劉振 蘇曉龍 劉天鵬 彭 勃 陳 鑫 劉永祥

(國防科技大學電子科學學院 長沙 410073)

1 引言

混合源定位在無源雷達中具有廣泛的應用前景[1,2]。按照空間中的輻射源與陣列之間的相對距離，可以將輻射源分為遠場源和近場源。對遠場源定位，需要對波達方向(Direction Of Arrival,DOA)進行估計；對近場源定位，除了對波達方向進行估計，還需要對距離參數進行估計。陣列的近場區(qū)域小于2D2/λ，其中D為圓陣孔徑，λ為波長[3,4]。雖然遠場源可以視為距離為無窮遠的近場源，但是當遠場源的二維DOA與近場源二維DOA相同時，如果采用近場和遠場參數聯合估計將無法對混合源進行識別。此外，由于遠場源定位場景和近場源定位場景可以看作混合源定位場景特殊模式，因此混合源定位方法同樣適用于輻射源全部為遠場源定位場景或者輻射源全部為近場源定位場景。

不同于單獨對遠場源進行定位的方法和單獨對近場源進行定位的方法，對混合源進行定位還需要對近場源和遠場源進行分類和識別。文獻[5]首先利用距離為無窮遠時的近場源導向矢量和混合源的噪聲子空間，通過一維多重信號分類(One Dimensional MUltiple SIgnal Classification,1-D MUSIC)方法估計出遠場源DOA，接著利用對稱陣元的2階統計量去除近場源的距離參數，估計出混合源DOA并通過斜投影算法對混合源進行分類，最后將近場源DOA代入后導向矢量和混合源噪聲子空間，通過1-D MUSIC方法對近場源距離進行估計。文獻[6]提出了基于子空間的混合源定位算法，該算法利用線性變換估計出遠場源的DOA，通過正交三角分解(QR分解)得到斜投影算子避免了特征值分解，大大減少了計算復雜度，利用1-D MUSIC方法確定近場源DOA，最后將近場源DOA代入導向矢量，確定近場源的距離參數。該方法有效解決了在快拍數有限時出現飽和的情況。文獻[7]利用兩級對稱嵌套線陣，利用距離為無窮遠的近場源導向矢量和混合源的噪聲子空間，通過1-D MUSIC方法估計出遠場源DOA，接著利用斜投影方法去除混合源接收信號中的遠場分量，計算近場源在對稱陣元下的4階累積量并進行向量化處理，估計出近場源DOA，最后利用代入近場源DOA的導向矢量和混合源噪聲子空間，確定近場源的距離參數。該方法能夠在陣元數相同的情況下增大陣列孔徑，提高混合源參數估計精度。上述3種方法在得到遠場源的波達方向的基礎上，利用斜投影算法將遠場源和近場源進行分離，但是在遠場源參數估計的基礎上利用斜投影算法得到的近場源分量會受到噪聲分量的影響，引起近場源參數估計誤差，導致定位精度下降。文獻[8]利用協方差矩陣差分方法消除混合源中遠場源和噪聲分量，得到近場源差分矩陣，該方法能夠有效避免噪聲分量對近場源定位精度的影響，文獻[9]采用降秩的方法從混合源中分離出遠場源分量，文獻[10]設計了3個4階累積量矩陣消除近場源導向矢量中距離參數，進而同時估計出遠場源和近場源的波達方向。但是上述方法采用線陣對混合源進行定位只能估計出一維波達方向，并且線陣在0°波達方向的分辨率最高，在60°波達方向的分辨率會降低1/2。

