廖宗明

摘 要： 在現(xiàn)今的中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板以它強(qiáng)大的功能改進(jìn)了中職數(shù)學(xué)的教學(xué)手段。本文對(duì)幾何畫板功能進(jìn)行了分析，用實(shí)例概括了幾何畫板在中職數(shù)學(xué)的一般應(yīng)用，研究了幾何畫板對(duì)中職數(shù)學(xué)教學(xué)所起的作用。結(jié)論表明，合理利用幾何畫板教學(xué)，能夠提高中職課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞： 中職數(shù)學(xué)教學(xué) 幾何畫板 教學(xué)應(yīng)用 教學(xué)作用

在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代、信息社會(huì)中，知識(shí)以人們無法想象的速度在增加和更新，中職數(shù)學(xué)教學(xué)手段、教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)，從以前的黑板上教學(xué)逐漸過渡到現(xiàn)在的多媒體輔助教學(xué)。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！?/p>

幾何畫板是一個(gè)通用的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境，提供豐富而方便的創(chuàng)造功能，使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學(xué)課件。相對(duì)于PowerPoint、Flash等中職數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件，幾何畫板在中職數(shù)學(xué)圖形的空間結(jié)構(gòu)、軌跡的形成等方面，有著不可取代的優(yōu)勢(shì)。它并非只是替代了直尺、圓規(guī)的一個(gè)畫圖工具，更重要的是它所作的圖形、圖像是動(dòng)態(tài)的，更注重中職數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性，其最突出的優(yōu)點(diǎn)就是使圖形、圖像在運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)下保持不變的幾何關(guān)系。由于幾何畫板學(xué)習(xí)入門容易，操作簡(jiǎn)單，資源節(jié)省，以及其強(qiáng)大的動(dòng)畫功能等優(yōu)點(diǎn)，已被越來越多中職數(shù)學(xué)教師所重視，它必將給中職數(shù)學(xué)教學(xué)帶來不小的變革。

一、幾何畫板的功能

幾何畫板以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過這些元素的構(gòu)造、變換、平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等可以構(gòu)造復(fù)雜的圖形。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板為新的探索式教學(xué)提供了可能。它有以下幾個(gè)功能。

1.圖形繪制及度量、計(jì)算功能幾何畫板中，不僅有直角坐標(biāo)系功能，還能畫出解析。

幾何中所有的二次曲線，還有極坐標(biāo)系，可以作出由極坐標(biāo)確定的所有曲線。在同個(gè)坐標(biāo)系中，可以作出多個(gè)函數(shù)圖形進(jìn)行比較，利用圖像的直觀性，給學(xué)生創(chuàng)造觀察、比較的環(huán)境。比如：可以利用幾何畫板畫出指數(shù)函數(shù)的圖像；利用幾何畫板度量直線傾斜角的角度；利用幾何畫板度量任意兩點(diǎn)間的距離。

2.圖形變換功能。

幾何畫板提供了平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等圖形變換功能，可以按指定的值或動(dòng)態(tài)的值對(duì)圖形進(jìn)行這些變換。只要給出函數(shù)表達(dá)式，就可以做出任意一個(gè)給定區(qū)間上的初等函數(shù)圖像，并且可以動(dòng)態(tài)控制含若干個(gè)參數(shù)的函數(shù)圖像，隨著參數(shù)值的變化，圖像的形狀也跟著變動(dòng)。比如：可以作出函數(shù)y=ax■+bx+c的圖像，并可以改變參數(shù)a、b、c的大小，進(jìn)而改變圖像的形狀。

3.對(duì)幾何定理的展示。

如果存在不變的幾何關(guān)系，即幾何定理，幾何畫板就能使這些幾何關(guān)系保持不變。比如：可以利用幾何畫板證明和展示角平分線定理。

4.動(dòng)態(tài)對(duì)象的跟蹤。

幾何畫板能對(duì)動(dòng)態(tài)對(duì)象進(jìn)行跟蹤，并能顯示該對(duì)象的軌跡，如：點(diǎn)的軌跡、線的軌跡、形成曲線等。比如：我們要求到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡，就可以利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地把點(diǎn)的軌跡顯示出來。

5.簡(jiǎn)便的動(dòng)畫功能。

幾何畫板可以針對(duì)幾何教學(xué)的要求制作動(dòng)畫和移動(dòng)對(duì)象，可以體現(xiàn)幾何體的運(yùn)動(dòng)。比如：可以利用幾何畫板進(jìn)行三角形翻折、繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

二、幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.繪制精確的幾何圖形。

規(guī)范準(zhǔn)確的幾何圖形往往能給人以美的享受。作為中職數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，并要善于運(yùn)用這個(gè)特點(diǎn)輔助我們的教學(xué)。幾何畫板這個(gè)軟件正好給我們提供了這樣的一個(gè)平臺(tái)，它不僅可以準(zhǔn)確地繪制出任意的幾何圖形，而且可以在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)態(tài)地保持元素之間的幾何關(guān)系。

