田碩 丁佩

摘 ? ?要： 本文對(duì)麥克斯韋方程組教學(xué)進(jìn)行研究探討，對(duì)其誕生的背景、形式、推導(dǎo)、理解等情況進(jìn)行分析，并闡述了其物理內(nèi)涵和物理學(xué)史的意義，討論了麥克斯韋方程組教學(xué)中注意的問(wèn)題，分析了其建立過(guò)程對(duì)我們的啟迪意義。

關(guān)鍵詞： 麥克斯韋方程組 ? ?電磁場(chǎng) ? ?散度 ? ?旋度 ? ?電磁波

麥克斯韋方程組是電磁學(xué)中的基本物理公式，是整個(gè)電磁學(xué)大廈的基石。這在電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等大學(xué)物理基礎(chǔ)課程里都有深入的講解，但還有不少同學(xué)對(duì)麥克斯韋方程組的理解不夠深刻，不能熟練利用其解決電磁學(xué)問(wèn)題。筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和科研工作的體會(huì)，從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法及應(yīng)用等方面給出了麥克斯韋方程組研究性教學(xué)的體會(huì)。

一、了解麥克斯韋方程組誕生的背景

麥克斯韋方程組是英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋總結(jié)電磁場(chǎng)基本規(guī)律的一組方程，是19世紀(jì)物理學(xué)領(lǐng)域最矚目的科學(xué)成果之一，雖然歷史賦予麥克斯韋完成這一科學(xué)歷史使命，但從整個(gè)科學(xué)界的發(fā)展環(huán)境來(lái)看，麥克斯韋方程組的誕生也具有歷史發(fā)展的必然性。庫(kù)侖定律、畢奧—薩伐爾定律、安培定律、歐姆定律及法拉第電磁感應(yīng)定律的相繼建立，并表明電磁學(xué)各個(gè)局部的規(guī)律已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，同時(shí)意味著建立普遍的電磁理論，對(duì)各種電磁現(xiàn)象提供統(tǒng)一解釋的條件已經(jīng)成熟。此外，在關(guān)于電磁作用的機(jī)制和本質(zhì)解釋上，超距說(shuō)和近距說(shuō)有過(guò)激烈的斗爭(zhēng)和交鋒，但最終以麥克斯韋和法拉第為代表的近距說(shuō)，能更好地解釋實(shí)驗(yàn)事實(shí)，并最終導(dǎo)致了近距作用的電磁理論——麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的誕生，而麥克斯韋方程組就是麥克斯韋理論中的重要部分。1864年12月8日，麥克斯韋在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)宣讀了關(guān)于電磁場(chǎng)理論的總結(jié)性論文《電磁學(xué)動(dòng)力學(xué)理論》，并于1865年在英國(guó)《皇家學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》上發(fā)表。在該論文的第三部分“電磁場(chǎng)的普遍方程組”中，第一次提出了麥克斯韋方程組，這是該論文的核心和主要成果。

二、掌握麥克斯韋方程組在不同情況下的形式

麥克斯韋方程組是指下列的一組方程組：

（1）真空情況下

上面第一組方程反映了電荷電流激發(fā)電磁場(chǎng)及電磁場(chǎng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，上面第二組方程表示的是，不存在自由電荷和電流，電磁場(chǎng)的相互激發(fā)，通常稱作無(wú)源麥?zhǔn)戏匠探M。

（2）介質(zhì)中的麥克斯韋方程組

很明顯可以證明，真空中麥克斯韋方程只是介質(zhì)中麥克斯韋方程的特殊形式。

（3）麥克斯韋方程的積分形式

以介質(zhì)中麥克斯韋方程為例：

（4）介質(zhì)表面的麥克斯韋方程——邊值關(guān)系：

三、關(guān)于麥克斯韋方程組的最初推演過(guò)程

麥克斯韋在《電磁學(xué)動(dòng)力學(xué)理論》中建立的電磁場(chǎng)普遍方程組，是用直角坐標(biāo)分量形式給出的，共20個(gè)標(biāo)量方程，其中包括20個(gè)變量（標(biāo)量），它與教科書(shū)中的麥克斯韋方程很接近，只是它是以標(biāo)量形式表示的，并且給出了8組方程，但這個(gè)方程顯得很繁雜，寫成矢量形式更簡(jiǎn)潔，即下面8個(gè)方程：