相較于均勻線陣只能對一維波達方向進行估計，均勻圓陣可以實現方位角和俯仰角等二維波達方向估計[11–13]，并且在不同方位角的分辨率具有各向同性[14,15]。在現有文獻中，由于均勻圓陣的導向矩陣不具有均勻線陣導向矩陣的Vandermonde形式，不便于在數學上進行處理，因此提出的方法相對較少。均勻圓陣下對混合源進行定位需要針對相應的數學模型進行分析，文獻[16]采用均勻圓陣，提出了TSMUSIC方法，該方法利用均勻圓陣下的遠場源的協方差矩陣具有Hermitian和Toeplitz形式，而近場源的協方差矩陣只具有Hermitian形式，利用傳播算子的正交性得到近場源的噪聲子空間，進而通過2-D MUSIC方法得到近場源二維DOA的空間譜，進而根據譜峰確定近場源二維DOA；接著，利用將近場源二維DOA代入后的導向矢量和混合源的噪聲子空間，通過1-D MUSIC方法確定近場源的距離；最后，利用遠場源的導向矢量和混合源的噪聲子空間確定遠場源的二維DOA。該方法參數估計精度較高，但是計算復雜度較大。文獻[17]采用均勻圓陣，利用每個陣元的頻譜計算非相干的混合源在每個陣元的相位，利用均勻圓陣中心對稱的特點，通過計算對角陣元的相位差來去除近場源的距離參數，得到混合源二維DOA的相位差矩陣，進而運用最小二乘法同時估計出遠場源和近場源的方位角與俯仰角；接著，根據1-D MUSIC方法得到距離空間譜的收斂性，對混合源進行識別并估計出近場源的距離參數，當距離空間譜出現峰值，該混合源判斷為近場源，峰值所對應的位置即為近場源的距離；若距離空間譜不收斂，則該混合源判斷為遠場源?；谙辔徊畹姆椒軌蛴行p少計算復雜度，但是混合源的定位精度有所降低。

針對上述方法存在的問題，本文根據均勻圓陣中心對稱的特點，提出一種基于協方差矩陣差分的混合源定位方法，該方法首先利用二維多重信號分類方法估計出遠場源的方位角和俯仰角；接著利用協方差矩陣差分方法提取出近場源差分矩陣，通過改進類旋轉不變估計信號參數(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques like,ESPRIT-like)方法計算出近場源的方位角和俯仰角；最后，利用一維多重信號分類方法估計出近場源的距離。該方法能夠消除混合源協方差矩陣中的遠場源的噪聲分量，從而提取出近場源差分矩陣，并且相較于基于相位差的方法，本文提出的方法能夠提高混合源的定位精度。當遠場源的二維DOA與近場源二維DOA相同時，如果采用近場和遠場參數聯合估計將無法對混合源進行識別，采用本文所提的兩步法可以將遠場源和近場源進行有效分離，在混合源識別上更具優(yōu)勢。

2 混合源模型

均勻圓陣下的混合源模型如圖1所示，以均勻圓陣的圓心為原點建立三維坐標系，均勻圓陣的半徑為R，由分布在xy平面上的M個陣元組成，混合源包含K1個遠場源和K2個近場源，方位角參數?為混合源與均勻圓陣中心的連線投影到xy平面上，相對于x坐標軸的逆時針方向旋轉的角度；俯仰角參數θ為混合源與均勻圓陣中心的連線相對于z坐標軸旋轉的角度；當混合源為近場源時，距離參數r為近場源與均勻圓陣中心的距離。

圖1 混合源模型Fig.1 The geometric model of mixed sources

均勻圓陣的第m個陣元在第n個快拍的接收數據可以表示為

其中，sk(n)表示第k個混合源發(fā)射數據，wm(n)表示零均值復白高斯過程，τk,m表示第k個混合源到達陣列中心以及到達第m個陣元的時差，當混合源為遠場源時，時差可以表示為

其中，k=1,2,···,K1，λ表示波長，2π/λ表示波數，ζk,m=cos(φm ??k)sinθk,φm=2π(m ?1)/M，當混合源為近場源時，時差可以表示為

其中，k=K1+1,K1+2,···,K1+K2,rk,m表示第k個近場源與第m個陣元的距離，rk,m通過2階泰勒級數[11]可以展開為

將式(2)和式(4)代入式(1)，混合源模型可以簡化為

3 算法描述

在均勻圓陣下的近場和遠場混合源數學模型的基礎上，本節(jié)首先利用2-D MUSIC方法估計出遠場源的方位角和俯仰角，實現遠場源定位；接著利用協方差矩陣差分方法提取出近場源差分矩陣，進而通過改進的類旋轉不變估計信號參數方法計算出近場源的方位角和俯仰角；最后利用1-D MUSIC方法估計出近場源的距離，實現近場源定位。

