孫林　苗杰

【摘 要】數(shù)學(xué)語言是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、形成解決數(shù)學(xué)問題的能力和鞏固數(shù)學(xué)表達(dá)能力的重要手段，這一切都是通過數(shù)學(xué)語言來實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)語言分為三類：文字語言、符號(hào)語言和圖表語言，三類語言之間相輔相成，在數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)中占有重要地位。本文根據(jù)數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)，討論了在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的重要性，并進(jìn)而總結(jié)數(shù)學(xué)語言的教學(xué)策略和方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)語言 分類 特點(diǎn) 教學(xué)策略

數(shù)學(xué)語言是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、形成解決數(shù)學(xué)問題的能力和鞏固數(shù)學(xué)表達(dá)能力的重要手段。敘述數(shù)學(xué)的能力，也就是掌握數(shù)學(xué)語言的能力，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究、應(yīng)用、傳播等數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別是數(shù)學(xué)的教與學(xué)有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)不但是一門學(xué)科，而且是一門語言，新課程標(biāo)準(zhǔn)相應(yīng)地要求教師在教學(xué)中創(chuàng)造情境，讓“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)歸納類比空間想象、符號(hào)表示等過程”。數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程包括數(shù)學(xué)語言的聽說讀寫能力培養(yǎng)，在近幾年，數(shù)學(xué)語言越來越受到教育者的重視，不斷地被教育者作為單獨(dú)的研究對(duì)象進(jìn)行分析和討論，從而更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)。事實(shí)上，關(guān)于數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)目標(biāo)，現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程大綱中已有明確要求。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，“數(shù)學(xué)語言具有精確、簡(jiǎn)約、形式化等特點(diǎn)，能否恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)語言及自然語言進(jìn)行表達(dá)與交流也是評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容”，要注意“提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力”。

1 數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)語言是以數(shù)學(xué)符號(hào)為主要詞匯，以數(shù)學(xué)公理、定理、公式等為語法規(guī)則的一種有別于自然語言的科學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言是伴隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)生和發(fā)展而逐漸成長起來的，是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的工具。正如美國數(shù)學(xué)家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數(shù)學(xué)）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號(hào)被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細(xì)的、外延的語言很少聯(lián)系到課堂外的生活?！蔽覀冎饕懻撈湟韵聝蓚€(gè)特點(diǎn)。

1.1 數(shù)學(xué)語言的精確性及確定性

較之自然語言，數(shù)學(xué)語言的精確性表現(xiàn)在自身不存在歧義的現(xiàn)象。例如，向量空間中個(gè)向量的線性相關(guān)的定義。如果存在數(shù)域中不全為零的數(shù)，使得，那么就說線性相關(guān)。由此定義，可以準(zhǔn)確嚴(yán)密地推知個(gè)向量線性無關(guān)的概念，即，僅當(dāng)時(shí)，上述線性表示式才成立，那么就說，個(gè)向量線性無關(guān)。由此定義，定義中的關(guān)鍵字“不全為零的數(shù)”和“僅當(dāng)”，簡(jiǎn)短而有力地說明了以下兩種情形都是錯(cuò)誤的。第一種情形：如果線性相關(guān)，那么其中每一個(gè)均不為零；第二種情形：如果當(dāng)時(shí)，，那么線性無關(guān)。

數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性克服了自然語言在描述對(duì)象過程中含糊不清等缺陷，便于快速而又深刻地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)屬性。但是，切記數(shù)學(xué)的精確性和所謂的模糊數(shù)學(xué)是沒有任何沖突的，模糊數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數(shù)學(xué)工具，其在模式識(shí)別、人工智能等方面有廣泛的應(yīng)用。

1.2 數(shù)學(xué)語言的通用性和統(tǒng)一性

隨著全球化的加速，數(shù)學(xué)的發(fā)展也逐漸形成了國際化的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)語言的民族性、地域性程度越來越低，而統(tǒng)一性、通用性程度越來越高，這是不爭(zhēng)的事實(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、傳播以及被接納的過程，不會(huì)因?yàn)閲鹊牟煌?、民族的不同、語言的不同而有所阻礙。例如，數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限的概念可以表示為“”，不論在哪個(gè)國家，也不論所面對(duì)的學(xué)習(xí)者持有什么語種為母語，只要學(xué)習(xí)者具備在一定基礎(chǔ)，這個(gè)式子就足以表達(dá)數(shù)列極限的概念。當(dāng)然這種特性主要來自于數(shù)學(xué)語言的分類——符號(hào)語言。

