魯金金

摘 要：通過(guò)介紹MATLAB在馬柯維茨的證券投資組合模型——均值—方差模型中的應(yīng)用，在加深對(duì)投資組合模型的了解的同時(shí)達(dá)到簡(jiǎn)單的應(yīng)用MATLAB進(jìn)行投資組合分析的目的。

關(guān)鍵詞：投資組合；均值-方差模型；有效前沿

中圖分類(lèi)號(hào)：F83

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：16723198（2015）19011603

1 理論引入

基于我國(guó)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)體制改革的深化，我國(guó)國(guó)民的理財(cái)觀念也逐漸提高，證券投資逐漸成為一個(gè)廣泛運(yùn)用的投資渠道。證券投資是為了獲得收益，但獲得收益的同時(shí)投資者也不得不承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)。正所謂“魚(yú)與熊掌不可兼得”，投資者怎樣合理分配資金投資到不同資產(chǎn)，確定一個(gè)各類(lèi)資產(chǎn)的投資額占投資總數(shù)額的適當(dāng)比例，使投資者持有資產(chǎn)的總收益盡可能高并且風(fēng)險(xiǎn)盡可能低，如何計(jì)算組合投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益以及怎樣分配資產(chǎn)使讓這兩個(gè)指標(biāo)達(dá)到一定的平衡是投資者亟待解決的問(wèn)題。

大部分資產(chǎn)配置分析都建立在馬科維茲最優(yōu)證券投資組合理論的基礎(chǔ)上。50年代和60年代初，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茲1952年在《財(cái)務(wù)學(xué)刊》發(fā)表了著名的“資產(chǎn)組合的選擇”一文，其運(yùn)用了均值-方差的分析方法。這一獨(dú)創(chuàng)性的方法首次將數(shù)理分析運(yùn)用于金融資產(chǎn)收益與風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的分析，為解決收益與風(fēng)險(xiǎn)的矛盾問(wèn)題提供了一個(gè)全新的思路。

其主要思想是，根據(jù)每一種證券的預(yù)期收益率（用均值衡量）、風(fēng)險(xiǎn)（用方差衡量）和所有證券間的協(xié)方差矩陣，得到投資組合的有效前沿，這個(gè)有效前沿與投資者的效用無(wú)差異曲線的切點(diǎn)即為最佳投資組合。

2 模型簡(jiǎn)介

2.1 基本假設(shè)

（1）市場(chǎng)是有效的，證券的價(jià)格反映了證券的內(nèi)在經(jīng)濟(jì)價(jià)值，每個(gè)投資者都掌握了充分信息，了解每種證券的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）投資者是理性的，即投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益。

（3）投資者具有單周期視野，不允許賣(mài)空和賣(mài)空。

（4）證券的收益率服從正態(tài)分布。

（5）無(wú)交易成本。

2.2 單一證券的收益與風(fēng)險(xiǎn)

ni=1Xi=1

即滿(mǎn)足這兩個(gè)約束條件的情況下選擇組合的比例系數(shù)使組合的、方差最小化。對(duì)于每個(gè)給定的

Rp可以解除相應(yīng)的σp，每一對(duì)（Rp，σp）構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)差-預(yù)期收益率圖上的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，這些點(diǎn)連成的曲線即有效前沿。

2.5 最優(yōu)投資組合

有效集向上凸的特性和無(wú)差異曲線（給投資者帶來(lái)同樣滿(mǎn)足程度的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)的所有組合）向下凹的特性決定了有效集和無(wú)差異曲線的相切點(diǎn)只有一個(gè)，最優(yōu)投資組合是唯一的。對(duì)投資者而言，有效集是客觀存在的，而無(wú)差異曲線則是主觀的，它是由自己的風(fēng)險(xiǎn)—收益偏好決定。

3 基于matlab的實(shí)證分析

下文將以一個(gè)任意選取的股票組合為例，分析無(wú)交易成本情況下的的最優(yōu)投資組合比例：

3.1 單個(gè)證券的期望收益率

選擇平安銀行（sz000001）、萬(wàn)科A（sz000002）、國(guó)農(nóng)科技（sz000004）、深圳A（sz000006）、神州高鐵（sz000008）五只股票計(jì)算其期望收益率：E（R1）=-0.0024，E（R2）=-6.2616e-004，E（R3）=0.0152，E（R4）=0.0135，E（R5）=0.0023。

3.2 matlab操作

（1）在MATLAB中可以通過(guò)cov（RetSeries）函數(shù)計(jì)算協(xié)方差矩陣，其中RetSeries代表收益率矩陣，本例中協(xié)方差矩陣如表1。

（2）在MATLAB中通過(guò)調(diào)用frontcon（ExpReturn， ExpCovariance， NumPorts）求解有效前沿（不指定輸出可以得到有效前沿曲線圖），其中ExpReturn為收益率矩陣，ExpCovariance為協(xié)方差矩陣。NumPorts為有效前沿上輸出點(diǎn)的個(gè)數(shù)，默認(rèn)為10；可選項(xiàng)若無(wú)輸入可用“[ ]”代替。本例中得到有效前沿如圖1。

圖1 有效前沿

（3）求解最優(yōu)投資組合。

假設(shè)投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為3，通過(guò)在MATLAB中如下的創(chuàng)立m文件，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，如圖2。

