劉彩云 （長江大學(xué)一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州434025）

重磁位場勘探方法是一種成熟的勘探手段，被廣泛應(yīng)用于油氣勘探、金屬礦勘察等領(lǐng)域［1，2］。場源識(shí)別是重磁資料定量解釋的重要任務(wù)之一。近十幾年來，連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform，CWT）被成功用于位場場源識(shí)別問題（識(shí)別場源位置和場源類型）［3～7］，該方法具有計(jì)算快速、抗噪聲能力強(qiáng)，識(shí)別準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)［6］。

連續(xù)小波變換位場場源識(shí)別方法中，可選擇泊松核的任意階水平導(dǎo)數(shù)或垂直導(dǎo)數(shù)作為母小波［7］。從小波分析理論角度看，母小波的選擇對場源識(shí)別結(jié)果有很明顯的影響。為避免人為選擇母小波的主觀影響，有必要研究母小波的選擇方法，提高連續(xù)小波變換識(shí)別場源的準(zhǔn)確性。為此，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，提出一種適用于無場源規(guī)模等先驗(yàn)信息的混合小波方法。

1 連續(xù)小波變換

在位場問題中，設(shè)觀測數(shù)據(jù)用函數(shù)φ0（x）（x∈R）表示，連續(xù)小波變換定義如下［4］：

式中，a≥0是尺度因子；b∈R是位置因子；φ0（x）是被分析函數(shù)；g（x）是母小波函數(shù)；g（x）表示g（x）的復(fù)共軛；Wg｜s（b，a）是函數(shù)φ0（x）的小波變換。

Moreau等利用小波變換進(jìn)行齊次場源識(shí)別的研究工作是開創(chuàng)性的，其主要方法步驟可概括如下。對于位于x＝0，z＝z0的齊次場源，在上半空間（a＝－z＞0）中小波變換系數(shù)滿足以下雙尺度關(guān)系［3］：

式中，β＝α－k＋1，α為場源齊次階數(shù)；k為所選擇母小波的階數(shù)；式（2）左邊位置因子和尺度因子分別為x，a；式（2）右邊位置因子和尺度因子分別為x（a＇＋z0）／（a＋z0），a＇。

式（2）在（x，a）平面定義了滿足z／（z0＋a）為常數(shù)的一組直線，這些直線相交于下半空間中的點(diǎn)（0，－z0）。從幾何上看，小波變換的系數(shù)呈現(xiàn)出一組圓錐形結(jié)構(gòu)，圓錐的頂就是場源所在的位置。

由式（2）可知，連續(xù)小波變換系數(shù)的極大值線的交點(diǎn)就是場源位置（齊次場源中心點(diǎn)的水平位置和埋深），通過選取2條能量最強(qiáng)的小波系數(shù)極值線，求其交點(diǎn)，可確定場源位置。

連續(xù)小波變換識(shí)別場源的算法步驟如下：

步1 對位場觀測數(shù)據(jù)做不同尺度下的CWT，得到CWT系數(shù)矩陣；

步2 在系數(shù)矩陣中，找出極值點(diǎn)連成的極值線（可能為多條）；

步4 根據(jù)構(gòu)成一條極值線的多個(gè)極值點(diǎn)，用一次多項(xiàng)式擬合出極值線的直線方程Wa，b＝kb＋a，其中，k為擬合出的直線斜率；