可以指出，（2）式是磁場(chǎng)高斯定理，（1）和（3）是安培環(huán)路定理，（4）是電磁感應(yīng)定律，（7）式是電場(chǎng)中的高斯定理，（5）、（6）=μ分別描述介質(zhì)極化、導(dǎo)電、磁化性質(zhì)，（8）是電荷守恒規(guī)律。經(jīng)過(guò)公式的綜合和推理，進(jìn)一步簡(jiǎn)化即可得麥克斯韋方程現(xiàn)在的形式。

此外，根據(jù)能量原理和近距原理，根據(jù)庫(kù)侖定律和洛倫茲變換、根據(jù)變分原理也可以從不同角度建立麥克斯韋方程式，大家可以參閱相關(guān)參考書(shū)。

三、關(guān)于麥克斯韋方程組的理解

麥克斯韋方程由四個(gè)方程組成，每個(gè)方程的物理意義都很明確，其不包括電流連續(xù)性方程，是因?yàn)樵摲匠炭梢杂煞匠讨械牧硗鈨蓚€(gè)方程導(dǎo)出。根據(jù)亥姆霍茲定理，矢量場(chǎng)的旋度和散度都表示矢量場(chǎng)的源，所以麥克斯韋方程表明了電磁場(chǎng)和它們的源之間的全部關(guān)系，即除了真實(shí)電流外，變化的電場(chǎng)（位移電流）也是磁場(chǎng)的源;除電荷外，變化的磁場(chǎng)也是電場(chǎng)的源。麥克斯韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律，靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本方程都是麥克斯韋方程的特例。電磁理論的研究對(duì)象通常包括兩個(gè)物質(zhì)場(chǎng)，即電磁場(chǎng)和帶電電流場(chǎng)，兩者之間存在相互作用，麥克斯韋方程組就是電磁場(chǎng)的演化（運(yùn)動(dòng)）方程組，通過(guò)求解麥克斯韋方程組的微分方程，可以得到許多解都表示以光速傳播的波動(dòng)方程，稱為電磁波，這也表明光是一種電磁波，進(jìn)而把光學(xué)和電磁學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，正是麥克斯韋最早最敏銳地發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)。麥克斯韋方程組不僅揭示了電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，更揭示了電磁場(chǎng)可以獨(dú)立于電荷之外而存在，這樣就加深了我們對(duì)電磁場(chǎng)物質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。

四、麥克斯韋方程組教學(xué)過(guò)程中要注意的一些問(wèn)題

在麥克斯韋方程和介質(zhì)方程的教學(xué)中，還有一些值得注意的問(wèn)題，容易引起困惑和誤解，需要進(jìn)一步地分析、說(shuō)明和解釋。

1.建立麥克斯韋方程組，提供了一個(gè)很好機(jī)會(huì)，系統(tǒng)回顧比較靜電場(chǎng)、渦旋電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)，變化電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)的性質(zhì)和特質(zhì)，認(rèn)清異同，有助于理解方程中各量的含義與適用范圍。更重要的是，由于電磁場(chǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，使各方程整合成麥克斯韋方程組，不僅描繪了電磁場(chǎng)的性質(zhì)，更成了電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化所遵循的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。

2.介質(zhì)方程的建立，提供了全面考察電磁場(chǎng)與實(shí)物相互作用的機(jī)會(huì)，可以詳盡討論電荷的劃分、電流的劃分，準(zhǔn)確闡述感應(yīng)、極化、磁化及線性介質(zhì)的含義，使學(xué)生得到比較全面的認(rèn)識(shí)。

3.電位移與磁場(chǎng)強(qiáng)度的理解，知道它們的引入是為了消除麥克斯韋方程中未知或無(wú)法測(cè)量的極化電荷、磁化電流或極化電流。如果自由電荷和傳導(dǎo)電流中也包括未知的部分，就涉及場(chǎng)源的分解方式是否唯一，以及不同分解方式下怎樣重建麥克斯韋方程的問(wèn)題。

