）

由引理1（2），（3），引理2（1），（3）及條件C，得：

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w）））=T（N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w），Anti-Sym（Q）））≤T（T（Q（x，y），Q（z，w）），（Q（x，y）→TS（Q（x，w），Q（w，y）））∧（Q（z，w）→TS（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））≤T（T（Q（x，y），Q（x，y）→TS（Q（x，w），Q（w，y）））∧T（Q（z，w），Q（z，w）→TS（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））（引理2（1））≤T（S（Q（x，w），Q（w，y））∧S（Q（z，y），Q（y，w）），Anti-Sym（Q））（引理1（2））≤T（S（Q（x，w），Q（w，y）∧S（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））（引理2（3））≤S（Q（x，w），T（Q（w，y）∧S（Q（z，y），Q（y，w）），Anti-Sym（Q）））（條件C）≤S（Q（x，w），T（S（Q（z，y），Q（w，y）∧Q（y，w）），Anti-Sym（Q）））（引理2（3））≤S（Q（x，w），S（Q（z，y），T（Q（w，y）∧Q（y，w），Anti-Sym（Q））））（條件C）≤S（Q（x，w），S（Q（z，y），T（Q（w，y）∧Q（y，w），

（Q（w，y）∧Q（y，w）））））=S（Q（x，w），S（Q（z，y），0））（引理1（3））=S（Q（x，w），Q（z，y））.

故（vi）成立，從而結(jié)論成立.

定理6 設(shè)Q是X上的模糊關(guān)系，且T和S滿足條件C，則下列結(jié)論成立：

1）T（Iref（Q），T-S-Semi-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Iref（Q），T-S-Ferrers（Q））≤TTrans（Q）.

證明 （1）只需證任給x，y，z∈X，

由引理1（2），（3）及條件C，得：

2）只需證任給x，y，z∈X，

T（Iref（Q），F(xiàn)errers（Q））≤T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）.即

T（Iref（Q），F(xiàn)errers（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤Q（x，z）.

由引理1（2），（3）及條件C，得：

注2 由于滿足條件C的（T，S）很多，（min，S）和（T，max）就是其中的兩類，因此定理5，定理6是定理1，定理2的推廣.

3 結(jié) 語

一般地，一個模糊關(guān)系應(yīng)該滿足或不滿足某種性質(zhì).但我們常常遇到模糊關(guān)系不完全滿足或不完全不滿足某種性質(zhì)的情形.模糊關(guān)系的指標(biāo)化研究的正是模糊關(guān)系滿足某種性質(zhì)的程度.文獻［6］對一些常見的模糊關(guān)系性質(zhì)指標(biāo)進行了研究，得到了它們之間關(guān)系的一些結(jié)論.其中，一些結(jié)論建立在特殊的t-模和t-余模上，不具有普遍意義.例如定理1中反對稱指標(biāo)的T為取小t-模，定理2僅當(dāng)S為取大t-余模時結(jié)論成立.本文重新定義了一個反對稱指標(biāo)，并在彭育威等提出的條件C下進一步研究了這些性質(zhì)指標(biāo)間的關(guān)系，得到了定理5與定理6.可以看出，定理1與定理2分別是定理5與定理6的推論.因而，該討論豐富和發(fā)展了模糊關(guān)系的性質(zhì)指標(biāo)理論，并將為經(jīng)濟和決策提供一定的理論依據(jù).

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