王芳, 王平

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函數(shù)單調(diào)性判定定理的推廣

王芳1, 王平2

(1. 長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 湖南長沙, 410114; 2. 華僑大學(xué)廈門工學(xué)院, 福建廈門, 361021)

將函數(shù)單調(diào)性判定定理中函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)的條件減弱至Dini導(dǎo)數(shù)存在, 并利用新的證明方法將原有定理的充分條件進(jìn)行了推廣, 得到了新的充分條件、必要條件和充要條件。

函數(shù)單調(diào)性; 連續(xù)性; Dini導(dǎo)數(shù); 充要條件

單調(diào)函數(shù)是一種很重要的函數(shù)類, 函數(shù)單調(diào)性判定定理尤為重要。大學(xué)數(shù)學(xué)教材提供了單調(diào)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的討論, 以及一種判別函數(shù)單調(diào)性的方法, 給出了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號之間的密切聯(lián)系, 見如下判定定理。

判定定理 設(shè)函數(shù)=()在[,]上連續(xù), 在(,)內(nèi)可導(dǎo), 若在(,)內(nèi)()＞0, 那么函數(shù)在[,]上單調(diào)增加; 若在(,)內(nèi)()＜0, 那么函數(shù)=()在[,]上單調(diào)減少[1]。

這個判定定理中要求函數(shù)在[,]上連續(xù), 在(,)內(nèi)可導(dǎo), 而有很多函數(shù)并不滿足這個條件。例如很常見的絕對值函數(shù)雖在[-1, 1]上連續(xù), 但在(-1, 1)內(nèi)并不可導(dǎo), 并不滿足如上定理的條件, 故不能用上述定理判斷其函數(shù)在[-1, 1]上的單調(diào)性。而本文在上述判定定理的基礎(chǔ)上, 減弱函數(shù)所需滿足的條件, 給出判斷函數(shù)單調(diào)性的新條件。為了給出新的判定定理, 首先引入函數(shù)上下極限[2]和Dini導(dǎo)數(shù)的定義[3–4]。

定義2 設(shè)函數(shù)()在(0)內(nèi)有定義, 取, 且, 則函數(shù)()取得增量。如果與之比當(dāng)時的上極限存在, 則稱函數(shù)在點0處是右上可導(dǎo)的, 并稱這個極限為函數(shù)在點0處的右上導(dǎo)數(shù), 記為, 即

類似地,還可以定義函數(shù)()在0處的右下導(dǎo)數(shù),函數(shù)()在0處的左上導(dǎo)數(shù),函數(shù)()在0處的左下導(dǎo)數(shù)。

上述右上導(dǎo)數(shù)、右下導(dǎo)數(shù)、左上導(dǎo)數(shù)、左下導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為Dini導(dǎo)數(shù)。下面利用Dini導(dǎo)數(shù)的定義給出連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性與Dini導(dǎo)數(shù)的定號性關(guān)系。

根據(jù)確界原理, 得由x構(gòu)成的非空數(shù)集必有上確界, 設(shè)其上確界為, 顯然。根據(jù)函數(shù)()在[,]上的連續(xù)性知, 故對任意, 有, 從而0。與假設(shè)矛盾, 故當(dāng)時,()單調(diào)遞增。

若在證明過程中將()＞的點的上確界改成了()＜的點的下確界, 則還可得到如下判定定理和推論。

(1) 函數(shù)()在[,]單調(diào)遞增的充要條件是對任意,;

(2) 函數(shù)()在[,]單調(diào)遞減的充要條件是對任意,。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李應(yīng)求, 王躍恒. 高等數(shù)學(xué)(上)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013: 110–116.

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[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 145–149.

[4] 廖曉昕. 穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 1999: 2–10.

(責(zé)任編校:劉剛毅)

The generalization of functional monotonicity theorem

Wang Fang1, Wang Ping2

(1. College of Mathematics and Computing Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. Xiamen Institute of Technology, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

The differentiable condition is weaken to the existence of Dini derivative, and by the new method, the original theorem is generalized, also some new sufficient condition, necessary condition and sufficient and necessary condition are obtained.

functional monotonicity; continuity; Dini derivative; sufficient and necessary condition

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.003

O 172

1672–6146(2015)02–0005–02

王芳, 46096140@qq.com。

2014–12–15

長沙理工大學(xué)教研教改項目(JG1241)；湖南省教育廳項目(13C1035); 湖南省科技廳項目(2014FJ3071)。