蘇曉龍 戶盼鶴 劉天鵬 彭勃 程耘 劉振

（國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410073）

1 引言

輻射源定位在無源雷達(dá)中發(fā)揮著越來越重要的作用［1-2］，在無源雷達(dá)探測中［3-4］，空間中輻射源按照與接收陣列的距離可以將分為遠(yuǎn)場源和近場源［5］，遠(yuǎn)場源的位置需要由波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）進(jìn)行描述，而近場源的位置需要由DOA 和距離參數(shù)進(jìn)行描述［6］。隨著陣列參數(shù)估計(jì)技術(shù)的發(fā)展，嵌套陣列受到了越來越多的關(guān)注。嵌套陣列是一種非均勻陣列［7-8］，文獻(xiàn)［9］采用嵌套對稱陣列實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)場和近場混合源進(jìn)行定位，相比于均勻線陣，該方法在陣元個(gè)數(shù)相同的情況下增大了陣列孔徑，能夠提高混合源的參數(shù)估計(jì)精度［10］，但是該方法需要計(jì)算四階累積量，運(yùn)算量較大。文獻(xiàn)［11］在嵌套對稱陣列下利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)近場源定位，相較于傳統(tǒng)的模型驅(qū)動類方法，該方法不需要對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，能夠減少計(jì)算復(fù)雜度，但是該方法為“黑箱模型”，網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)不具備可解釋性，導(dǎo)致泛化能力較差。

近年來，由于深度展開網(wǎng)絡(luò)同時(shí)具有模型驅(qū)動類方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動類方法的優(yōu)勢，因此受到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注［12-13］。深度展開網(wǎng)絡(luò)是將迭代壓縮感知算法的迭代步驟級聯(lián)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層，并利用深度學(xué)習(xí)的方法對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練［14-15］。相比于傳統(tǒng)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，深度展開網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)具備可解釋性，網(wǎng)絡(luò)的泛化能力得到提升［16］。文獻(xiàn)［17］將迭代收縮閾值算法（Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm，ISTA）展開為網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)形式，實(shí)現(xiàn)對遠(yuǎn)場源DOA 估計(jì)。相較于傳統(tǒng)的基于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)驅(qū)動類方法，該方法的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)具備可解釋性，使得泛化能力得到提高［18-19］，但該方法不能實(shí)現(xiàn)近場和遠(yuǎn)場混合源識別和定位。

針對上述問題，本文提出了一種基于深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的混合源定位方法，該方法通過混合源協(xié)方差矩陣差分方法和子空間差分方法分別得到近場源差分向量和遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，并通過深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)輸出的空間譜對混合源的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2 混合源數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示，對空間中的近場（Near-Field，NF）源進(jìn)行定位需要對波達(dá)方向θNF和距離rNF進(jìn)行估計(jì)，對空間中的遠(yuǎn)場（Far-Field，F(xiàn)F）源進(jìn)行定位需要對波達(dá)方向θFF進(jìn)行估計(jì)。嵌套對稱陣列包括M個(gè)陣元，實(shí)心點(diǎn)表示第1 級子陣，陣元間距為d，包含M/2個(gè)陣元，其陣元位置為：

圖1 嵌套對稱陣列下近場和遠(yuǎn)場混合源定位示意圖Fig.1 Geometry of nested array with mixed near-field and farfield sources

空心點(diǎn)表示第2級子陣，陣元間距為（M/2+1）d，包含M/2個(gè)陣元，其陣元位置為：

第m個(gè)陣元在第n個(gè)快拍的接收信號為：

其中m=1，2，…，M，n=1，2，…，N，M表示陣元數(shù)，N表示快拍數(shù)，sk(n)表示第k個(gè)混合源發(fā)射信號，wm(n)高斯白噪聲，φk，m表示第k個(gè)混合源在m個(gè)陣元相對于第1 個(gè)陣元的時(shí)延。對于近場源，φk，m表示為：

其中k=1，2，…，K1，K1表示近場源的個(gè)數(shù)，rk，m表示第k個(gè)近場源與第m個(gè)陣元的距離，rk表示第k個(gè)近場源的距離，λ表示載波的波長。將rk，m在d/rk進(jìn)行二階泰勒展開，近場源的接收信號可以近似表示為：

其中ηk=-2π sinθk/λ，?k=π cos2θk/λrk。對于遠(yuǎn)場源，φk，m表示為：

其中k=1，2，…，K2，K2表示遠(yuǎn)場源的個(gè)數(shù)，遠(yuǎn)場源的接收信號表示為：

將式（5）和式（7）代入（3），混合源接收信號為：

3 近場源定位方法

由于近場源協(xié)方差矩陣符合Hermitian 矩陣形式，遠(yuǎn)場源協(xié)方差矩陣符合Hermitian 和Toeplitz 矩陣形式，本節(jié)將混合源協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分得到近場源差分向量，利用近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)得到近場源空間譜，通過空間譜的峰值可以實(shí)現(xiàn)近場源的DOA和距離估計(jì)。

