王蒙

［摘 要］蟬鳴有余聲，數(shù)學(xué)也有余聲。數(shù)學(xué)的余聲是用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗去實現(xiàn)問題解決、探尋知識本源、追覓知識歸宿。由扶到放，實現(xiàn)問題解決，這是做；由行到思，探尋知識本源，這是真做；從思生新，追覓知識歸宿，這是產(chǎn)生新價值。

［關(guān)鍵詞］做數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；創(chuàng)新意識；數(shù)學(xué)余聲

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）26-0093-03

筆者曾見過齊白石先生的《貝葉知了圖》，一張紙上只在三分之一的部分畫了一只抱葉而落的蟬，蟬的旁邊寫著“鳴蟬抱葉落，及地有余聲”，整幅畫有了聲音一般。筆者仿佛看到一只蟬趴在高高的樹梢上，一陣風(fēng)過，蟬隨葉落，葉隨風(fēng)飄，不僅有蟬的聲音，還有落葉的聲音，葉落后，蟬鳴仍在耳邊回蕩。

筆者一直思考：數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)有余聲，什么樣的數(shù)學(xué)課能有余聲呢？

陶行知先生說：“我們要在做上教，在做上學(xué)。拿做來教乃是真教，拿做來學(xué)方是實學(xué)。在勞力上勞心，一邊做，一邊想，必然產(chǎn)生新的價值?！睌?shù)學(xué)課程標準也指出，學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程。而數(shù)學(xué)實驗恰恰是通過對素材進行數(shù)學(xué)化的操作（做數(shù)學(xué)）來教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗、提高實踐能力、獲得解決問題的方法、提升思維品質(zhì)，說明“做”出來的數(shù)學(xué)確實有余聲。

一、做：由扶到放，實現(xiàn)問題解決

由扶到放，是成長的途徑?！胺觥笔侵笇?dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生用最短的時間獲得數(shù)學(xué)方法。“放”是模仿和嘗試，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)方法為基礎(chǔ)，積累活動經(jīng)驗，掌握知識技能。就如兒童學(xué)走路一樣，需要由扶（家長耐心指導(dǎo)）到放（兒童模仿和嘗試）?！白鰯?shù)學(xué)”也需要由扶到放，這與陶行知先生“把解決方法的手續(xù)程序安排停當，指導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生以最短的時間，經(jīng)過相類的經(jīng)驗，發(fā)生相類的理想，自己將這個方法找出來，并解決其他問題”的思想不謀而合。

1.在指導(dǎo)中獲得數(shù)學(xué)方法

正如陶行知先生說的“接知如接枝”，我們必須讓從自己經(jīng)驗里生長出來的知識做根，這樣別人相類的經(jīng)驗才能接上去。學(xué)生如果沒有“做數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗，不會動手實驗，就無法獲得數(shù)學(xué)方法，也不能解決其他問題，何談數(shù)學(xué)的余聲？所以教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”。必須說明的是，這里的“指導(dǎo)”不是指教師完全的包辦，而是指適時的演示與點撥。

例如，教學(xué)五年級上冊“平行四邊形的面積”時，教師用課件演示圖形的轉(zhuǎn)化過程，指出“借助平移將不規(guī)則的圖形變成規(guī)則圖形，這樣的方法就是轉(zhuǎn)化”。又如，教學(xué)蘇教版教材三年級上冊“軸對稱圖形”的折紙實驗時，為了向?qū)W生說明“對折”，教師邊折紙邊講解，指出“將一張紙的一半折過去，邊對著邊，就是對折”。

以上案例中，教師的指導(dǎo)不僅為學(xué)生動手實驗提供了可能，還在演示和點撥中滲透了“轉(zhuǎn)化”和“對稱”的數(shù)學(xué)思想方法。

2.在模仿中積累活動經(jīng)驗

指導(dǎo)是“扶”，模仿就是“扶放結(jié)合”。指導(dǎo)為學(xué)生動手實踐提供了標準和模板，照這種標準或模板學(xué)著做就是模仿。通過模仿，學(xué)生手腦協(xié)同參與數(shù)學(xué)實踐活動，實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”。由此，學(xué)生會想問題，會做事情，在學(xué)習(xí)過程中實現(xiàn)教育目標，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

