王勇 張小麗

［摘 要］利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)與形的問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和判斷能力。文章從“近似數(shù)”的教學(xué)分析與改進(jìn)入手，通過對(duì)于四舍五入和幾何直觀的深入研究，結(jié)合教材，探討數(shù)學(xué)思想在解決現(xiàn)實(shí)問題中的意義和作用。

［關(guān)鍵詞］近似數(shù)；數(shù)形結(jié)合；抽象性；四舍五入

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）26-0058-03

數(shù)學(xué)教材中， 知識(shí)點(diǎn)的編排往往按照兩種順序，一是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯順序， 二是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的順序。 人教版教材把“近似數(shù)”安排在二年級(jí)下冊(cè)第七單元“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，目的是讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材認(rèn)識(shí)近似數(shù)，并通過具體情境體會(huì)近似數(shù)的意義，形成數(shù)感。按照以往的教學(xué)方式，四舍五入是求近似數(shù)最常用的方法，可是從學(xué)生的作業(yè)情況來看，此教學(xué)方式的效果很不理想。

【錯(cuò)例呈現(xiàn)】

一臺(tái)電視機(jī)的價(jià)格是2887元，約是（? ? ? ）。

學(xué)生錯(cuò)解：（1）1000元 ；（2）2000元；（3）2800元 。

為什么學(xué)習(xí)了“四舍五入”的方法，學(xué)生還會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤？筆者對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了訪談。

1.訪談學(xué)生——學(xué)生“在哪里”？

填“1000元”的學(xué)生：不知道接近哪個(gè)數(shù)，就寫了一個(gè)1000元。

填“2000元”的學(xué)生：我是將千位后面的零頭抹去了。

填“2800元”的學(xué)生：我是刪去百位后面的數(shù)。

由訪談可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并沒有真正理解近似數(shù)的意義，填“1000元”的學(xué)生對(duì)于2887是在哪兩個(gè)數(shù)之間不是很清楚。填“2000元”和“2800”元的學(xué)生雖然知道了范圍，但是沒有理解2887更接近哪個(gè)整百數(shù)或者整十?dāng)?shù)。

2. 訪談教師——教師怎么教？

筆者訪談了全校22位教師：“在教學(xué)近似數(shù)時(shí)您最常用的方法是什么？”有90.91%的教師是用四舍五入的方法，可見“四舍五入”在教師心目中的地位很高。但是這種方法真的有效嗎？

【原因分析】

1.教師不清楚學(xué)生“在哪里”

教學(xué)效果不理想的主要原因是教師對(duì)學(xué)生的起點(diǎn)定位不準(zhǔn)。教師認(rèn)為很簡單的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生來說卻未必容易。學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，它包含學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)背景和認(rèn)知能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)直接影響到一節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)的確定，以及突破難點(diǎn)所采用的教學(xué)策略。由于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)難以測量，不同個(gè)體也存在很大的差異，教師更多的時(shí)候是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)去揣度學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)意料之外的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

2.教師不清楚如何“領(lǐng)學(xué)生”

四舍五入的概念往往是教師直接給出的，一些學(xué)生就很難理解為什么“四要舍、五要入”，他們只能機(jī)械模仿。學(xué)生只有充分理解四舍五入的意義，才能夠應(yīng)用其求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)。

為此，筆者把直觀的數(shù)線引入“近似數(shù)”這節(jié)課，力圖給學(xué)生一個(gè)幾何支點(diǎn)，以此化解傳統(tǒng)教學(xué)方式造成的學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

【教學(xué)改進(jìn)與分析】

1.在區(qū)間中感知數(shù)的范圍

師： 37在哪兩個(gè)數(shù)之間呢？

生1：在30和40之間。

師：那145呢？

生2：在100和200之間。

師：接下來這個(gè)數(shù)可大了——2587呢？

生3：在2000和3000之間。

師：剛才同學(xué)們給出的范圍是幾千與幾千之間，能說說它在幾千幾百和幾千幾百之間嗎？

生4：在2500和2600之間。

師：看樣子大家已經(jīng)把范圍縮小了，還能進(jìn)一步縮小嗎？

生5：在2580和2590之間

【評(píng)析：在與填“1000元”的學(xué)生的訪談中可以得知，他們對(duì)于給定的數(shù)到底在哪兩個(gè)數(shù)之間這一概念并不是很清楚。于是，筆者在課始讓學(xué)生先任意說出數(shù)的范圍，再根據(jù)不同的要求收窄數(shù)的范圍。這樣的設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生初步感知任何一個(gè)數(shù)都是在兩個(gè)數(shù)之間的，設(shè)定的區(qū)間可以不一樣，從中體現(xiàn)一定的數(shù)形結(jié)合思想方法?！?/p>

2.在數(shù)線上感知“四舍五入”