圖2 最優(yōu)投資組合m文件

輸入?yún)?shù)的含義：ExpReturn表示資產(chǎn)預(yù)期收益率，ExpCovariance表示資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣PortWts表示資產(chǎn)權(quán)重。

運(yùn)行這個(gè)m文件可以得到如下輸出結(jié)果：RiskyRisk=0.0322，RiskyReturn=0.0136，RiskyWts=0.0596，0，0.6446，0.2958，0，RiskyFraction=43367，OverallRisk=0.1397，OverallReturn=00587。

3.3 結(jié)論與建議

由以上輸出結(jié)果可知：最優(yōu)組合p的風(fēng)險(xiǎn)為00322，最優(yōu)組合的期望收益率為0.0136，最優(yōu)組合中的5只股票的權(quán)重分別為：0.0596，0，0.6446，0.2958，0，組合p中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占比重為：4.3367，總風(fēng)險(xiǎn)為：0.1397，總的期望收益率為：0.0587。所以，最優(yōu)資產(chǎn)分配為：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：1-4.3367=-3.3367；平安銀行：4.3367*0.0596=0.2585；萬(wàn)科A：0；國(guó)農(nóng)科技：43367*0.6446=2.7954；深振業(yè)A：4.3367*0.2958=1.2828；神州高鐵：0。這里，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占比例為負(fù)，其含義是以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入資產(chǎn)投資于其他股票風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。由于萬(wàn)科A股和神州高鐵的期望收益率為負(fù)，理性投資者不會(huì)將資金投資于這兩支股票而是更多地投資于期望收益率更高的國(guó)農(nóng)科技。

4 結(jié)論

證券投資組合理論為現(xiàn)代投資組合理論奠定了基礎(chǔ)，在馬科維茲的基礎(chǔ)上誕生了很多證券市場(chǎng)理論。馬科維茲對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因素形成了系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)并提供了衡量方法。據(jù)此馬科維茲提供了以均值-方差分析為基礎(chǔ)的最大化效用的一整套組合投資理論。在證券組合中，可能出現(xiàn)單個(gè)證券的收益率和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值并不理想但卻被納入組合中的情況。原因是它與證券組合中的證券相關(guān)性較小甚至是負(fù)相關(guān)。比如本文例子中的平安銀行股票收益率很低，但其與組合中的其他股票的相關(guān)系數(shù)很小，也被納入組合之中。當(dāng)組合中證券的數(shù)量較多時(shí)，投資組合的方差大小更多地由證券之間的協(xié)方差決定，而單個(gè)證券的方差并不是主要因素。由此看來(lái)，投資組合方差的計(jì)算公式不僅解釋了分散投資的合理性，也對(duì)分散投資起到了指導(dǎo)作用。

當(dāng)然，馬科維茲證券投資組合理論也存在一定的局限性。首先，理論假設(shè)的局限性，它給投資者規(guī)定了一個(gè)時(shí)間區(qū)間（時(shí)間眼界Time Horizon），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)和收益是靜態(tài)數(shù)據(jù)。而現(xiàn)實(shí)中，瞬息萬(wàn)變的金融世界并不會(huì)出現(xiàn)靜態(tài)的局面，于是，馬科維茲的最優(yōu) 組合可能不再是最優(yōu)，甚至是無(wú)效的。但是，如果每個(gè)投資者都從實(shí)際出發(fā)，根據(jù)變化調(diào)整自己的資產(chǎn)組合，這就導(dǎo)致投資者的時(shí)間區(qū)間不同，與模型中的假設(shè)相矛盾。其次，邏輯的局限性，該模型的目的在于分散組合的風(fēng)險(xiǎn)但卻不降低收益。這在整個(gè)證券市場(chǎng)上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榉窍到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)客觀存在，無(wú)法消除。部分投資者降低和分散的風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際上轉(zhuǎn)移到了另一部分投資者那里。最后，度量的局限性，以資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際上是考慮了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，而實(shí)證分析表明證券投資還存在利率風(fēng)險(xiǎn)，道德風(fēng)險(xiǎn)等。

無(wú)論如何，有效組合和最優(yōu)資產(chǎn)組合的概念都是現(xiàn)代投資理論的核心。馬科維茲為投資者解決了如何評(píng)有效組合和選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合提供了解決方法，即投資者可以運(yùn)用二次規(guī)劃這種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)技術(shù)，可以對(duì)有效組合的預(yù)期收益，標(biāo)準(zhǔn)差等進(jìn)行評(píng)估，再與投資者的無(wú)差異曲線相聯(lián)系，便可以得出最優(yōu)的投資組合。這一原來(lái)非常簡(jiǎn)單，但由于當(dāng)時(shí)數(shù)據(jù)處理設(shè)備的局限性，對(duì)數(shù)量龐大的證券的有效組合進(jìn)行計(jì)算很難實(shí)現(xiàn)。但隨著科技的發(fā)展，運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)處理就變得非常方便。

比如本文中運(yùn)用的MATLAB，它是數(shù)值計(jì)算方面首屈一指的數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件。通過(guò)以上分析可以清晰得看到它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)中常用的形式十分相似，故容易上手，用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題要比用C語(yǔ)言等完成相同的工作要簡(jiǎn)便快捷得多，適合沒(méi)有太多軟件操作基礎(chǔ)的普通投資者用以分析投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)，選擇最優(yōu)組合。

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