例如：中職數(shù)學(xué)里面的圓周角定理，在常規(guī)的教學(xué)中，往往是先由教師給出定理，再證明定理，最后舉例應(yīng)用。這樣處理教材的內(nèi)容往往使定理失去了應(yīng)有的魅力，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中職數(shù)學(xué)的熱情和興趣。再者，很多中職學(xué)校缺少教具，利用隨手畫的圓教學(xué)，圖形不美觀，教學(xué)效果不好，也缺少了中職數(shù)學(xué)的圖形美。如果在教學(xué)中能把幾何畫板引入課堂，并制作成相應(yīng)的課件，不僅體現(xiàn)了中職數(shù)學(xué)圖形美和圖形幾何的嚴(yán)謹(jǐn)性，還能動(dòng)態(tài)地研究定理的結(jié)論。比如下圖：利用幾何畫板的拖拉、測(cè)算等功能，可以任意地拖動(dòng)A、B兩點(diǎn)以改變?cè)揂、B、C三點(diǎn)的位置，讓同學(xué)們觀察相應(yīng)圓周角和圓心角的大小和它們的比例關(guān)系，并試著用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)而提出圓周角定理。有條件的話，可以讓學(xué)生自己動(dòng)手親自試驗(yàn)；在同學(xué)們觀察實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師再利用構(gòu)造圖形的方法對(duì)該定理給予證明。這樣讓學(xué)生通過老師或自己的操作感受其中的規(guī)律，體會(huì)其中的艱苦，嘗試成功后的喜悅，從而培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)幾何的興趣。

2.研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

中職數(shù)學(xué)里面有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，函數(shù)的圖像和性質(zhì)在中職數(shù)學(xué)里既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。如果在教學(xué)中能充分利用幾何畫板將抽象的內(nèi)容具體化、形象化，那么對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)無疑是很有幫助的。

例如：教學(xué)中職數(shù)學(xué)里面的指數(shù)函數(shù)時(shí)，為了更好地研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以借助幾何畫板做演示。通過移動(dòng)P點(diǎn)改變指數(shù)函數(shù)底數(shù)a的大小，讓學(xué)生通過觀察或操作理解底數(shù)a的大小改變對(duì)指數(shù)單調(diào)性的影響；在移動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P的過程中觀察B點(diǎn)的坐標(biāo)一直不變，得出指數(shù)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)（0，1）；移動(dòng)點(diǎn)P并移動(dòng)點(diǎn)A，觀察點(diǎn)A的坐標(biāo)，得出指數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集，值域是正實(shí)數(shù)集。

這樣，就會(huì)使整個(gè)內(nèi)容變得非常形象直觀，易于接受，比過去直接用理論說明或簡(jiǎn)單地在黑板上畫幾個(gè)草圖講解的效果要好得多。在學(xué)習(xí)其他的函數(shù)圖像和性質(zhì)時(shí)，也可以采取類似的方法，從而使中職數(shù)學(xué)的課堂變得豐富多彩。

3.探尋點(diǎn)的軌跡。

中職數(shù)學(xué)里面的直線的方程、圓的方程、拋物線的方程和雙曲線的方程，都是點(diǎn)的軌跡的問題，一直以來都是學(xué)生比較難以理解和掌握的問題，大多中職數(shù)學(xué)生只能在頭腦中簡(jiǎn)單地想象或手工地畫出其草圖，而這樣不能保證所畫圖像的精確性，尤其是對(duì)初學(xué)者來說，更難以形成自己的知識(shí)，達(dá)到熟練應(yīng)用的程度。如果應(yīng)用幾何畫板，就可以動(dòng)態(tài)地描繪出軌跡的形成過程，使學(xué)生能夠更容易地抓住其本質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

例如：在學(xué)習(xí)橢圓這一部分內(nèi)容時(shí)，可以利用幾何畫板演示利用橢圓的定義作橢圓。簡(jiǎn)要步驟：

（1）作點(diǎn)A、B，以及線段CD（定長(zhǎng)）；

（2）以點(diǎn)A為圓心，CD為半徑作圓，并在圓A上任意取一點(diǎn)E；

（3）連接AE、BE，并作BE的垂直平分線FG，交BE于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G；

（4）同時(shí)選中點(diǎn)G和點(diǎn)E，作軌跡，如圖：

在教學(xué)過程中，我們不妨在課堂上一步一步地直接給出該課件的制作過程。通過對(duì)這個(gè)過程的了解，學(xué)生可以非常容易地知道點(diǎn)G就是到定點(diǎn)A、B等于定長(zhǎng)的點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)E在圓上不停地運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G的軌跡正好就是橢圓。于是橢圓的形成過程就完全地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，這對(duì)于他們的形象記憶是很有好處的。當(dāng)然，為了更好地說明問題，還測(cè)算出AG及AG和BG的長(zhǎng)度之和，這樣可以使學(xué)生非常方便地觀察出動(dòng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中其他的量與量之間的關(guān)系，從而對(duì)橢圓的形成過程有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