2 數(shù)學(xué)語言的分類

從表述形式看，數(shù)學(xué)語言可歸結(jié)為文字語言、符號(hào)語言和圖形語言三類。文字語言嚴(yán)格地確定和明晰了數(shù)學(xué)對(duì)象及其相互內(nèi)在的關(guān)系，高度抽象和概括了數(shù)學(xué)對(duì)象的特性，進(jìn)而深刻地揭示了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。例如“兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量”，“一個(gè)向量空間本身和零空間叫作這個(gè)空間的平凡子空間”，“一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩”，“矩陣變換的性質(zhì)：初等變換不改變矩陣的秩”和“線性方程組可解的判別法：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩”等等。作為數(shù)學(xué)語言通用性和統(tǒng)一性的基本載體，符號(hào)語言是數(shù)學(xué)中一種最常用的且具有高度抽象性的語言，符號(hào)是簡(jiǎn)縮思維、提高思維效率的根本。例如，“”，“”，“”，“”，“極限的唯一性：若則”等等，都是通過符號(hào)語言闡述數(shù)學(xué)對(duì)象的特性。圖表語言是指用各種圖或表來表達(dá)一定的數(shù)學(xué)信息，可劃分為圖形語言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合文氏圖等）、圖象語言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和表格語言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等）。

三種數(shù)學(xué)語言各有其優(yōu)點(diǎn)和不足之處：文字語言雖然更符合大家的接觸和接受各種書本知識(shí)的習(xí)慣，但是較強(qiáng)的邏輯性要求，使得文字?jǐn)⑹鲚^為繁雜，不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)符號(hào)雖然高度抽象，但精準(zhǔn)簡(jiǎn)潔，描述起來給人以較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)感；圖表語言更形象直觀，容易形成表象且易理解。一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表述通常是由以上三種專業(yè)語言和自然語言的優(yōu)勢(shì)相互補(bǔ)充進(jìn)而有機(jī)結(jié)合的過程。

3 數(shù)學(xué)語言的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)的教與學(xué)互動(dòng)過程中起著至關(guān)重要的作用，否則授課和聽課豈不是“對(duì)牛彈琴”的節(jié)奏。同時(shí)掌握一定程度的數(shù)學(xué)語言，對(duì)于自身的終身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有著深遠(yuǎn)的影響。

3.1 教師在備課和授課過程中充分應(yīng)用文字語言、符號(hào)語言和圖表語言的優(yōu)點(diǎn)

數(shù)學(xué)語言的不同類型各有自己的特點(diǎn)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中再現(xiàn)概念的表現(xiàn)形式是多樣的：提到“一條線段的中點(diǎn)”時(shí)，人們腦子里出現(xiàn)的往往不是文字的定義，而是線段中間的那個(gè)點(diǎn)；看到“克萊因瓶”往往會(huì)聯(lián)想到其相應(yīng)的歐拉公式或圖形；提到“一個(gè)集合的平凡子集”，就會(huì)想到“空集和自身”這幾個(gè)字。一個(gè)數(shù)學(xué)問題，根據(jù)其中的數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)，在人們的腦海里喚起的不同的數(shù)學(xué)語言——文字語言、符號(hào)語言和圖表語言，使得人們瞬時(shí)重組腦海中數(shù)學(xué)語言具體的信息，從而加深理解和靈活應(yīng)用。

例：對(duì)函數(shù)定義的描述。滿射函數(shù)：（文字語言）設(shè)是到的一個(gè)映射。如果，那么就稱是到上的一個(gè)映射，這時(shí)也稱是一個(gè)滿射。

（符號(hào)語言），，且，使得。

（圖像語言）

總之要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)換，使學(xué)生從不同角度多個(gè)側(cè)面去了解、熟悉所要學(xué)習(xí)的概念，幫助其加深理解數(shù)學(xué)知識(shí)的含義。所以，為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)充分利用各種數(shù)學(xué)語言的優(yōu)點(diǎn)，教師就必須以身作則，充分備課，在課堂上用多種語言給學(xué)生解釋數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)和內(nèi)涵，以言傳身教來影響學(xué)生，從而有效地進(jìn)行教與學(xué)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

3.2 培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流

數(shù)學(xué)交流是數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中必備的一個(gè)環(huán)節(jié)。為了提高數(shù)學(xué)語言運(yùn)用水平，可結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行擬定，制定相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言“規(guī)范化”訓(xùn)練的目標(biāo)和方案。比如開設(shè)討論班、對(duì)學(xué)生進(jìn)行一定難度的新知識(shí)講解等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，用自己掌握的數(shù)學(xué)語言說出已有和自身產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及解決問題的過程與策略等。在“說”數(shù)學(xué)的過程中梳理自己的解題思路及方法，把不連續(xù)的散亂的思維理清、理順，鼓勵(lì)和表揚(yáng)他們所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想和方法，從而建立自信心。例如，在講解函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性對(duì)“函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)”，把這個(gè)文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，盡量將極限的唯一性和左右極限都考慮進(jìn)去，“”。

另外，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)。語言來自于大量的閱讀，這是不爭(zhēng)的事實(shí)。重視數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)閱讀能力，符合現(xiàn)代“終身教育，終身學(xué)習(xí)”的教育思想。我們教師在授課的過程中，一定要謹(jǐn)記“授人以魚，不如授人以漁”。因此，為了提高整個(gè)民族的數(shù)學(xué)素質(zhì)，必須從數(shù)學(xué)閱讀起步，有層次地、階段性地將數(shù)學(xué)閱讀充分在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展開。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]鮑建生.數(shù)學(xué)語言的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1992（10）：2.

[3]陳水利.模糊集理論及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005.

[4]錢珮玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.