在教學(xué)“平行四邊形的面積”相關(guān)的實驗時，教師利用課件演示轉(zhuǎn)化的思想方法，學(xué)生通過模仿進行動手實驗，將平行四邊形紙片轉(zhuǎn)化為長方形，并通過交流總結(jié)平行四邊形轉(zhuǎn)化前后的共同點。

上述實驗突出了兩個層次的活動經(jīng)驗，一是每個學(xué)生都經(jīng)歷了將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的探索過程，積累了轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗；二是學(xué)生的交流總結(jié)為接下來的公式推導(dǎo)提供了經(jīng)驗和素材。

3.在嘗試中掌握知識技能

“做數(shù)學(xué)”分為兩種，一種是已經(jīng)知曉數(shù)學(xué)知識，需要通過個體不斷嘗試實現(xiàn)自我構(gòu)建，另一種更為開放，是不知曉數(shù)學(xué)知識，需要自身探索，在操作、觀察、對比、推理等活動中不斷嘗試與調(diào)整。這兩種“做”都以學(xué)生的嘗試為重要基礎(chǔ)，嘗試的過程不需要教師過多指導(dǎo)，學(xué)生在動手實踐、獨立思考、合作交流的過程中掌握知識技能，解決實際問題。

在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時，學(xué)生先嘗試從給出的4根小棒中任選3根，看能否圍成一個三角形，并根據(jù)結(jié)果將小棒分類。接著，學(xué)生從小棒長度關(guān)系出發(fā)，嘗試歸納不能圍成三角形的原因及能圍成三角形的規(guī)律。最后，學(xué)生重復(fù)實驗，驗證猜想。

學(xué)生在不斷嘗試中動手操作、觀察、猜想、歸納、驗證，經(jīng)歷知識生成、再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的過程，掌握知識技能。

二、真做：由行到思，探尋知識本源

陶行知提出：“真正之做只是在勞力上勞心，用心以制力。在勞力上勞心，是一切發(fā)明之母。事事在勞力上勞心，便可得事物之真理?！睌?shù)學(xué)課程標準指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗?！睂W(xué)生獲得的基礎(chǔ)知識和基本技能對于世間無窮的真理來說，仍是有限的。要想有所提升，學(xué)生就需要學(xué)會思考，探尋知識的本源。數(shù)學(xué)學(xué)科是一棵枝繁葉茂的大樹，數(shù)學(xué)的本源是數(shù)學(xué)學(xué)科生長的根本，能給予數(shù)學(xué)學(xué)科源源不斷的養(yǎng)料。數(shù)學(xué)知識的本源在哪里？就在數(shù)學(xué)的基本原理、基本思想和基本結(jié)構(gòu)中。抓住知識的本源，才能養(yǎng)好這棵大樹。

1.在說理中明確數(shù)學(xué)原理

教育心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，低年級學(xué)生的有效學(xué)習(xí)往往從動作表征開始，通過操作積累感性認識。學(xué)生的言物表達可以有效促進自身的思考，通過說一說讓學(xué)生的思考順著正確的、積極的思維方向，能幫助學(xué)生從言物階段逐漸過渡到言理階段，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言說數(shù)學(xué)的習(xí)慣，用語言進一步推動思維的發(fā)展。

教學(xué)算式“36-8”的計算原理，教師提問：“結(jié)果是不是28呢？你能用小棒來驗證一下嗎？”問題一出，學(xué)生思如泉涌，有的說：“先拿走6根，再從一捆10根中拿走2根，剩下2捆和8根，就是28根?！庇械恼f：“從一捆里直接拿走8根，還剩2捆加2根與原來的6根，就是28根?！边€有的說：“一捆是10根，與6根合起來有16根，從16根中拿走8根，還剩2捆和8根，最后也剩28根?！睂W(xué)生通過說理將新知轉(zhuǎn)化為舊知，他們從數(shù)的本質(zhì)上思考退位減并敘述退位減的算理，在算中說、說中悟、悟中明。