在幾何畫板中，橢圓的做法有很多種，我們可以鼓勵(lì)學(xué)生在課下自己動(dòng)手，試著用其他的方法作出橢圓，以達(dá)到舉一反三的目的。這樣在接下來學(xué)習(xí)雙曲線這一部?jī)?nèi)容的時(shí)候，就可以讓同學(xué)們自己動(dòng)手探索問題了。不僅是圓錐曲線這一部分的內(nèi)容可以用幾何畫板輔助教學(xué)，其他很多有關(guān)點(diǎn)的軌跡的問題也都可以由它幫助解決。

4.探索直線和直線的關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系。

直線和直線的關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系，用幾何畫板教學(xué)比較直觀，容易理解，且具有說服力。

如圖，拖動(dòng)兩條直線，隨意改變兩條直線的位置，觀察到，兩條直線的斜率相等。因?yàn)樽鲌D比較簡(jiǎn)單，可以引導(dǎo)學(xué)生自己作圖，自己操作測(cè)量，最后驗(yàn)證兩條直線平行的充要條件：斜率相等。

三、幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.創(chuàng)設(shè)情境，幫助理解中職數(shù)學(xué)概念。

很多中職數(shù)學(xué)概念十分抽象，學(xué)生不太能理解，通過有聯(lián)系的引入，讓學(xué)生了解概念提出的背景，才能讓學(xué)生深入理解中職數(shù)學(xué)。

比如：斜率的教學(xué)，利用幾何畫板可能動(dòng)態(tài)地演示斜率變化，引起的直線的傾斜程度的變化，讓學(xué)生更深刻地理解斜率這個(gè)概念。

2.動(dòng)態(tài)演示，顯示軌跡，突破教學(xué)難點(diǎn)。

一直以來，中職數(shù)學(xué)教學(xué)就強(qiáng)調(diào)邏輯性，但不太考慮學(xué)生的空間想象力。在學(xué)習(xí)圓柱等幾何圖形時(shí)，只能看到簡(jiǎn)單的幾個(gè)實(shí)物和并不復(fù)雜的圖形，卻沒有深入了解幾何圖形。幾何畫板的出現(xiàn)，簡(jiǎn)化了教師教導(dǎo)幾何這方面的問題。在幾何畫板里，學(xué)生可以動(dòng)態(tài)地觀察、探索，根據(jù)圖像的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)對(duì)象間的變化關(guān)系。

3.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的中職數(shù)學(xué)思想。

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)中職數(shù)學(xué)的重要方法，用圖形解釋抽象的中職數(shù)學(xué)現(xiàn)象形象、直觀。通過觀察幾何畫板里的圖像，可以把抽象變?yōu)樾蜗?，微觀中職數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為宏觀中職數(shù)學(xué)。比如：曲線的方程的教學(xué)，用幾何畫板動(dòng)態(tài)動(dòng)演示曲線的變化會(huì)引起方程的參數(shù)變化，方程的參數(shù)的變化同樣也引起曲線形狀的變化。

4.開展中職數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)。

獲得中職數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，離不開反復(fù)的實(shí)驗(yàn)與觀察，對(duì)實(shí)驗(yàn)觀察資料的思考：歸納、類比、聯(lián)想、猜想……單憑邏輯推理是發(fā)現(xiàn)不了中職數(shù)學(xué)的。幾何畫板顯示出了超凡的威力，幾何畫板改變了中職數(shù)學(xué)教學(xué)方式，使得許多應(yīng)用中職數(shù)學(xué)問題一下子直觀起來。比如：講授兩條直線的平行和垂直的條件時(shí)，讓學(xué)生利用幾何畫板操作發(fā)現(xiàn)兩條直線平行和垂直與這兩條直線斜率之間的關(guān)系。學(xué)生通過自己的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證了兩條直線平行和垂直的條件。以幾何畫板為工具，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，親自操作經(jīng)歷了知識(shí)的生成和知識(shí)的構(gòu)建過程，這樣知識(shí)必然是深刻的、牢固的。幾何畫板所創(chuàng)造的學(xué)習(xí)過程的快捷，形象、生動(dòng)性必然會(huì)給學(xué)生留下極為深刻的印象，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性和求知欲望。

總之，幾何畫板在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識(shí)的被動(dòng)地位得以改變，真正體現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對(duì)提高學(xué)生中職數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要作用，同時(shí)對(duì)我國(guó)的素質(zhì)教育起著重要的推進(jìn)作用，為國(guó)家培養(yǎng)出大量高素質(zhì)的綜合型人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇強(qiáng).基于幾何畫板的數(shù)值計(jì)算課件開發(fā)研究[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（12）.

[2]李瓊.簡(jiǎn)談《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（S1）.

[3]徐新愛，胡啟宙.用幾何畫板研究二次函數(shù)性質(zhì)[J].教學(xué)月刊（中學(xué)版），2011（01）.

[4]應(yīng)茜.利用幾何畫板輔助初中函數(shù)教學(xué)的實(shí)踐與研究[D].蘇州大學(xué)，2010.

[5]李紅莉.應(yīng)用幾何畫板輔助物理教學(xué)的研究[D].湖南師范大學(xué)，2005.

[6]陶丹.幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用研究[D].江西師范大學(xué)，2005.