3.1 遠場源二維DOA參數估計

均勻圓陣下混合源的協方差矩陣E可以由式(6)計算

其中，X=[x(1)x(2)··· x(N)]表示M ×N維的混合源接收數據，x(n)=[x1(n)x2(n)··· xM(n)]T表示第n個快拍接收數據，(·)H表示共軛轉置，N為混合源的快拍數，(·)T表示轉置運算。

對混合源的協方差矩陣E進行特征值分解得到

利用3-D MUSIC方法得到混合源的空間譜函數

其中，aNF(?,θ,∞)=[aNF,1(?,θ,∞)aNF,2(?,θ,∞)···aNF,M(?,θ,∞)]T表示距離為無窮遠情況下的近場源導向矢量，即遠場源導向矢量，此時aNF,m(?,θ,∞)=ej(2πR/λ)ζm(?,θ),m=1,2,···,M。只包含方位角和俯仰角等二維DOA。對遠場源方位角和俯仰角的空間譜函數VFF(?,θ)進行譜峰搜索，峰值所對應的位置即為遠場源的方位角估計值和俯仰角估計值，則第k個遠場源的定位結果為k=1,2,···,K1。

3.2 混合源協方差矩陣差分

混合源協方差矩陣E可以表示為

由于均勻圓陣具有中心對稱的結構，滿足φm+M/2=φm+π和ζm+M/2=?ζm，因此，遠場源的導向矢量可以表示為

同理，ANF表示近場源的導向矩陣為

其中，近場源的導向矢量可以表示為

由于遠場源的導向矢量中第m個元素和第m+M/2個元素具有共軛的結構，因此遠場源的協方差矩陣EFF可以表示為

其中，旋轉變換矩陣J可以表示為

OM/2和IM/2分別為M/2×M/2維的零矩陣和單位矩陣。

由式(10)和式(15)可以推導近場源差分矩陣為

其中，近場源差分矩陣的導向矩陣可以表示為

其中，第k個導向矢量可以表示為

第k+K2個導向矢量可以表示為

由于ANF,diff的第k列的指數項第1部分與第k+K1列的指數項第1部分相同，各列中第m個元素的指數項第2部分與第m+M/2個元素的指數項第2部分相同，因此可以得到

其中，D(?k,θk)表示為

D(?k,θk)只包含近場源的二維DOA參數，因此可以利用D(?k,θk)將近場源三維位置參數估計分解為二維DOA估計和距離參數估計，能夠有效降低計算復雜度。

3.3 近場源二維DOA參數估計

對僅包含近場源差分矩陣ENF,diff進行特征值分解

存在一個滿秩矩陣G使得

由式(22)和式(19)可以得到

其中，

當D(?k,θk)=Ψ(?,θ)時，JUNF,diff,s?Ψ(?,θ)UNF,diff,s=0。因此，可以通過改進的ESPRITlike方法[15]得到近場源二維DOA的空間譜函數

其中，det(·)表示行列式的值，Q為M ×2K2維隨機滿秩矩陣，J為3.2節(jié)確定的M ×M維旋轉變換矩陣，對角矩陣Ψ(?,θ)為

diag(·)表示將向量轉化為對角矩陣運算。對近場源方位角和俯仰角的空間譜函數VNF(?,θ)進行譜峰搜索，峰值所對應的位置即為近場源的方位角估計值和俯仰角估計值,k=1,2,···,K2。