3.1 近場源差分向量

嵌套陣列下近場和遠(yuǎn)場混合源接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為：

其中(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算，J表示反對角單位矩陣。由式（9）和式（12），近場源差分矩陣可以表示為：

由于近場源協(xié)方差矩陣具有以下性質(zhì)：

因此，差分矩陣中只包含近場源信息，式（13）可以表示為：

將近場源差分矩陣向量化，得到近場源差分向量：

k=1，2，…，K1，⊙表示Khatri-Rao 積，?表示Kronecker 積?？梢钥闯?，嵌套陣列經(jīng)過Kronecker 積可以形成虛擬陣元，形成更大的陣列孔徑，進(jìn)而可以提高參數(shù)估計(jì)精度。

此外，差分向量ydiff的過完備形式可以表示為：

其中分塊冗余字典Φdiff可以表示為：

第p塊可以表示為：

zdiff表示PQ維向量，當(dāng)(θp，rq)對應(yīng)近 場源位 置(θk，rk)時(shí)，zdiff的第（p-1）×Q+q個(gè)元素為1，其余元素為0。將差分向量的實(shí)部和虛部重構(gòu)為：

其中?(·)表示取實(shí)部運(yùn)算，?(·)表示取虛部運(yùn)算，由于zdiff的元素為實(shí)數(shù)，因此上式可以表示為：

3.2 近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)

近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖2 所示，網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)為L，該網(wǎng)絡(luò)是將ISTA 算法的迭代步驟級聯(lián)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層，其中網(wǎng)絡(luò)的初始化參數(shù)為ISTA算法的參數(shù)。

圖2 近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Deep unfolded ISTA network for near-field sources

將diff輸入深度展開網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)的輸出可以得到近場源的空間譜。對近場源空間譜進(jìn)行譜峰搜索，由譜峰所對應(yīng)的位置即可確定近場源的DOA 估計(jì)值和距離估計(jì)值，k=1，2，…，K1。近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)第1層的輸出為：

第l層的輸出為：

其中l(wèi)=2，3，…，L，Ψdiff表示PQ×2M2維矩陣，Πdiff表示PQ×PQ維矩陣，εdiff表示近場源軟門限函數(shù)的閾值，hst(·，ε)表示軟門限函數(shù)：

其中β表示軟門限函數(shù)的輸入向量，sgn(·)表示符號函數(shù)，*表示Hadamard 積，|·|表示絕對值，ε表示閾值。近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的初始化參數(shù)如下：

其中αdiff=0.9/δdiff，δdiff表示的最大特征值，IPQ表示PQ維單位矩陣。

在訓(xùn)練近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)過程中，使用隨機(jī)梯度下降（Stochastic gradient descent，SGD）優(yōu)化器對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Ψdiff、Πdiff和εdiff進(jìn)行更新，損失函數(shù)為：

其中t=1，2，…，T，T表示訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，μdiff表示正則化參數(shù)表示2-范數(shù)的平方，‖ · ‖1表示1-范數(shù)?？梢钥闯鰮p失函數(shù)與重構(gòu)誤差和稀疏度有關(guān)，在訓(xùn)練過程中不需要使用標(biāo)簽。

4 遠(yuǎn)場源定位方法

在近場源DOA 和距離參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，本節(jié)通過子空間差分得到遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，利用遠(yuǎn)場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)得到遠(yuǎn)場源空間譜，通過空間譜的峰值可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)場源的DOA估計(jì)。

4.1 遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量

由混合源M-(K1+K2)個(gè)小特征值Δ可以計(jì)算得到混合源的噪聲功率估計(jì)值：

此外，第k個(gè)近場源功率的估計(jì)值可以表示為：

將遠(yuǎn)場源協(xié)方差矩陣的估計(jì)值向量化得到遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量：

遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量的過完備形式可以表示為：

其中冗余字典ΦFF可以表示為：

zFF表示P× 1 維向量，當(dāng)θp對應(yīng)遠(yuǎn)場源的DOA 時(shí)，zFF的第p個(gè)元素為1，其余元素為0。將遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量的實(shí)部和虛部重構(gòu)為：

4.2 遠(yuǎn)場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)

遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖3 所示，網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)為L，將輸入深度展開網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)的輸出可以得到遠(yuǎn)場源的空間譜。對遠(yuǎn)場源空間譜進(jìn)行譜峰搜索，由譜峰所對應(yīng)的位置即可確定遠(yuǎn)場源的DOA估計(jì)值，k=1，2，…，K2。

圖3 遠(yuǎn)場源深度展開網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Deep unfolded ISTA network for far-field sources

遠(yuǎn)場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)第1層的輸出為：

第l層的輸出為：

其中l(wèi)=2，3，…，L，ΨFF表示P×2M2維矩陣，ΠFF表示P×P維矩陣，εFF表示遠(yuǎn)場源軟門限函數(shù)的閾值，遠(yuǎn)場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)的初始化參數(shù)如下：

其中αFF=0.9/δFF，δFF表示的最大特征值，IP表示P維單位矩陣。

在遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中使用SGD 優(yōu)化器對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ΨFF、ΠFF和εFF進(jìn)行更新，損失函數(shù)定義為：

其中t=1，2，…，T，T表示訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，μFF表示正則化參數(shù)?？梢钥闯鰮p失函數(shù)與重構(gòu)誤差和稀疏度有關(guān)，在訓(xùn)練過程中不需要使用標(biāo)簽。

混合源定位網(wǎng)絡(luò)如圖4 所示，利用協(xié)方差矩陣差分方法和子空間差分方法從混合源接收信號中分離出近場源差分向量和遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，通過近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)和遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)分別對近場源定位和遠(yuǎn)場源定位。在使用網(wǎng)絡(luò)對混合源定位之前，需要構(gòu)建近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)和遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)，并對其進(jìn)行訓(xùn)練。在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后，通過將混合源協(xié)方差矩陣R進(jìn)行差分得到近場源差分向量，將其輸入至近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的輸出為近場源空間譜，通過空間譜的峰值可以實(shí)現(xiàn)近場源的DOA 和距離估計(jì)。此外，利用近場源的DOA和距離估計(jì)值，通過子空間差分得到遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，將其輸入至遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的輸出為遠(yuǎn)場源空間譜，通過空間譜的峰值可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)場源的DOA估計(jì)。

圖4 混合源定位網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Network of mixed source localization

混合源定位流程如圖5 所示，利用混合源接收信號得到混合源協(xié)方差矩陣，通過協(xié)方差矩陣差分得到近場源差分向量，將其輸入至近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)，得到近場源空間譜，通過空間譜的峰值對近場源的DOA 和距離進(jìn)行估計(jì)。此外，通過對混合源協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，得到混合源特征值和信號子空間，通過子空間差分得到遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，將其輸入至遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)，得到遠(yuǎn)場源空間譜，通過空間譜的峰值對遠(yuǎn)場源的DOA進(jìn)行估計(jì)。

圖5 混合源定位流程圖Fig.5 Flow chart of the mixed source localization

5 仿真實(shí)驗(yàn)

嵌套陣列的近場區(qū)域?yàn)椋?.62（D3/λ）1/2，2D2/λ］，可以看出近場區(qū)域與陣列的孔徑D和波長λ有關(guān)。在仿真實(shí)驗(yàn)中，嵌套陣列的陣元個(gè)數(shù)M設(shè)置為8，陣元間距d設(shè)置為0.1 m，則陣列孔徑D為（M/2）（M/2+1）d=2 m，混合信源的載頻設(shè)置為300 MHz，則波長為1 m。因此嵌套陣列的近場區(qū)域?yàn)椋?.8 m，8 m］。

對于近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)設(shè)置為30，以1°和0.1 m為間隔分別對DOA[-60°，60°]和距離［1.8 m，8 m］進(jìn)行均勻采樣產(chǎn)生7623個(gè)訓(xùn)練樣本，epoch和mini-batch設(shè)置為100和32；對于遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)設(shè)置為30，以1°為間隔對DOA 在[-60°，60°]進(jìn)行均勻采樣產(chǎn)生121個(gè)訓(xùn)練樣本，epoch和mini-batch設(shè)置為50和16。

5.1 混合源定位結(jié)果

混合源中包含兩個(gè)近場源和一個(gè)遠(yuǎn)場源，其中近場源設(shè)置為（50°，2 m）和（-30°，3.5 m），遠(yuǎn)場源的設(shè)置為（-30°），可以看出近場源位于陣列的近場區(qū)域，圖6（a）為利用近場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)獲得的近場源空間譜，圖6（b）為利用遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)獲得的遠(yuǎn)場源空間譜，可以看出譜峰對應(yīng)近場源和遠(yuǎn)場源設(shè)定值，表明本文構(gòu)建的深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)混合源進(jìn)行識別和定位。

