安京京+南江霞+卜紅

摘要用三角模糊數(shù)刻畫二人零和對策支付值的不確定性，提出了計算模糊二人零和對策納什均衡解的多目標(biāo)規(guī)劃方法.給出了一種基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)排序方法，根據(jù)該方法將模糊二人零和對策轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)線性規(guī)劃.通過一個數(shù)值實例說明了該方法的有效性和實用性.

關(guān)鍵詞二人零和對策；三角形模糊數(shù)；區(qū)間數(shù)；多目標(biāo)線性規(guī)劃

中圖分類號C934 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

The Solution of the Nash Equilibrium

of Fuzzy TwoPerson ZeroSum Game

AN Jingjing1，2， NAN Jiang xia1，2，BO Hong1，2

（School of Mathematics and Computing Science， Guilin， Guangxi541004，China；

Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation，

Guilin University of Electronic Technology， Guilin， Guangxi541004，China）

AbstractThe payoffs of twoperson zerosum game were presented as triangular fuzzy numbers. We presented a new methodology for solving twoperson zerosum games with payoffs of triangular fuzzy numbers. Based on the ranking of interval， we provided a new ranking method of triangular fuzzy number. Then the solution of the fuzzy twoperson zerosum games can be obtained through solving a pair of multiobjective linear programming models. The validity and applicability of the proposed methodology were illustrated with a numerical example.

Key wordstwoperson zerosum game； Triangular fuzzy number； Interval； Multiobjective linear programming

1引言

關(guān)于支付值為三角形模糊數(shù)的二人零和對策[1]（簡稱模糊二人零和對策）已有大量的研究和應(yīng)用，Bector et al.[2]，Campos[3]，Campos et al.[4]都是運用一種模糊數(shù)的排序方法將支付值中的模糊數(shù)進(jìn)行去模糊化轉(zhuǎn)化成實數(shù)，進(jìn)而把原問題的模糊線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為求解一般的線性規(guī)劃模型，這樣求得的對策值是一個實數(shù).因為局中人的支付值是模糊數(shù)，所以在模糊二人零和對策中，局中人的最優(yōu)策略和對策值也應(yīng)是一個模糊數(shù).目前只有少量的文獻(xiàn)涉及這部分的研究.Clemente[5]運用了標(biāo)準(zhǔn)排序函數(shù)將模糊二人零和對策的模糊線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為與之等價的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，利用這種排序函數(shù)所得最優(yōu)解也是模糊數(shù).Li[6]研究了支付值是三角形模糊數(shù)的約束二人零和對策，證明了局中人的對策值與支付值滿足單調(diào)線性關(guān)系，運用模糊數(shù)的0-截集和1-截集，通過求解三個線性規(guī)劃模型得到局中人的最優(yōu)策略和對策值，所求得的局中人的最優(yōu)策略和對策值也是一個三角形模糊數(shù).提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法，將支付值為三角形模糊數(shù)的模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，所得最優(yōu)策略和對策值是三角形模糊數(shù).

本文組織結(jié)構(gòu)如下，第二部分是預(yù)備知識，給出了三角形模糊數(shù)的定義、截集及運算法則，介紹了區(qū)間數(shù)的比較，并提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法.第三部分運用三角形模糊數(shù)的比較方法將模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為求解帶有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型.第四部分給出了關(guān)于商業(yè)銷售策略選擇的一個數(shù)值實例，并建立模型，給出了數(shù)值結(jié)果.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

安京京等：模糊二人零和對策的納什均衡求解

2預(yù)備知識

2.1三角形模糊數(shù)的截集及運算法則

定義1設(shè)=a，a，是一個三角形模糊數(shù)，那么它的隸屬函數(shù)定義為

μx=x-a/a-a，a≤x

1，x=a；

-x/-a，a

0，x∈，其他.（1）

若a≥0，a，a和至少有一個不為零，則稱=a，a，是一個非負(fù)的三角形模糊數(shù).

定義2設(shè)=a，a，和=b，b，是兩個非負(fù)的三角形模糊數(shù).它們的代數(shù)運算和數(shù)乘分別為

+=a+b，a+b，+，（2）

λ=λa，λa，λ，λ≥0，λ，λa，λa，λ<0. （3）

三角形模糊數(shù)=a，a，的α-截集定義為α=xμx≥α，其中α∈0，1.記為α=aLα，aRα.

2.2區(qū)間數(shù)的比較

區(qū)間是實數(shù)集R的一個特殊子集[7]，記做=[aL，aR]={x∈RaL≤x≤aR}，其中aL和aR分別是區(qū)間的左、右端點.區(qū)間數(shù)也可表示為=〈m（），r（）〉，其中m（）=（aL+aR）/2是區(qū)間數(shù)的中點，r（）=（aL-aR）/2是區(qū)間數(shù)的半徑.