3.4 近場源距離參數估計

在估計出近場源的方位角和俯仰角的基礎上，通過1-D MUSIC方法得到第k個近場源的距離空間譜函數

4 算法分析

4.1 計算復雜度分析

對于均勻圓陣下的近場源定位，傳統的3-D MUSIC方法通過三維譜峰搜索估計出近場源方位角、俯仰角和距離，本文首先通過改進的ESPRITlike方法得到近場源的二維DOA空間譜，利用二維譜峰搜索估計出近場源的方位角和俯仰角，進而利用1-D MUSIC方法得到近場源的距離空間譜，利用一維譜峰搜索估計出近場源的距離。本文提出的方法需要M2N次乘法和M2(N ?1)次加法計算混合源協方差矩陣，需要2M2N次乘法和M2次減法計算近場源差分矩陣，需要O(M2)量級的計算復雜度分別對混合源協方差矩陣以及近場源差分矩陣進行特征值分解，需要O(M2)量級的計算復雜度得到遠場源二維DOA 空間譜，需要次乘法、次加法和次減法得到近場源二維DOA空間譜，需要O(M)量級的計算復雜度得到近場源距離空間譜。

4.2 混合源能量差異敏感性分析

由于本文所提的兩步法通過協方差矩陣差分去除混合源的遠場源和噪聲分量，進而提取出近場源差分矩陣，因此對近場源進行估計時不受遠場源和噪聲能量的影響。本文第1步在對遠場源進行估計時，當遠場源的能量遠遠小于近場源的能量，此時通過第1步的方法對遠場源進行定位的性能急劇惡化。為了解決兩個源能量差異敏感的問題，可以首先對噪聲能量進行估計，去除混合源協方差矩陣中的噪聲分量；利用第2步的近場源估計結果，通過斜投影算法去除無噪混合源協方差矩陣中近場源分量，進而得到遠場源分量。具體步驟如下：

混合源的協方差矩陣可以分解為

噪聲的能量可以通過式(33)計算

并可以通過式(36)計算

進而遠場源的協方差矩陣可以通過式(38)計算

此時，可以減少兩個源的能量差異對遠場源二維DOA估計的影響。

4.3 算法總結

基于協方差矩陣差分的混合源定位方法流程圖如圖2所示，對于遠場源定位，本文利用均勻圓陣下的混合源接收數據得到混合源協方差矩陣，利用遠場源導向矢量以及經過特征值分解得到的混合源噪聲子空間，通過2-D MUSIC方法估計出遠場源的方位角和俯仰角；對于近場源定位，本文利用混合源協方差矩陣和旋轉矩陣得到近場源差分矩陣，利用隨機滿秩矩陣、對角矩陣以及經過特征值分解的近場源信號子空間，通過改進的ESPRIT-like方法計算出近場源的方位角和俯仰角，利用近場源的導向矢量和混合源的噪聲子空間，通過1-D MUSIC方法估計出近場源的距離。本文根據均勻圓陣下的遠場源在中心對稱陣元的導向參數具有共軛性質，利用協方差矩陣差分方法去除混合源的遠場源分量，得到近場源差分矩陣。由于協方差矩陣差分方法沒有利用第1步的遠場源二維DOA參數估計結果，因此，第2步近場源參數估計性能與遠場源DOA估計性能無關。或者說，第1步和第2步的順序也可以進行互換，可以先通過混合源協方差矩陣差分方法得到近場源差分矩陣，估計出近場源位置參數，再利用2-D MUSIC方法估計遠場源DOA參數。另外，在多個混合源能量相同的場景下，由于第1步利用遠場源導向矢量與噪聲子空間的正交性，因此不會將近場源判斷為遠場源。當近場源的距離臨近2D2/λ，由于噪聲和模型誤差的影響，第1步可能會將近場源的方向判斷為遠場源。當遠場源的二維DOA與近場源二維DOA相同時，如果采用近場和遠場參數聯合估計將無法對混合源進行識別，采用本文所提的兩步法可以將遠場源和近場源進行有效分離，在混合源識別上更具優(yōu)勢。

圖2 基于協方差矩陣差分的混合源定位方法流程圖Fig.2 Flow chart of the mixed source localization based on the covariance differencing method

5 仿真實驗

本節(jié)通過MATLAB仿真驗證提出方法對混合源的定位效果，仿真中均勻圓陣的陣元個數為8，半徑為0.5m，以均勻圓陣的中心為原點建立三維坐標系，混合源包含一個遠場源和一個近場源，遠場源的位置為(50°,30°,∞)，近場源的位置為(55°,35°,10m)。

