摘要研究了跳服從Erlang（n）分布，隨機(jī)觀察時(shí)服從指數(shù)分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型.假設(shè)在邊值策略下紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生，建立了紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的微積分方程組.給出了當(dāng)收益額服從PH（m）分布時(shí)V（u；b）的解析解.探討了當(dāng)收益額服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的具體求解方法.

關(guān)鍵詞Erlang（n）分布；紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)；隨機(jī)觀察時(shí)；對(duì)偶模型；PH（m）分布

中圖分類號(hào)O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Dividend Problems in the Erlang（n）

Dual Risk Model with Observation Times

TAN Pulin

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei430072， China）

AbstractThis paper studied the dual risk model with Erlang（n） distributed interclaim times and exponentially distributed random observations. Under constant dividend barrier strategy and assumption that dividend payments only occur at observation times， integrodifferential equations for expected discounted dividend payments until ruin were established. When jump sizes are PH（m） distributed， the analytical solutions for expected discounted dividend payments were given. When jump sizes are exponentially distributed， the specific method to derive the expected discounted dividend payments was investigated. Specially， the explicit solutions when n=1 and numerical example when n=2 were given.

Key words Erlang（n） distribution； Expected discounted dividend payments； Random observation； Dual risk model； PH（m） distribution

1引言

在研究保險(xiǎn)公司盈余過程U（t），t>0時(shí)，在t時(shí)刻的盈余可以表示為

U（t）=u+ct-S（t）

=u+ct-∑N（t）i=1Yi，t≥0.

其中，u=U（0）≥0為初始盈余，c為保費(fèi)率即收入率，S（t）表示保險(xiǎn)公司的總索賠額即支出，一般為復(fù)合泊松過程.在研究一般公司的盈余過程時(shí)發(fā)現(xiàn)公司的支出是持續(xù)的，收入是隨機(jī)的.通過改進(jìn)得到了對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，可參見Avanzi等人（2007）[1]，Avanzi和Gerber （2008）[2]，Gerber和Smith（2008）[3]的工作.在對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，t時(shí)刻的盈余表示為

U（t）=u-ct+S（t）

=u-ct+∑N（t）i=1Yi，t≥0. （1）

在這個(gè)模型中c表示費(fèi)用率即支出率，S（t）表示總收益，其中N（t）和Yi相互獨(dú)立.假設(shè)Yi，i≥1是非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，密度函數(shù)為p（y）且期望為μ=E（Y1）.

De Finetti（1957）[4]首次提出在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮分紅策略，認(rèn)為這個(gè)過程更貼切實(shí)際情形.分紅策略一般有兩種.一種是邊值策略，即當(dāng)盈余過程超過給定的邊值時(shí)，紅利才分發(fā)且發(fā)放超過邊值部分的全部.另一種是閥值策略，相同的是在盈余過程超過給定閥值才分發(fā)紅利，不同的是當(dāng)超過閥值時(shí)，分紅率是一個(gè)固定的常數(shù).Avanzi等人（2007）[1]研究了在邊值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利問題，Avanzi等人（2013）[5]研究了在邊值策略下帶觀察時(shí)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利，Ng（2009）[6]研究了在閥值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的貼現(xiàn)紅利.關(guān)于收益過程，這些文章都是基于復(fù)合泊松過程討論的，在模型的進(jìn)一步推廣時(shí)，收益改用更新過程來研究.Li和Garrido（2004）[7]研究了復(fù)合更新過程（索賠時(shí)間間隔即跳過程服從Erlang（n）分布）下風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，Albrecher等人（2005）[8]則給出了跳服從廣義Erlang（n）分布的貼現(xiàn)紅利任意階矩，Eugenio等人（2014）[9]在跳服從Erlang（n）分布下把模型推廣到對(duì)偶情形并討論破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利問題，Yang和Sendova（2014）[10]在此基礎(chǔ)上推廣到廣義Erlang（n）分布.關(guān)于收益過程采用復(fù)合更新過程來描述已經(jīng)有很多文章了，但是他們都沒考慮帶觀察時(shí)的情形.基于此，考慮在邊值策略下帶觀察時(shí)跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型.不同于Peng等人（2013）[11]（紅利分發(fā)和破產(chǎn)均在觀察時(shí)發(fā)生）的研究，而是類似于Avanzi等人（2013）[5]紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生而破產(chǎn)可能是在任意時(shí)刻發(fā)生的（即盈余U（t）<0就破產(chǎn)）.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

談普林等：帶觀察時(shí)的跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶模型的紅利貼現(xiàn)問題endprint

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第二部分，介紹具體模型和定義.在第三部分第一節(jié)，給出紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）滿足的微積分方程組.在第三部分第二節(jié)，利用第三部分第一節(jié)結(jié)果討論收益額服從PH（m）分布時(shí)的紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)，并給出V（u；b）的解析解.在第三部分第三節(jié)，給出觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的具體求解.在第四部分第一節(jié)，給出跳退化為指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解及其極限，并與Avanzi等人（2007）[1]和Avanzi等人（2013）[5]的結(jié)果進(jìn)行比較.在第四部分第二節(jié)，給出跳服從Erlang（2）分布時(shí)，V（u；b）的數(shù)值舉例.