設(shè)=[aL，aR]和=[bL，bR]是兩個區(qū)間[7].‘≤I是一個模糊集，它的隸屬函數(shù)為：

φ≤I=1，aR≤bL，

1-，aL≤bL≤aR≤bRr，且>0，

bR-aR/2r-r，aL≤bL≤aR≤bR且r>r，

0.5，r=r且aL=bL.（4）

同樣地，也可以定義≥I.

設(shè)=aL，aR和=bL，bR是2個區(qū)間[7].‘≥I是一個模糊集，它的隸屬函數(shù)φ≥I=1-φ≤I，即

φ≥I=0，aR≤bL，0-，aL≤bL≤aR≤bR且r>0；aL-bL/2r-r，aL≤bL≤aR≤bR且r>r，0.5，r=r且aL=bL.（5）

區(qū)間不等式≤I的弱等價形式為[7]：

aRx≤bR，φ≥I≤α，

這里α∈0，1，表示違背區(qū)間不等關(guān)系≤I的可接受程度.

同樣地，定義區(qū)間不等式≥I的弱等價形式為：

aLx≥bL，φ≤I≤α.

2.3基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法

基于區(qū)間數(shù)的比較，給出一種新的三角形模糊數(shù)的排序方法.

定義3設(shè)=a，a，和=b，b，是兩個三角形模糊數(shù)，

1）若aIb，≤α，則

2）若a>b，a>b，且φa，TFN；

3）若a=b，a=b，=，則=TFN.

其中，符號 “TFN”和“=TFN”表示三角形模糊數(shù)的模糊不等關(guān)系.φa，>Ib，

SymbolcB@ αα∈01是關(guān)于對違背a，Ib，<1，那么就認(rèn)為決策者對違背Ib，=1，那么就認(rèn)為Ib，=0，說明決策者完全同意TFN和=TFN.

定義4設(shè)=a，a，是一個三角形模糊數(shù).模糊目標(biāo)函數(shù)的極大值問題可描述為

maxs.t.∈Ω1

等價于下面的區(qū)間多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

maxa，a，s.t.∈Ω1.

上述規(guī)劃問題可等價于下面的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

maxa，a，a+2s.t.∈Ω1.

這里Ω1是變量在實際問題中應(yīng)該滿足的約束集合.

同樣地，模糊目標(biāo)函數(shù)的極小值問題可描述為：

mins.t.∈Ω2.

可等價于下面的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

mina，，a+2s.t.∈Ω2.

這里Ω2是變量在實際問題中應(yīng)該滿足的約束集合.

3模糊二人零和對策及求解方法

設(shè)局中人1和2分別具有純策略集S1=α1，α2，…，αm與S2=β1，β2，…，βn，當(dāng)局中人1和2分別選取純策略αi∈S1、βj∈S2時，局中人1獲得的支付值為三角形模糊數(shù)ij=aij，aij，iji=1，2，…，m；j=1，2，…，n，而局中人2相應(yīng)地?fù)p失的支付值為三角形模糊數(shù)ij=aij，aij，ij.局中人1在所有局勢下的支付值可直觀地用表表示為：

=ijm×n.

假定局中人1和2分別以概率xi和yj選取純策略αi∈S1和βj∈S2，記x=x1，x2，…，xmT，y=y1，y2，…，ynT，稱x和y分別為局中人1和2的混合策略.稱

X={x∈Rm∑mi=1xi=1，xi≥0，i=1，…，m}

和Y={y∈Rn∑ni=1yi=1，yi≥0，i=1，…，n}分別為局中人1和2的混合策略空間.

在混合策略x，yx∈X，y∈Y下，局中人1和2的對策值分別為=Ex，y=xTy

和=-Ex，y=xT-y.因為支付表中的元素為三角模糊數(shù)，所以局中人1和2的對策值也為三角模糊數(shù)，分別記為=v，v，和=w，w，.

不難得到在模糊二人零和對策中，則有

*=maxx∈Xmminy∈YnEx，y

≤TFNminy∈Ynmaxx∈XmEx，y=*

根據(jù)前面所述理論，模糊二人零和對策的最優(yōu)解可以通過下面一對區(qū)間數(shù)學(xué)規(guī)劃來求解：

maxv，v，s.t.∑mi=1aijxi≥v，∑mi=1aij，ijxi≥Iv，，j=1，2，…n；∑mi=1xi=1，xi≥0i=1，2，…，m.（6）

和

minw，w，s.t.∑nj=1aijyj≤w，∑nj=1aij，ij≤Iw，，i=1，2，…，m；∑nj=1yj=1，yj≥0，j=1，2，…，n. （7）

根據(jù)定義4，區(qū)間數(shù)學(xué)規(guī)劃模型（6）可轉(zhuǎn)化為下面的多目標(biāo)規(guī)劃模型：

maxv，v，v+2s.t.∑mi=1aijxi≥v，∑mi=1aijxi≥vj=1，2，…，n，-∑mi=1ijxi-v-∑mi=1ijxi-∑mi=1aijxi≤α，j=1，2，…，nv≤，∑mi=1xi=1，xi≥0，i=1，2，…，m.（8）