圖6 混合源空間譜Fig.6 Spatial spectrum of mixed sources

5.2 網(wǎng)絡(luò)泛化能力

下面以近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)為例，在驗(yàn)證近場源離格DOA 估計(jì)的泛化能力時(shí)，近場源的距離設(shè)置為2λ，產(chǎn)生3組測試樣本集，第1組測試樣本集的DOA設(shè)置為-59.99°，-58.99°，…，-0.99°，0.01°，1.01°，…，59.01°，第2 組測試樣本集的DOA 設(shè)置為-59.90°，-58.90°，…，-0.90°，0.10°，1.10°，…，59.10°，第3 組測試樣本集的DOA 設(shè)置為-59.70°，-58.70°，…，-0.70°，0.30°，1.30°，…，59.30°，共計(jì)360 個(gè)測試樣本。在驗(yàn)證近場源離格距離估計(jì)的泛化能力時(shí)，近場源的DOA 設(shè)置為30°，產(chǎn)生2 組測試樣本集，第1 組測試樣本集的距離設(shè)置為1.81 m，1.91 m，…，8.01 m，第2 組測試樣本集的距離設(shè)置為1.83 m，1.93 m，…，8.03 m，共計(jì)126 個(gè)測試樣本。圖7（a）和7（b）分別為近場源DOA 和距離估計(jì)結(jié)果，圖8（a）和8（b）分別為近場源DOA 和距離估計(jì)誤差，可以看出網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)㈦x網(wǎng)DOA 和距離估計(jì)到相鄰的網(wǎng)格中，表明對DOA 和距離估計(jì)具有泛化能力。

圖7 近場源估計(jì)結(jié)果Fig.7 Estimates of near-field sources

圖8 近場源估計(jì)誤差Fig.8 Errors of near-field sources

5.3 網(wǎng)絡(luò)收斂速度

為驗(yàn)證本文提出方法的收斂速度，將本文提出在不同層數(shù)的深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)和在不同迭代次數(shù)的模型驅(qū)動ISTA 算法的歸一化均方根誤差（Normalized Mean Squared Error，NMSE）進(jìn)行了對比。圖9（a）和9（b）分別為近場源和遠(yuǎn)場源的NMSE，其中橫坐標(biāo)表示深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)層數(shù)或者模型驅(qū)動ISTA 算法的迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示NMSE，加“○”的實(shí)線表示深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的NMSE，加“◇”的虛線表示模型驅(qū)動ISTA 算法的NMSE?？梢钥闯鲭S著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)/迭代次數(shù)增加，本文提出的方法和ISTA 算法NMSE 逐漸減小，在相同的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)或迭代次數(shù)下，本文提出的深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)比模型驅(qū)動ISTA算法收斂速度更快。

圖9 深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)和模型驅(qū)動ISTA算法的NMSEFig.9 NMSE of deep unfolded ISTA network and model-based ISTA method

5.4 參數(shù)估計(jì)RMSE

為驗(yàn)證本文提出方法的參數(shù)估計(jì)精度，將本文提出的深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）與文獻(xiàn)［10］的空間平滑算法、文獻(xiàn)［11］的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、模型驅(qū)動ISTA 算法和克拉美羅界（Cramér-Rao Bound，CRB）進(jìn)行了對比。仿真實(shí)驗(yàn)中，近場源的位置設(shè)置為（50.1°，2.01 m），遠(yuǎn)場源的DOA 設(shè)置為（30.1°），圖10（a）、10（b）和10（c）分別為在不同信噪比下，經(jīng)過300 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到的近場源DOA、近場源距離和遠(yuǎn)場源DOA 的RMSE?？梢钥闯觯S著信噪比的增加，三種方法的RMSE 逐漸減小，表明參數(shù)估計(jì)精度逐漸提高。在相同的信噪比下，相較于其他方法，本文提出的深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)的RMSE 更低，更加接近CRB 曲線，參數(shù)估計(jì)精度更高。

圖10 混合源參數(shù)估計(jì)RMSEFig.10 RMSE of parameter estimation for mixed sources

6 結(jié)論

本文通過混合源協(xié)方差矩陣差分方法和子空間差分方法分別得到近場源差分向量和遠(yuǎn)場源協(xié)方差向量，利用近場源深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)和遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)分別得到近場源空間譜和遠(yuǎn)場源空間譜。最后利用遠(yuǎn)場源深度展開ISTA 網(wǎng)絡(luò)得到遠(yuǎn)場源空間譜。仿真實(shí)驗(yàn)表明本文提出的網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)混合源識別和定位，相較于模型驅(qū)動ISTA算法，經(jīng)過訓(xùn)練的深度展開ISTA網(wǎng)絡(luò)的收斂速度更快，定位精度更高。