賴偉英

[摘 要]

類比思維一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種學(xué)習(xí)思維。它能讓學(xué)生通過對A知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)進而激發(fā)出對B知識的學(xué)習(xí)熱情。培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能讓學(xué)生猜想與發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而幫助尋找解題思路。

[關(guān)鍵詞]

類比思維;聯(lián)想;雙曲線

從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)以來，筆者發(fā)現(xiàn)，教師在課堂教學(xué)中不僅要創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還要培養(yǎng)學(xué)生諸如逆向思維、歸納思維、整體思維、類比思維等?；诟咧袛?shù)學(xué)知識點多且抽象復(fù)雜，其定理、概念、性質(zhì)和解題方法要求學(xué)生具有一些數(shù)學(xué)思維，其中類比思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與解題中運用較為普遍且有效的思維方式之一。類比思維能讓學(xué)生通過A知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)進而激發(fā)學(xué)習(xí)B知識的引路學(xué)習(xí)方式。如何培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，運用有效的方法學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)與解題會取到很好的效果。

一、類比思維論述

類比就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比思維是從兩個對象之間在某些方面的相似關(guān)系中受到啟發(fā)，從而使問題得到解決的一種創(chuàng)造性思維。類比思維具有聯(lián)想、啟發(fā)、假設(shè)、模擬等多種功能，在創(chuàng)造性思維中居于重要的地位。

二、類比思維與高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系

類比思想由來已久，我國古代著名木匠魯班看到帶有齒輪狀的樹葉，他根據(jù)類比思想發(fā)明了一種砍樹工具——鋸;還有著名的物理學(xué)家牛頓運用類比思維將自由落體運動與天體的運動作比較，最終發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，教師不妨培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，運用類比思想深入分析和探討類比方法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

首先，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容編排的特點，在傳授新知識時，可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比思維方法得出所要講授的新知識，以此慢慢讓學(xué)生掌握類比推理的方法。其次，教師在對學(xué)生進行階段性知識總結(jié)復(fù)習(xí)時，可以借助相關(guān)的知識進行類比，以培養(yǎng)學(xué)生對相關(guān)知識進行類比的習(xí)慣。最后，在對學(xué)生講述如何解題的教學(xué)中，教師通過類比引導(dǎo)學(xué)生進行推廣數(shù)學(xué)命題或者通過類比，從中尋找解題的途徑，以達(dá)到深化對題目相關(guān)考查知識的理解，從而掌握這些數(shù)學(xué)思想方法。

三、類比思維的運用——以橢圓、雙曲線教學(xué)知識為例

高中學(xué)習(xí)中，很多知識點學(xué)習(xí)時可以通過對比學(xué)習(xí)，這種對比就是常說的類比思維。下面將以圓錐曲線中橢圓、雙曲線知識為例，談?wù)勅绾芜M行類比思維。教師在講解橢圓和雙曲線教學(xué)內(nèi)容的時候，可以展示如下表類比對象。

通過類比二者的不同和相同處，讓學(xué)生透徹理解并掌握橢圓和雙曲線這兩個對象的表達(dá)式和圖像及性質(zhì)。為了更好的說明類比思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用，下面選取橢圓和雙曲線部分性質(zhì)給予論證。

（一）關(guān)于焦半徑公式的運用

類比思維是創(chuàng)造性思維的一種形式，有時我們可以從一種研究對象的結(jié)論出發(fā)，往往能創(chuàng)造的喜悅不可思議。焦半徑公式在圓錐曲線學(xué)習(xí)時，會經(jīng)常使用到。下面用一道例題看看這兩個知識有何區(qū)別。

例1、已知P（x0，y0）是橢圓[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）上一點，[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個焦點，則有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0;類比思考之后，你能得出雙曲線類似的結(jié)論嗎？

其實，在雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]中，經(jīng)過論證，有|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|。為了去絕對值，還要再分兩種情況：當(dāng)P在雙曲線左支上時，則|PF1||=-（ex0+a），|PF2|=-（ex0-a）;當(dāng)P在雙曲線右支上時，則|PF1||=ex0+a，|PF2|=ex0-a。

