張金羽

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）

一、弱Π-凝聚環(huán)相關(guān)定義

定義1.1 設(shè)A 為左R-模，若A 為f.g.的，且A 的每個f.g.子模為f.p.的，則稱模A 為凝聚模。

定義1.2 設(shè)R 為環(huán)，若R 作為左R-模為凝聚的，則稱R 為左凝聚環(huán)。

類似地，可定義右凝聚環(huán)。

定義1.3 令Π=ΠRR 為任意個RR 的積，若Π 的每個f.g.子模為f.p.的，則稱環(huán)R 為左Π-凝聚環(huán)。

二、左WFGT-內(nèi)射模相關(guān)定義

定義2.1 設(shè)R 為環(huán)，E 為左R-模，若對任意f.g.弱余生成左R-模B，都有Ext1R（B，E）=0，則稱E 為左WFGT-內(nèi)射模。

若R 為左弱Π-凝聚環(huán),則每個f.g.弱余生成左R-模為f.p.的。所以，左弱Π-凝聚環(huán)上的FP-內(nèi)射模一定是左WFGT-內(nèi)射模。

定義2.2 設(shè)R 為環(huán)，若對R 的任意單側(cè)理想I，R/I 為弱余生成的，則稱R 為WD-環(huán)。

命題1：（1）設(shè)R 為左弱Π-凝聚環(huán)，若每個左WFGT-內(nèi)射模為內(nèi)射模，則R 為左Noether環(huán)。

（2）設(shè)R 為WD-環(huán)，則WFGT-內(nèi)射模與內(nèi)射模一致。

（2）設(shè)I 為R 的任意左理想，而R 為WD-環(huán)，故R/I 為f.g.弱余生成左R-模，若E 為任意左WFGT-內(nèi)射模，則Ext1R（R/I，E）=0，故由Baer 準(zhǔn)則E 為內(nèi)射模。

命題2：設(shè)R 為環(huán)，E 為左R-模，則下列陳述等價：

（1）E 為WFGT-內(nèi)射模；

（2）若B 為f.g.弱余生成左R-模，則任意正合列0→E→A→B→0 為分裂的；

（3）若K 為f.g.自由左R-模F 的弱閉子模,則K 到E 的每個左R-同態(tài)，均可擴(kuò)張成F 到E 的左R-同態(tài)。

證明：（1）?（2）若E 為WFGT-內(nèi)射模，因B 為f.g.弱余生成模，故（B，E）=0，對正合列0→E→A→B→0 應(yīng)用上同調(diào)長正合列定理可得正合列：

0→HomR（B，E）→HomR（A，E）→HomR（E，E）→0，

故0→E→A→B→0 為分裂正合的。

（2）?（1）設(shè)B 為任意f.g.弱余生成左R-模，因此，B 經(jīng)E 的擴(kuò)張為0→E→A→B→0，由題設(shè)知這個正合列為分裂正合的，得（B，E）=0 故E 為WFGT-內(nèi)射模。

（1）?（3）可由定義得知。

［1］周伯勛.同調(diào)代數(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，1988：18-19.

［2］佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論［M］.北京：高等教育出版社，1998：56-57.

［3］Victor Camilio.Coherence for polynomial rings.J Algebra，1990，132（1）.