王棟 傅永平 譚敏

摘 要： 本文深入剖析了一道電磁感應(yīng)例題，提出幾種不同解法，有對(duì)有錯(cuò)，分析了不同解法的對(duì)錯(cuò)原因及物理意義。在教學(xué)中，這種分析可以開拓學(xué)生思維，使物理概念更清晰，達(dá)到物理教學(xué)目的。

關(guān)鍵詞： 電磁感應(yīng) 磁通量 電動(dòng)勢

在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流周圍能夠產(chǎn)生磁場后，物理學(xué)家們立即想到：磁場能否產(chǎn)生電流呢？物理學(xué)很多理論都具有對(duì)稱的美感，法拉第堅(jiān)信這種對(duì)稱美也存在于電流和磁場之間，于是他經(jīng)過十年不懈努力，終于發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)規(guī)律，即法拉第定律：不論什么原因使通過回路面積的磁通量發(fā)生變化，回路中均會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，其大小與通過該回路面積的磁通量隨時(shí)間的變化率成正比，即：

ε=

這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，不僅大大推動(dòng)了電磁理論的發(fā)展，而且對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐也起到了很大促進(jìn)作用。

在大學(xué)物理教學(xué)中，法拉第定律是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它提供了一種計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢的簡單方法：只要計(jì)算磁通量隨時(shí)間的變化率即可。式中的負(fù)號(hào)代表感應(yīng)電動(dòng)勢的方向，而方向可由楞次定律判定，若只考慮電動(dòng)勢大小，則可忽略負(fù)號(hào)，或者取絕對(duì)值。于是，需要先計(jì)算任意時(shí)刻的磁通量，再把磁通量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。作為一個(gè)簡單的例子，圖1所示的情況值得在課堂讓學(xué)生練習(xí)，并進(jìn)行深入剖析。

如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=kt（k>0），方向與導(dǎo)線回路的法線方向成60°角的均勻磁場中，一長為l的導(dǎo)體棒AB以速度v向右滑動(dòng)，設(shè)t=0時(shí)，AB與CD重合，求任意時(shí)刻導(dǎo)線回路的感應(yīng)電動(dòng)勢的大小。

對(duì)于這個(gè)題，在此提供幾種不同的解法，有對(duì)的，也有錯(cuò)的：

以上四種解法，（2）和（3）結(jié)果相同，（1）和（4）結(jié)果相同，表面上看解題過程似乎并沒有什么問題，卻得到不同的結(jié)果。事實(shí)真相只有一個(gè)，四種解法中有兩種肯定是不對(duì)的。仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)其中問題。

解法（1），根據(jù)均勻磁場磁通量的計(jì)算方法，用t時(shí)刻的磁感應(yīng)強(qiáng)度B點(diǎn)乘t時(shí)刻的面積S，得到t時(shí)刻的磁通量，再求磁通量的變化率，這是沒有問題的。那么解法（2）肯定就有問題了，實(shí)際上解法（2）中求得的φ并不是t時(shí)刻的磁通量。表面上看，用積分的方法求磁通量似乎更合理，但最終把對(duì)面積的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)間的積分，就使得不同面元處磁感應(yīng)強(qiáng)度不同。積分中取面元dS=（lvdt）e，元磁通量dφ=B·dS，其中的B是隨時(shí)間增大的，越往左的面元中，所涉及的磁場越小，在CD附近，磁感應(yīng)強(qiáng)度甚至為零。這是不合理的，因?yàn)榇艌鍪蔷鶆虼艌?，任意時(shí)刻，各面元處的磁感應(yīng)強(qiáng)度都應(yīng)該相等。如果要用積分求磁通量，就要考慮磁場在空間的分布規(guī)律，即均勻磁場：

這就跟解法（1）一樣了。解法（3）和解法（4）繞開積分，用微分的方法求感應(yīng)電動(dòng)勢，即用dt內(nèi)的磁通量增量dφ除以dt，也是可以的。但是在解法（3）中，求出的dφ并不是dt內(nèi)的磁通量增量，這里只考慮了因面積變化導(dǎo)致的磁通量變化，缺少了磁場變化引起的磁通量變化，實(shí)際上只求出了感應(yīng)電動(dòng)勢的一部分。解法（2）和解法（3）的錯(cuò)誤本質(zhì)上是一致的，因?yàn)樗鼈兊脑磐恳恢?。解法?）中，對(duì)φ求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)法則，分別對(duì)B和S求導(dǎo)。從物理意義上說，分別考慮了磁場和面積變化引起的磁通量變化，思路非常清晰，意義非常明確。

以上四種解法中，主要分歧在于分析磁通量變化時(shí)是否考慮完全，磁通量的變化可以是因?yàn)榇艌鲎兓蛘呙娣e變化。因此，物理學(xué)家對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢做了這樣的分類：因磁場變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為感生電動(dòng)勢，因面積變化（導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)）而產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為動(dòng)生電動(dòng)勢。產(chǎn)生這兩種電動(dòng)勢的非靜電力不同，分別為渦旋電場力和洛倫茲力，于是根據(jù)電動(dòng)勢的定義，可以寫出電磁感應(yīng)的另一種表達(dá)式：

式中第一項(xiàng)為感生電動(dòng)勢，第二項(xiàng)為動(dòng)生電動(dòng)勢。這一表達(dá)式反映了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的根源，也可以用于計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢。對(duì)于本文討論的例題，如果用這種表達(dá)式計(jì)算，就不會(huì)出現(xiàn)磁通量變化考慮不完全的問題。以下為解題過程：設(shè)回路繞向?yàn)槟鏁r(shí)針，其中，

于是ε=-klvt，式中負(fù)號(hào)表示方向與所設(shè)方向相反，為順時(shí)針。

綜上所述，一個(gè)簡單的例題，在教學(xué)中可以多角度進(jìn)行分析，這樣既可以使物理概念更清晰，意義更明確，又可以開拓學(xué)生思維，學(xué)生理解起來也更容易，而不需死記硬背，這也正是學(xué)習(xí)大學(xué)物理的意義所在。

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