鄧?yán)? 鄭言

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《射影幾何》中仿射性質(zhì)證明錯(cuò)誤的糾正

鄧?yán)? 鄭言

(國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院, 湖南長(zhǎng)沙, 410072)

《射影幾何》中關(guān)于仿射性質(zhì)有一個(gè)重要結(jié)論“兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量”, 一些教材中關(guān)于該結(jié)論的證明存在錯(cuò)誤。本文用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的方法, 糾正了錯(cuò)誤證明, 給出了詳細(xì)的證明過(guò)程, 旨在教授學(xué)生正確的證明方法, 引導(dǎo)學(xué)生采用合理的類比思維。

仿射幾何;仿射性質(zhì); 證明;糾正

“仿射幾何”是高校數(shù)學(xué)類幾何序列課程教學(xué)改革的一門較有爭(zhēng)議性的課程, 近年來(lái)提倡對(duì)其引進(jìn)并加以改革的呼聲很高[1–2], 很多出版社都出版了與之相關(guān)的教材, 重新撰寫(xiě)了部分內(nèi)容, 某些就以“高等幾何”為題做了有益的嘗試[3]。但個(gè)別教材犯有忽視技術(shù)細(xì)節(jié)的錯(cuò)誤, 如羅森編《幾何學(xué)概論》[4]中, 對(duì)于“兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量”的證明存在錯(cuò)誤。為了避免誤導(dǎo), 澄清和改正錯(cuò)誤是必要的。

1 問(wèn)題的提出

在《幾何學(xué)概論》(羅森, 嚴(yán)虹, 廖義琴)的第四章第2.5節(jié)中, 主要講述的是關(guān)于仿射性質(zhì)的核心結(jié)論, 其陳述為“兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量”。原書(shū)給出的證明如下:

設(shè)三角形三點(diǎn)1(1,1),2(2,2),3(3,3)經(jīng)過(guò)仿射變換

, (2)

2 錯(cuò)誤及糾正

糾正的主要思想是構(gòu)造與仿射坐標(biāo)系相關(guān)的直角坐標(biāo)系, 在新的直角坐標(biāo)系中給出仿射變換前后同一三角形的面積表示。

設(shè)仿射坐標(biāo)系(圖1)中2坐標(biāo)軸分別為1和2, 模均為1, 夾角為, 則有, 設(shè)變換后的直角坐標(biāo)系中與1垂直的向量為(圖2)。設(shè),, 則, 其單位化后得, 故變換為, 直角坐標(biāo)系變換后原3點(diǎn)坐標(biāo)分別變?yōu)?1+1cos,1sin), (2+2cos,2sin), (3+3cos,3sin)。兩三角形面積分別為:

,

圖1 原仿射坐標(biāo)系

圖2 變換后的直角坐標(biāo)系

3 結(jié)束語(yǔ)

上述定理證明所犯的錯(cuò)誤具有一定的普遍性和代表性, 本文糾正這一錯(cuò)誤, 旨在教授學(xué)生正確的證明方法, 引導(dǎo)學(xué)生采用合理的類比思維。在糾錯(cuò)的過(guò)程中所得到的仿射坐標(biāo)系下三角形的面積公式有普遍適用性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 邢妍. 高等幾何教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J]. 保山師專學(xué)報(bào), 2007, 26(5): 1–3.

[2] 羅崇善. 編寫(xiě)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)教材《高等幾何》的思考—關(guān)于數(shù)學(xué)教材改革之淺議[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2000, 23(6): 1–2.

[3] 梅向明, 劉增賢, 王匯淳, 等. 高等幾何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000: 36–42.

[4] 羅森, 嚴(yán)虹, 廖義琴. 幾何學(xué)概論[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2011: 111.

(責(zé)任編校: 江河)

The correction of the proof of affine property in the textbook related to projective geometry

Deng Lei, Zheng Yan

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410072, China)

Errors about the proof of an important conclusion that two triangular area ratio is affine invariant exist in some textbooks of introduction to Geometry. Aimed to teach the proper method of proof and to guide to apply reasonable analogy-thinking, errors in one of these books are corrected by means of reproving the core property of the affine transformation with the method of coordinate transformation.

affine geometry; affine property; prove; corrected

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.020

O 185.1

1672–6146(2015)02–0070–02

鄧?yán)? 491994909@qq.com。

2014–10–30