2.在提問中綻放數(shù)學(xué)思想

著名數(shù)學(xué)家弗利德曼說：“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個數(shù)學(xué)學(xué)科就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的?！薄昂脝栴}”驅(qū)動深度思維，精彩的問題都是學(xué)生真實的心聲，是他們對問題強烈的思考。

教學(xué)習(xí)題“用6個5、6個0組成一個十二位數(shù)，最多讀幾個‘零’？”時，問題一出，學(xué)生眼睛盯著黑板，頭腦在思考。有學(xué)生說：“最多讀5個‘零’?！苯處熣堖@位學(xué)生到前面講述自己的想法，只見他拿起粉筆在黑板上圈圈畫畫，寫出505005050505，道：“0在5與5中間才讀‘零’，連續(xù)兩個0只讀1個‘零’，因此，5與5之間盡量只放1個0，才能讀出最多的‘零’。又因為最前面的數(shù)字不能為0，導(dǎo)致有連續(xù)兩個0或0在億級（萬級、個級）末尾，而0在億級（萬級、個級）末尾不讀，所以讀5個‘零’?！彪S即，其他學(xué)生動手圈圈畫畫起來，得出“我發(fā)現(xiàn)用這個思路也可以解決4個6、4個0組成的八位數(shù)最多讀幾個‘零’”“4個0和其他4個非0的數(shù)組成八位數(shù)，最多讀出3個‘零’”等發(fā)現(xiàn)。

課到此處，教師欣喜，這就是模型思想在圈圈畫畫中的悄然滲透。

3.在遷移中凸顯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

皮亞杰指出：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種結(jié)構(gòu)始終是完全開放的。當數(shù)學(xué)實體從一個水平轉(zhuǎn)移到另一個水平時，它們的功能會不斷改變，對這類實體進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象?！苯Y(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)的基本特征，教數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這種“授之以漁”式的教學(xué)，抓住了數(shù)學(xué)知識的本源。

在“認識千米”一課的教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生理解知識間的聯(lián)系。上課前5分鐘，教師回顧學(xué)過的長度單位并歸納它們之間的進率，發(fā)現(xiàn)長度單位之間的進率都是10，隨后引導(dǎo)學(xué)生想象：“如果繼續(xù)下去，該是什么長度單位？”學(xué)生順勢遷移，提出十米、百米、千米等長度單位。教師板書并揭示：“這些長度單位在數(shù)學(xué)里都是存在的，只不過十米和百米用得不多，千米是國際通用長度單位?！?/p>

三、新價值：從思生新，追覓知識歸宿

我們不僅要搞清楚“知識從哪兒來”，還要弄清楚“知識到哪兒去”，猶如修棧搭橋，確立了起點和終點，便可著手設(shè)計和規(guī)劃，形成聯(lián)系前后的知識研究路徑。

筆者曾見過需要十人合抱的大樹，它樹葉繁茂，根莖發(fā)達。正如前文所述，數(shù)學(xué)學(xué)科就如一棵大樹，要問對大樹來說最重要的是什么，便是深扎泥土、不斷生長。因此，筆者認為學(xué)習(xí)知識最重要的事是讓知識成長得更好。如何才是成長得更好？枝繁葉茂式的舉一反三、抽出新芽式的別出心裁、春風(fēng)吹又生式的“新”益求“新”。

1.在自主中舉一反三

孔子說：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也。”這里的“一”是自己的經(jīng)驗，知識從這里生長。當一個人的行為到達自主階段，說明他已經(jīng)獲得需要的知識、技能，并能在勞力上勞心，能從這些經(jīng)驗中生長出其他知識，為創(chuàng)新做好準備。

在蘇教版教材四年級下冊“相遇問題”的例題教學(xué)中，教師沒有直接評講而是先讓學(xué)生自主畫線段圖，通過展示學(xué)生的作品明確畫線段圖需要增加“時間”這個條件，并通過交流討論得出線段圖的正確畫法。例題的學(xué)習(xí)基于學(xué)生的經(jīng)驗，成為那個“一”，而課本中設(shè)計的“試一試”“練一練”則是新知的“反三”，學(xué)生很快就厘清思路，確定了解題方法。一節(jié)課下來，學(xué)生動手的時間居多，教師只是在旁引導(dǎo)，學(xué)生通過舉一反三弄懂一類問題，學(xué)生學(xué)得開心，教師教得也舒服。