五、麥克斯韋方程的建立過(guò)程帶給我們的啟迪

以麥克斯韋方程為標(biāo)志的電磁場(chǎng)理論，形式簡(jiǎn)潔，內(nèi)容廣泛，影響深遠(yuǎn)，物理思想極其深刻。作為重要的教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行物理思想和研究方法的教育是必要的。從麥克斯韋方程的建立過(guò)程，我們可以得到以下啟示：

1.尋求聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示本質(zhì)，建立統(tǒng)一理論。無(wú)論牛頓對(duì)天與地的統(tǒng)一，麥克斯韋理論對(duì)電、磁、光的統(tǒng)一，以及以后的愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論將電磁學(xué)與力學(xué)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，都標(biāo)志物理學(xué)發(fā)展的歷史，就是在不斷地尋求共性，尋求統(tǒng)一的過(guò)程。

2.善用類比方法。麥克斯韋通過(guò)電磁場(chǎng)與流速場(chǎng)的類比研究，并引入了電力線的概念，引入了流體力學(xué)里的通量與環(huán)流，從而打開(kāi)了局面，澄清了思想，取得了有效進(jìn)展。

3.淵博的學(xué)識(shí)、深刻的洞察力和嚴(yán)謹(jǐn)精確的表達(dá)。淵博的學(xué)識(shí)、深刻的洞察力和嚴(yán)謹(jǐn)精確的表達(dá)是一位優(yōu)秀偉大的物理學(xué)家所要具備的素質(zhì)，而麥克斯韋正是這些優(yōu)秀素質(zhì)的綜合體現(xiàn)者。能夠發(fā)現(xiàn)電磁學(xué)局部理論之間的聯(lián)系，需要知識(shí)和洞察力，而麥克斯韋方程式的嚴(yán)謹(jǐn)和精確是物理學(xué)趨于成熟的重要標(biāo)志，也是麥克斯韋對(duì)物理規(guī)律的深刻理解和數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn)。

4.和諧意境。自然界是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)、相互制約的和諧整體，描述自然界基本規(guī)律的物理理論，也應(yīng)該是和諧的。麥克斯韋方程就體現(xiàn)處一種對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)潔美，也是自然界和諧意境的重要體現(xiàn)。

六、麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的歷史意義

麥克斯韋電磁場(chǎng)理論是一個(gè)完整的理論體系，不僅對(duì)電磁學(xué)領(lǐng)域已有的研究成果作了很好的總結(jié)，而且為進(jìn)一步的研究提供了理論基礎(chǔ)，從而迎來(lái)了電磁學(xué)全面蓬勃發(fā)展的新時(shí)期。麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的建立開(kāi)辟了許多新的研究課題和方向，如通訊、廣播、電視事業(yè)的發(fā)展，材料電磁性質(zhì)的研究等，對(duì)技術(shù)進(jìn)步和文化生活繁榮起了重要作用。

光的電磁理論是麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的重大成果，實(shí)現(xiàn)了光學(xué)與電磁學(xué)的統(tǒng)一。麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的歷史意義還在于引起了物理實(shí)在觀念的深刻變革，電磁場(chǎng)是一種不同于實(shí)物粒子的客觀存在，對(duì)人類的世界觀和物質(zhì)觀加深了認(rèn)識(shí)，同時(shí)印證了電磁作用的近距觀點(diǎn)，電磁作用變化遵循麥克斯韋方程，非接觸的電磁物體之間，以電磁場(chǎng)傳遞電磁作用，傳遞是需要時(shí)間的，即是近距的。

當(dāng)然，麥克斯韋的電磁場(chǎng)觀念還不夠徹底，它沒(méi)有擺脫以太觀點(diǎn)的影響，在一定程度上還有機(jī)械論的色彩，同時(shí)，麥克斯韋方程、伽利略變換、相對(duì)性原理三者不能共存，直接導(dǎo)致了狹義相對(duì)論的誕生。

總之，麥克斯韋方程組的教學(xué)是大學(xué)物理、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等學(xué)科教學(xué)中的重要部分，本文對(duì)麥克斯韋方程組的誕生、形式、教學(xué)注意事項(xiàng)、理解、物理意義及歷史意義分別進(jìn)行了探討，希望能給教育一線的同行有所啟示。

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