2模型及定義

根據(jù)式（1），U（t），t≥0的破產(chǎn)時(shí)間定義為τ=inft≥0：U（t）≤0.計(jì)數(shù)過程N(yùn)（t）=mink：T1+T2+…+Tk+1>t是一個(gè)更新過程，Ti

SymboleB@ i=1是正的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列（Ti定義為第（i-1）次產(chǎn)生收益到第i次產(chǎn)生收益的時(shí)間間隔）.

假定Ti（i=1，2，…）服從Erlang（n）分布，即密度函數(shù)為fT（t）=λntn-1e-λt/（n-1）！.假設(shè)公司是可盈利的，即c<μ/E（Ti）cn<λμ.

假設(shè)Zk

SymboleB@ k=1為隨機(jī)觀察序列，且滿足

Zk=∑ki=1Mi，k=1，2，…，

其中Mi為第（i-1）次觀察與第i次觀察所經(jīng)歷的時(shí)間，{Mi，i≥1}獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為F（x），并假設(shè)與{Yi，i≥1}以及Ti

SymboleB@ k-1時(shí)刻，即任意時(shí)刻Zk盈余超出邊界值b（>0），則超出部分全部作為紅利分發(fā).

每個(gè)觀察時(shí)間間隔定義一個(gè)剩余過程Ub（t），t≥0（分發(fā)紅利后）.

為了引入紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)，定義輔助過程Wk（t），t≥0，k=1，2….它們可以通過下面的等式遞歸定義

Wk（t）=U（t），k=1；t≥0，Ub（Zk-1）-c（t-Zk-1）

+∑N（t）i-N（Zk-1）+1Yi，k=2，3，…；t≥Zk-1，

以及對(duì)k=1，2…，

Ub（t）=Wk（t），Zk-1

令Z0=0-，Ub（0）=u，即有0時(shí)刻不是紅利分發(fā)點(diǎn).

類似地定義當(dāng)前模型的破產(chǎn)時(shí)間為

τb=inft≥0：Ub（t）≤0.

令Kb=maxk≥0：Zk≤τb，則Kb表示直到破產(chǎn)為止總共發(fā)生觀察的次數(shù).

紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)可定義為

V（u；b）=E∑Kbk=1e-δZkWk（Zk-b）+Ub（0）=u，u≥0，

其中a+=max（a，0），δ為貼現(xiàn)力.假設(shè)V（u；b）線性有界.圖1給出了盈余過程Ub（t）t≥0的變化軌跡圖.

b

5結(jié)論

建立了邊值策略下帶觀察時(shí)的跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，通過求解隨機(jī)微分方程組給出了紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的解析解.相比較于傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)模型用于研究保險(xiǎn)公司的盈余過程，而其對(duì)偶模型適用于一般公司.對(duì)比Eugenio等人（2014）[9]研究Erlang（n）分布，利用更新過程的無記憶性，把Erlang（n）分布分成n個(gè)階段來討論.紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生的假設(shè)和使用更一般的更新過程來研究使研究結(jié)果更加具有現(xiàn)實(shí)意義和一般性.對(duì)于觀察時(shí)為指數(shù)分布等其它情形，可以進(jìn)一步使用其他分布來研究.

參考文獻(xiàn)

[1]B AVANZI， H U GERBER， E S W SHIU. Optimal dividends in the dual model[J].Insurance： Mathematics and Economics，2007，41（1）： 111-123.

[2]B AVANZI， H U GERBER. Optimal dividends in the dual model with diffusion[J].ASTIN Bulletin， 2008，38（2）：653-667.

[3]H U GERBER， N SMITH. Optimal dividends with incomplete information in the dual model[J]. Insurance： Mathematics and Economics，2008，43（2）：227-233.

[4]B DE FINETTI. Su un'impostazione alternatival dell teoria colletiva del rischio[C].//Proceedings of the Transactions of the XV International Congress of Actuaries，1957，2（2）：433-443.

[5]B AVANZI， E C K CHEUNG， B WONG， et al. On a periodic dividend barrier strategy in the dual model with continuous monitoring of solvency[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2013，52（1）： 98-113.

[6]A C NG. On a dual model with a dividend threshold[J].Insurance：Mathematics and Economics， 2009，44（2）：315-324.

[7]SM LI， J GARRIDO. On ruin for the Erlang（n） risk process[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2004，34（3）：391-408.

[8]H ALBRECHER， M M CLARAMUNT， M MARMOL. On the distribution of dividend payments in a Sparre Andersen model with generalized Erlang（n） interclaim times[J].Insurance： Mathematics and Economics，2005，37（2）： 324-334.

[9]V R EUGENIO， M R C RUI， D E ALFREDO. Some advances on the Erlang（n） dual risk model[J]. ASTIN Bulletin，2014，45（1）：127- 150.

[10]C YANG， K P SENDOVA. The ruin time under the SparreAndersen dual model[J].Insurance： Mathematics and Economics，2014，54（1）： 28-40.

[11]D PENG， D H LIU， Z M LIU. Dividend problems in the dual risk model with exponentially distributed observation time[J].Statistics and Probability Letters，2013，83（3）：841-849.