5.1 混合源定位有效性

這一小節(jié)用于驗證本文提出方法得到的空間譜對遠場和近場混合源的定位效果，在信噪比為20dB，快拍數為600時，圖3為通過本文提出方法得到的混合源定位的空間譜，圖3(a)為通過2-D MUSIC方法得到的遠場源二維DOA空間譜，方位角估計范圍為0.1°～360°，間隔為0.1°，俯仰角估計范圍為0°～90°，間隔0.1°，可以看出二維空間譜中出現的一個峰值對應的位置為(50.0°,30.2°)，即為遠場源方位角和俯仰角估計。圖3(b)為通過改進的ESPRIT-like方法得到的近場源二維DOA空間譜，同樣地，方位角估計范圍為0.1°～360°，間隔為0.1°，俯仰角估計范圍為0°～90°，間隔0.1°，可以看出二維空間譜中出現的一個峰值對應的位置為(55.0°,35.1°)，即為近場源方位角和俯仰角估計。圖3(c)為通過1-D MUSIC方法得到的近場源一維距離空間譜，近場源距離估計范圍為0.1～30.0m，間隔為0.1m，圖中紅色的線表示近場源真實距離，可以看出距離空間譜中出現的一個峰值對應的位置為9.9m，即為近場源距離估計。綜上可知，本文所提協方差矩陣差分方法能夠從混合源中提取出近場源分量，并通過改進的ESPRIT-like方法近場源三維位置參數中分離出二維DOA，最終實現混合源的有效定位。

圖3 混合源空間譜Fig.3 Spatial spectrum of mixed sources

5.2 不同信噪比下混合源定位精度

本節(jié)驗證所提方法在不同信噪比下對混合源的定位性能，并與TSMUSIC方法[16]、相位差方法[17]以及克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)進行對比，其中TSMUSIC方法是利用2-D MUSIC方法分別估計出遠場源和近場源的二維DOA，利用1-D MUSIC方法分別估計出近場源的距離；相位差方法是利用均勻圓陣下對角陣元的相位差，通過最小二乘法同時估計出遠場源和近場源的二維DOA，根據1-D MUSIC方法對混合源進行識別并估計出近場源的距離參數；CRLB是參數任意無偏估計量的下限。在仿真中利用均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)對算法的性能進行分析，RMSE可由式(39)計算

其中，L表示獨立重復仿真次數，表示第l次的混合源參數估計結果，l=1,2,···,L,β表示混合源的真實位置參數。當快拍數為600時，圖4(a)—圖4(e)分別為通過600次獨立重復仿真得到在不同信噪比下的遠場源方位角RMSE、遠場源俯仰角RMSE、近場源方位角RMSE、近場源俯仰角RMSE以及近場源距離RMSE，從圖4可以看出混合源的RMSE隨著信噪比的增大而降低，表明混合源參數估計精度不斷提高。另外，還可以看出本文所提基于協方差矩陣差分方法的混合源定位精度比基于相位差方法的定位精度高。由于本文方法與TSMUSIC方法都采用2-D MUSIC方法對遠場源進行定位，因此兩種方法的遠場源定位精度相當，本文所提改進ESPRIT-like方法對近場源二維DOA參數估計精度略低于TSMUSIC方法參數估計精度。此外，由于近場源距離估計是在近場源二維DOA估計基礎上進行的，相較于近場源二維DOA估計誤差，近場源距離估計誤差相對較大，從圖4中也可以看出，在信噪比為20dB時，近場源的二維DOA估計誤差接近0.01°，而近場源的距離誤差接近于0.1m。

圖4 不同信噪比下混合源RMSEFig.4 RMSE of mixed sources versus SNR

5.3 不同快拍數下混合源定位精度

本節(jié)進一步驗證在不同快拍數下混合源的定位性能，本文所提方法同樣與TSMUSIC方法、相位差方法以及克拉美羅界進行了對比。當信噪比為20dB時，圖5(a)—圖5(e)分別為通過600次獨立重復仿真得到在不同快拍數下的遠場源方位角RMSE、遠場源俯仰角RMSE、近場源方位角RMSE、近場源俯仰角RMSE以及近場源距離RMSE，從圖5中可以看出混合源RMSE隨著快拍數的增大而降低，表明混合源參數估計精度逐漸提高。另外，從圖中可以看出當快拍數小于600時，混合源RMSE快速下降，當快拍數超過600時，混合源RMSE逐漸平緩。此外，從圖5可以看出本文提出方法的混合源定位精度比基于相位差方法的定位精度高，對于遠場源參數估計精度，本文提出的方法與TSMUSIC方法相當，對于近場源參數估計精度，本文提出的方法略低于TSMUSIC方法。