師：43是在哪兩個(gè)數(shù)之間呢？

生1：在40和50之間。

師（出示圖1）：40和50都是43的好朋友，43想去他們其中一個(gè)的家玩，如果選擇最近的，43會(huì)去誰的家？

生2：43到40的家最近，會(huì)去40的家。

師（出示圖2）：那其他的數(shù)呢？如果選最近的，它們又會(huì)去誰的家？

生3：46會(huì)去50的家。

生4：47會(huì)去50的家。

生5：41會(huì)去40的家。

……

（教師根據(jù)學(xué)生的回答板書）

生6：45去40的家和去50的家一樣近，所以兩個(gè)家都可以去。

師：你說得很有道理，但是為了不讓45這樣的數(shù)為難，數(shù)學(xué)上規(guī)定——讓45去50的家。

師（出示圖3-1、圖3-2、圖3-3）：我們學(xué)校一共有1847位同學(xué)。觀察這三幅圖，我們學(xué)校的人數(shù)分別接近哪個(gè)整千數(shù)、哪個(gè)整百數(shù)和哪個(gè)整十?dāng)?shù)？

生7：1847到2000比較近，所以1847的近似數(shù)是2000。

師：還有不同想法嗎？

生8：1847到1800比較近，所以它的近似數(shù)是1800。

生9：1847到1850比較近，它的近似數(shù)是1850。

師：真奇怪， 1847的近似數(shù)一會(huì)兒是2000，一會(huì)兒是1800，一會(huì)兒又是1850，這不矛盾嗎？

生10：不矛盾，因?yàn)槲覀冇^察的范圍不一樣。

【評(píng)析：給41、42、43……49找最近的“家”，其實(shí)就是四舍五入法的生成過程。通過比較這些數(shù)與40、50的距離遠(yuǎn)近，四舍五入法有了一個(gè)形象的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生積極主動(dòng)參與這個(gè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，對(duì)新的概念的認(rèn)識(shí)水到渠成。圖3-1、圖3-2、圖3-3的出示是為了引導(dǎo)學(xué)生從直觀認(rèn)知提升到通過簡單的數(shù)學(xué)推理得到不同的精確程度的近似數(shù)?！?/p>

3.在頭腦中內(nèi)化“近似數(shù)”

師：你是怎么找到一個(gè)數(shù)的近似數(shù)的？

生1：我先思考這個(gè)數(shù)在哪兩個(gè)數(shù)之間，可以是幾千之間，也可以是幾百之間，還可以是幾十之間；然后考慮這個(gè)數(shù)更接近誰，誰就是它的近似數(shù)。

師：善于總結(jié)方法，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要的能力。請(qǐng)找一找5634的近似數(shù)。

生2（出示圖4）：我用這樣的圖來表示，得到5634的近似數(shù)分別是6000、5600、5630。

師：你為什么想到這樣來表示？

生2：畫圖比較麻煩，這樣比較簡單，而且可以清楚地看出數(shù)是在哪兩個(gè)數(shù)之間。

師：說說7895的近似數(shù)。

生3：整千近似數(shù)是8000，整百近似數(shù)是7900，整十近似數(shù)也是7900。因此，7895的近似數(shù)是7900。

【評(píng)析：在學(xué)生清楚近似數(shù)的意義后，筆者就讓學(xué)生自己梳理出找近似數(shù)的方法。在找5634的近似數(shù)的過程中，學(xué)生脫離了數(shù)線這一比較具象的方法，呈現(xiàn)了圖4的表示方法，這正是一個(gè)從具象到半抽象數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程。而找7895的近似數(shù)的過程，又能讓學(xué)生意識(shí)到一個(gè)數(shù)接近整百的近似數(shù)會(huì)與接近整十的近似數(shù)相同，進(jìn)一步在頭腦中內(nèi)化近似數(shù)的內(nèi)涵?！?/p>

【教學(xué)效果】

根據(jù)艾賓浩斯的遺忘曲線可知，人在短時(shí)間內(nèi)遺忘內(nèi)容較少。因此，為了真正了解求近似數(shù)的方法是否深入學(xué)生心中，筆者在教學(xué)結(jié)束兩個(gè)月之后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了檢測。

測試題如下：

（1）永樂小學(xué)有學(xué)生1308人，約（? ? ?）人。

（2）一臺(tái)彩色電視機(jī)的售價(jià)是8890元，約（? ? ?）元。

（3）一條高速公路全長4966米，約（? ? ? ）米。

通過以上數(shù)據(jù)如表1可以發(fā)現(xiàn)，同樣是教學(xué)后的檢測，這次的錯(cuò)誤率僅為5.40%，與之前的17.8%比較，錯(cuò)誤率明顯大幅下降。同時(shí)，從學(xué)生的多種答案中也可以看出，對(duì)于近似數(shù)的意義，學(xué)生已經(jīng)掌握得十分牢固。

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，尤其是當(dāng)抽象的概念對(duì)于小學(xué)生來說很難理解時(shí)，教師更要科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，以此幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。改進(jìn)后的教學(xué)把四舍五入放到數(shù)線上，利用數(shù)形結(jié)合賦予四舍五入一個(gè)直觀的幾何解釋，有效地化解了教學(xué)難點(diǎn)。也正是有了讓學(xué)生慢慢感悟近似數(shù)概念的過程，才會(huì)有學(xué)生提出的“‘冒牌’整十?dāng)?shù)”的說法。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中必須要多思考“在哪里？”“去哪里？”“怎樣去？”這三個(gè)問題，這樣的課堂才會(huì)煥發(fā)出無限的生命力。

（責(zé)編 金 鈴）