此外，對于焦點在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，可相應(yīng)將x0換成y0即可得出公式。

教師需要根據(jù)把橢圓與雙曲線的知識點是緊密聯(lián)系的，將知識點進行合理遷移，在通過類比得出另一種研究對象的許多意想不到的結(jié)論。正如現(xiàn)代美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn)?！?/p>

（二）根據(jù)基本概念與性質(zhì)推導(dǎo)其他性質(zhì)的運用

對于橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)，學(xué)生一定要掌握這兩大知識內(nèi)容的基本性質(zhì)。類比思維是合情推理中一種重要的思維方式，學(xué)生一定要能利用概念與性質(zhì)推導(dǎo)出其他性質(zhì)，從而在數(shù)學(xué)解題中讓題目迎刃而解。下面兩道題目對激發(fā)學(xué)生的解題興趣很有幫助。

例2、設(shè)橢圓[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個焦點，點 M為橢圓上除頂點外的任一點，[∠F1MF2=α]，則三角形[F1MF2]的面積[S=b2tanα2]。請證明這個三角形面積。類比思考之后，你能得出雙曲線有類似的結(jié)論嗎？

證明：由橢圓定義得：[MF1+MF2=2a????（1）]

在[△F1MF2]中，由余弦定理可得：

[MF12+MF22-2MF1?MF2cosα=4c2????（2）]

（1）式平方 -（2）式得，

[2MF1?MF2（1+cosα）=4a2-4c2，]

[MF1?MF2=2b21+cosα]，

S=[S=12MF1?MF2sinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2]。

同理根據(jù)上述性質(zhì)類比得到雙曲線為，點M為雙曲線上除定點外的任意一點，

設(shè)[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1，F(xiàn)2]是橢圓的兩個焦點，點 M為橢圓上除頂點外的任一點，[∠F1MF2=α]，則三角形[F1MF2]的面積[S=b2cotα2]。（證明過程略）

基于在這道題的結(jié)論中，橢圓與雙曲線的兩個面積公式的不同之處僅在三角形的正切與余切的區(qū)別，可以說這種形式的不單單是圓錐曲線性質(zhì)規(guī)律性的一種反映，更是在對比學(xué)習(xí)中，運用類比方法能很好的讓題目迎刃而解。

例3、已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為[kPM]、[kPN]時，那么[kPM]與[kPN]之積是與點P的位置無關(guān)的定值。試對雙曲線[x2a2-y2b2=1]寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。

解題分析：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、（下轉(zhuǎn)第60頁）（上接第53頁）PN的斜率都存在，并記為[kPM]、[kPN]時，那么[kPM]與[kPN]之積是與點P的位置無關(guān)的定值。

證明：設(shè)點M、P的坐標(biāo)為（[m ，n]）、（[x ，y]），則N（[-m ，-n]），其中[m2a2-n2b2=1]。

因為點M（[m ，n]）在已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上，所以由[kPM]=[y-nx-m]，[kPN]=[y+nx+m]，得[kPM]·[kPN]=[y-nx-m]·[y+nx+m]=[y2-n2x2-m2]，

因為點M（[m ，n]）在已知雙曲線[m2a2-n2b2=1]上，所以[n2=b2a2m2-b2]，因為點P（[x ，y]）在已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2=b2a2x2-b2]，代入得[kPM?kPN=b2a2?x2-n2x2-m2=b2a2]（定值）。

四、反思與總結(jié)

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾說過：“類比是偉大的引路人”。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能合理地運用“類比”方法，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有益的。本文選取圓錐曲線中橢圓與雙曲線的類比教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)兩個教學(xué)內(nèi)容有許多相似之處，案例中運用類比方法可以引導(dǎo)學(xué)生提出問題、進行探究，在學(xué)生思考中慢慢培養(yǎng)其類比思維。

[參 考 文 獻]

[1]鄧益陽.探究一類新型題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004（2）.

[2]徐永忠.解析深化理性思維考查的數(shù)學(xué)高考[J].數(shù)學(xué)通報，2004（11）.

[3]王忠維.橢圓與雙曲線——奇妙的類比[J].數(shù)學(xué)大世界（教師適用），2011（12）.