步5 求上述2條極值直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是場源的水平位置、場源深度。

2 混合小波方法

連續(xù)小波變換位場場源識(shí)別方法中，選擇泊松核的導(dǎo)數(shù)作為母小波稱為泊松小波［3］。

泊松核p（x）的定義如下：

式中，x是空間位置向量；n是觀測數(shù)據(jù)維數(shù)。

在頻率域，尺度為a的k階水平泊松小波gku（u，a）、k階垂直泊松小波gkz（u，a）分別定義如下［7］：

式中，u是X 方向的波數(shù)；P（u，z）是尺度為z的P（x，z）的頻率域表達(dá)式。

為方便描述，以下稱泊松核的k階水平導(dǎo)數(shù)稱為Hk母小波，k階垂直導(dǎo)數(shù)稱為Vk母小波。由小波分析理論可知，不同的母小波，其中心頻率不同，對不同頻率的信號(hào)識(shí)別能力也不同。泊松小波從H1到H5，中心頻率逐步增大；從V1到V5，中心頻率也是逐步增大。選用不同的母小波，會(huì)導(dǎo)致場源識(shí)別結(jié)果偏大或者偏小。如果能事先知道場源的規(guī)模，正確的選擇母小波，則能夠得到最佳的場源識(shí)別結(jié)果。

實(shí)際上，事先并不知道場源的規(guī)模，也就無法根據(jù)場源規(guī)模選擇合適的母小波。為此，筆者分別采用多種母小波進(jìn)行場源識(shí)別，然后計(jì)算出場源識(shí)別結(jié)果的均值和方差，以均值作為最終場源識(shí)別結(jié)果，以方差描述最終場源識(shí)別結(jié)果的可信度。這種綜合采用多種母小波進(jìn)行場源識(shí)別的方法筆者稱之為混合小波方法（Hybrid Wavelete Method，HWM）。

3 數(shù)值試驗(yàn)

筆者設(shè)計(jì)如下組合模型，分析不同母小波對場源識(shí)別結(jié)果的影響。理論模型為2個(gè)不同截面大小，不同埋深的水平無限延伸的水平圓柱體。圓柱體1截面半徑60m，埋深110m，水平位置＝1000m，圓柱體2截面半徑10m，埋深50m，水平位置1400m。2個(gè)圓柱體的有效磁化強(qiáng)度1A／m，有效磁化強(qiáng)度傾角90°，地磁場傾角90°，有效傾角90°。

3.1 無噪聲數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果

分別采用H1～H5、V1～V5作為母小波，尺度因子選擇為5～80，連續(xù)小波變換識(shí)別場源結(jié)果如圖1所示，其中，圖1（a）為理論模型的磁異常，圖1（b）為連續(xù)小波變換識(shí)別場源結(jié)果。場源識(shí)別結(jié)果整理如表1所示。

從表1可以看出，由疊加的磁異常做場源識(shí)別時(shí)，對于大圓柱體場源（大尺度區(qū)域異常），無論采用何種母小波，均能夠準(zhǔn)確的識(shí)別出場源的水平位置和垂直埋深；對于小圓柱體場源（小尺度局部異常），采用不同的母小波，能準(zhǔn)確識(shí)別小圓柱體場源的水平位置（相對誤差δ≤0.36%），但場源埋深的識(shí)別結(jié)果差異較大（相對誤差7.98%≤δ≤53.26%）。通過分析可知，小尺度局部異常受大尺度區(qū)域異常干擾，使其小波系數(shù)的極值線的斜率發(fā)生變化，導(dǎo)致深度識(shí)別產(chǎn)生較大誤差。而當(dāng)2條小波系數(shù)極值線的斜率同時(shí)變換時(shí)（例如同時(shí)變?。?，雖然場源深度識(shí)別結(jié)果會(huì)變小，但仍然能夠正確識(shí)別出水平位置。

圖1 連續(xù)小波變換識(shí)別疊加復(fù)雜磁異常的場源

表1 理論模型無噪聲觀測數(shù)據(jù)采用不同母小波場源識(shí)別結(jié)果

采用HWM方法進(jìn)行場源識(shí)別，結(jié)果如表2所示。對于大尺度區(qū)域異常（大圓柱體），水平位置識(shí)別相對誤差為δ≤0.005%，埋深識(shí)別相對誤差δ≤0.02%；對于小尺度局部異常（小圓柱體），水平位置識(shí)別相對誤差δ≤0.05%，埋深識(shí)別相對誤差δ≤8.45%，明顯好于采用單一小波的場源識(shí)別結(jié)果。