5.4 混合源能量差異性對比

由于本文所提的兩步法通過協方差矩陣差分去除混合源的遠場源和噪聲分量，進而提取出近場源差分矩陣，因此對近場源進行估計時不受遠場源和噪聲能量的影響。圖6(a)—圖6(c)給出了當近場源和遠場源能量比(Near-field and Far-field source Power Ratio,NFPR)分別為1.0,0.2和0.1時的近場源空間譜，可以看出近場源空間譜出現一個峰值，峰值所對應的位置即為近場源二維DOA。仿真結果表明，通過本文提出的算法對近場源進行估計時不受遠場源和噪聲能量的影響。

依據待檢樣品標簽聲稱的乳酸菌類別和含量，估算待檢樣品中是否含有雙歧桿菌和乳桿菌及其數量，選擇（2～3）個合適的連續(xù)稀釋度，每個稀釋度吸取1 mL樣品稀釋液置于無菌培養(yǎng)皿內，每個稀釋度做兩個平行。同時分別吸取1 mL空白稀釋液加入兩個無菌平皿內作空白對照。然后注入約15mL冷卻至（48±1）℃的MRS培養(yǎng)基，轉動培養(yǎng)皿使之混合均勻。待培養(yǎng)基凝固后置于（36±1）℃培養(yǎng)箱中厭氧培養(yǎng)（72±2）h，培養(yǎng)后計數與計算。

為了解決遠場源對能量差異敏感的問題，通過對信噪比和近場源進行估計，去除混合源協方差矩陣中的噪聲分量和近場源分量，得到式(38)遠場源協方差矩陣，進而估計遠場源二維DOA。圖7(a)—圖7(c)給出了當近場源和遠場源能量比分別為1,5和10時的近場源空間譜，可以看出遠場源空間譜出現了一個峰值，峰值所對應的位置即為遠場源二維DOA。仿真結果表明，通過本文提出的算法對近場源進行估計時不受遠場源和噪聲能量的影響。仿真結果表明，所提算法能夠有效地解決遠場源能量差異敏感的問題。

6 結論

本文所提均勻圓陣下利用混合源協方差矩陣差分的方法能夠消除混合源中的近場源和噪聲分量，提取出近場源差分矩陣，實現遠場源和近場源的有效分離，利用2-D MUSIC方法估計出遠場源的方位角和俯仰角，通過改進的ESPRIT-like方法提取并估計出近場源的方位角和俯仰角，運用1-D MUSIC方法估計出近場源的距離參數。仿真結果表明，相較于基于相位差的混合源定位算法，本文所提方法能夠提高混合源的定位精度。由于協方差矩陣差分方法沒有利用第1步的遠場源二維DOA參數估計結果，因此，第2步近場源參數估計性能與遠場源DOA估計性能無關?；蛘哒f，第1步和第2步的順序也可以進行互換，可以先通過混合源協方差矩陣差分方法得到近場源差分矩陣，估計出近場源位置參數，再利用2-D MUSIC方法估計遠場源DOA參數。另外，在多個混合源能量相同的場景下，由于第1步利用遠場源導向矢量與噪聲子空間的正交性，因此不會將近場源判斷為遠場源。當近場源的距離臨近2D2/λ，由于噪聲和模型誤差的影響，第1步可能會將近場源的方向判斷為遠場源。當遠場源的二維DOA與近場源二維DOA相同時，如果采用近場和遠場參數聯合估計將無法對混合源進行識別，采用本文所提的兩步法可以將遠場源和近場源進行有效分離，在混合源識別上更具優(yōu)勢。