2.在聯(lián)想中別出心裁

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維如果長期處于碎片化狀態(tài)，學(xué)習(xí)負擔就會加重，甚至?xí)饾u喪失學(xué)習(xí)的自信和自主發(fā)展的能力。教師需要適時的推想，從點狀知識出發(fā)，聯(lián)系相似的知識，打破思維定式，實現(xiàn)由點及線、由線到面的思維建構(gòu)，為創(chuàng)新打開一扇窗。

如在用數(shù)對確定位置的練習(xí)教學(xué)中，學(xué)習(xí)了“數(shù)對中第一個數(shù)字表示列，第二個數(shù)字表示行”后，學(xué)生聯(lián)想：“第一個數(shù)字與第二個數(shù)字相同的數(shù)對具有怎樣的特征？”于是教師給出數(shù)對（1，1）、（2，2）、（3，3）等，讓這些位置的學(xué)生站起來。大家發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生都在一條斜線上。隨即，又有學(xué)生聯(lián)想：“數(shù)對中兩個數(shù)字之和相同的一組數(shù)對又有怎樣的特征？”教師抓住契機，讓在（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6）這些位置上的學(xué)生站起來。大家發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生也是在同一條斜線上。教師不由得在想：今后他們學(xué)習(xí)一次函數(shù)時會聯(lián)想到今天的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的。

在這一過程中，基于行與列分別相同的數(shù)對的特點進行聯(lián)想，學(xué)生的思維得以發(fā)散，打開函數(shù)思想的新世界，為學(xué)生的創(chuàng)造學(xué)習(xí)打開了一扇窗。

3.在創(chuàng)造中“新”益求“新”

數(shù)學(xué)源于生活而又用于生活，要使學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時能自覺運用數(shù)學(xué)知識，教師就要以課堂教學(xué)為契機，根據(jù)學(xué)生的能力水平，引導(dǎo)學(xué)生從參與者變?yōu)樵O(shè)計者。學(xué)生在自我設(shè)計中加深對數(shù)學(xué)的理解，這種設(shè)計的思維是生生不息的，能源源不斷地產(chǎn)生新的東西，讓學(xué)生實現(xiàn)自我超越和自我頓悟，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

如在“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)中，教師基于課題引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的圖形，如三角形、四邊形等，著眼于已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形內(nèi)角和，提出問題：“要知道任意一個多邊形的內(nèi)角和，有什么好辦法？”學(xué)生獨立思考后，設(shè)計出研究思路：從特殊的圖形開始研究，看看有什么規(guī)律，再用這一規(guī)律解決問題。從簡單圖形入手探索規(guī)律，是從特殊到一般的研究思路，是學(xué)生創(chuàng)造意識的體現(xiàn)。

“做數(shù)學(xué)”不但要做，還要做好。怎樣做才叫好？一邊行一邊想就會越做越好，這樣的做是真做?！罢孀觥痹丛床粩?，思想就會生生不息。生生不息的“思”催生思維上的頓悟，必定產(chǎn)生新價值，這種新價值也是源源不斷，生生不息的?！白觥背鰜淼臄?shù)學(xué)不僅教會學(xué)生顯性的基礎(chǔ)知識和基本技能，還讓學(xué)生獲得“帶得走”的數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)新意識。做上行，行上思，思出新，做出來的數(shù)學(xué)有余聲。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 周德藩.走近陶行知[M]. 北京：高等教育出版社， 2010.

[2] 林碧英.多層面說理：運算教學(xué)的新常態(tài)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（06）：67-69.

[3] 周衛(wèi)東.有“核仁”的數(shù)學(xué)課[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（06）：39-40.

[4] 吳靜.數(shù)學(xué)實驗：增強學(xué)生的創(chuàng)新意識[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（24）：37-38.

（責編 楊偲培）