表2 理論模型無噪聲觀測數(shù)據(jù)采用HWM方法場源識(shí)別結(jié)果

3.2 含噪聲數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果

同樣采用上述理論模型，在觀測數(shù)據(jù)中疊加10%的隨機(jī)噪聲，采用H1～H5、V1～V5母小波的場源識(shí)別試驗(yàn)結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，疊加10%隨機(jī)噪聲后，采用H1～H5、V1～V5母小波進(jìn)行場源識(shí)別時(shí)，大圓柱體的水平位置識(shí)別相對誤差δ≤0.37%，埋深識(shí)別相對誤差δ≤20.6% ；小圓柱體水平位置識(shí)別相對誤差δ≤0.91%，埋深識(shí)別相對誤差δ≤45.5%。說明即使在有噪聲情況下，不論采用何種母小波，均能夠準(zhǔn)確的識(shí)別出不同尺度、不同埋深的場源的水平位置；而選擇不同的母小波，對于大尺度區(qū)域異常場源埋深識(shí)別結(jié)果影響不大，但對于小尺度局部異常場源埋深識(shí)別結(jié)果影響巨大。

采用筆者提出的混合小波方法（HWM）進(jìn)行場源識(shí)別，試驗(yàn)結(jié)果如表4所示。通過表4可以看出，對疊加噪聲后的觀測數(shù)據(jù)，采用HWM方法進(jìn)行場源識(shí)別，識(shí)別大圓柱體水平位置的相對誤差為0.05%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.931，識(shí)別埋深結(jié)果相對誤差為5.448%，標(biāo)準(zhǔn)差為9.027；識(shí)別小圓柱體水平位置的相對誤差為0.098%，標(biāo)準(zhǔn)差為6.157，埋深識(shí)別結(jié)果相對誤差為5.890%，標(biāo)準(zhǔn)差為12.811。表明疊加噪聲后，HWM方法仍然能夠較準(zhǔn)確的估計(jì)出不同大小、埋深的異常體的水平位置和垂直埋深。比較無噪聲數(shù)據(jù)識(shí)別結(jié)果（見表2）與10%噪聲數(shù)據(jù)識(shí)別結(jié)果（見表4）可以看出，兩者識(shí)別結(jié)果的相對誤差、標(biāo)準(zhǔn)差均相差不大，說明HWM方法具有很強(qiáng)的抗噪聲能力。

表3 理論模型觀測數(shù)據(jù)疊加10%隨機(jī)噪聲后采用不同母小波場源識(shí)別結(jié)果

表4 理論模型疊加10%隨機(jī)噪聲觀測數(shù)據(jù)采用HWM方法場源識(shí)別結(jié)果

4 結(jié)論

選用不同的母小波開展連續(xù)小波變換場源識(shí)別結(jié)果工作，研究不同母小波對識(shí)別結(jié)果的影響，得到如下結(jié)論：

1）對于不同埋深、不同尺度場源疊加的磁異常，小波變換場源識(shí)別方法能準(zhǔn)確識(shí)別大尺度區(qū)域異常的場源水平位置、場源深度和小尺度局部異常的水平位置，但不能準(zhǔn)確識(shí)別小尺度局部異常的場源深度。

2）選擇不同的母小波會(huì)導(dǎo)致場源識(shí)別結(jié)果偏小或者偏大，混合小波方法能抵消這些影響，克服人為選擇不同母小波對場源識(shí)別結(jié)果的影響，有效提高場源識(shí)別的準(zhǔn)確度和可靠性。

3）混合小波方法對疊加噪聲數(shù)據(jù)的識(shí)別結(jié)果仍然能達(dá)到較高的準(zhǔn)確度，具有很強(qiáng)的抗噪聲能力。

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