多目標(biāo)規(guī)劃模型有許多的求解方法，在這里，用加權(quán)平均法可將上述多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為下面的帶有參數(shù)α的單目標(biāo)規(guī)劃：

min12v+13v+16

s.t.∑mi=1aijxi≥v，∑mi=1aijxi≥v.1-α∑mi=1ijxi+α∑mi=1aijxi≥1-α+αvj=1，2，…，nv≤，∑mi=1xi=1，xi≥0，i=1，2，…，m. （9）

根據(jù)定義4，并用加權(quán)平均法，區(qū)間多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型（7）可轉(zhuǎn)化為下面的帶有參數(shù)α數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

min16w+13w+12s.t.∑nj=1aijyj≤w，∑nj=1ijyj≤，1-α∑nj=1aijyj+α∑nj=1ijyj≤1-αw+αi=1，2，…，m.w≤，∑nj=1yj=1，yj≥0j=1，2，…，m.（10）

顯然，如果模糊矩陣 A ～中的所有三角模糊數(shù)ij=aij，aij，ij退化為一個實數(shù)，即aij=aij=ij，那么v*和w*也是一個實數(shù)，即v=v=，w=w=.因此，方程（9）和（11）分別退化為經(jīng)典的二人零和對策的線性規(guī)劃.從而說明的模型是經(jīng)典二人零和對策模型的推廣.

4數(shù)值分析

現(xiàn)有公司C1和C2欲占領(lǐng)某一產(chǎn)品市場，各自擬定下一年度產(chǎn)品的銷售計劃，以便增加自己產(chǎn)品在市場上的銷售量.假定該市場對這類商品的需求為大致穩(wěn)定，故一家公司銷售量增加，則會引起另一家公司銷售量減少.每家公司都在考慮采用兩種策略之一來增加自己產(chǎn)品在市場上的銷售量.策略α1：進(jìn)行產(chǎn)品廣告宣傳；策略α2：改進(jìn)產(chǎn)品包裝.兩個公司之間策略的選擇可以看成是二人零和對策，即公司C1和C2分別看成是兩個局中人.由于市場環(huán)境的復(fù)雜性和信息的不確定性，兩個公司管理者只能給出下一年度各種局勢下銷售結(jié)果的近似值.假設(shè)

公司C1在所有局勢下的支付值表示為如下的三角形模糊數(shù)：

=1751801901501561588090100175180190

利用前面所述理論，根據(jù)式（9）和（10）可分別建立局中人1和局中人2的期望收益模型如下：

max1/2v+1/3v+1/6s.t.180x1+90x2≥v，156x1+180x2≥v；175x1+80x2≥v，150x1+175x2≥v；1-α190x1+100x2+α175x1+80x2≥1-α+αv；1-α158x1+190x2+α150x1+175x2≥1-α+αv；v≤，x1+x2=1，x1≥0，x2≥0. （11）

和

min1/6w+1/3w+1/2s.t.180y1+156y2≤w，90y1+180y2≤w；190y1+158y2≤，100y1+190y2≤1-α175y1+150y2+α190y1+158y2≤1-αw+α；1-α80y1+175y2+α100y1+190y2≤1-αw+α；w≤，y1+y2=1，y1≥0，y2≥0.（12）

對于給定的參數(shù)α∈0，1的特定的值，利用線性規(guī)劃的單純形法[8，9]分別求解式（11）和（12），可得到局中人1的最小最大策略x*和其最小收益*=v，v，與局中人2的最大最小策略y*及其最大損失*=w，w，，不妨設(shè)α=0.6，可以得到x*T=（0.791 7，0.208 3），*=（155，161，165），y*T=（0.262 3，0.737 7），*=（157，162，166）.顯然*

5結(jié)束語

根據(jù)Li[7]提出的區(qū)間數(shù)的比較方法，提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法，將支付值為三角形模糊數(shù)的模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為求解一個含有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，所得的局中人的最優(yōu)策略和對策值是三角形模糊數(shù)，這個結(jié)果與Bector et al.[2]，Campos[3]，Campos et al.[4]中所求得的局中人的最優(yōu)策略和對策值是不同的.盡管所提出的模型和方法在一個數(shù)值實例中具體闡述了，這種方法也可以運用于解決其他的競爭對策問題，如在經(jīng)濟(jì)，金融和管理等領(lǐng)域.此外，提出的三角形模糊數(shù)的排序方法可以推廣至梯形模糊數(shù)的排序，并且提出的排序方法和模型也可以運用到支付值為三角形模糊數(shù)的多目標(biāo)二人零和對策.今后將進(jìn)一步研究更多有效的求解模糊二人零和對策的方法.

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