邱麗波

摘要：初中階段就已經(jīng)接觸過一些簡單的不等式的證明與解法，比如一元一次不等式，高中階段在初中已有知識的基礎上進一步研究不等式的解法與證明。在新課程教學理念不斷深入教學的今天，對于作為數(shù)學基礎理論的“不等式”，要如何根據(jù)高中“不等式”，在教學中的課程要求和高考《考試大綱》的要求高效地開展教學實踐？通過本文的研究，我認為結合學生實際情況，有針對性、客觀性地制定教學方案，精心設計、大膽創(chuàng)新，不斷更新已有的教學理念，結合課本知識深入淺出、層層推進，重難點傾向性教學，以求在素質(zhì)教學的指引下直擊高考“不等式”的內(nèi)容。以高考目標指引教學實踐，以教學實踐推進素質(zhì)教育的開展。

關鍵詞：高中數(shù)學；不等式；應用及解法

本文對高中數(shù)學不等式解法及應用進行研究，主要是通過幾個?？键c來闡述。高考對知識的掌握，不是單單地考查簡單的知識，而是充滿了靈活性，考查學生的創(chuàng)新意識，那么學生掌握書本上簡單的知識點是不夠的，高考的題型是由簡單的知識組合而來的，需要同學們掌握通過現(xiàn)象看到本質(zhì)的能力。

一、利用基本不等式、均值不等式解決最值問題

對有些不等式的求解，常有同學因不會變通或思維定式，導致因運算過繁而計算終止或棄而不解。針對這種情況，有必要選擇適當?shù)姆椒ㄒ院喕忸}步驟。

當然不利用基本不等式也可以解決這道題，只是方法特別難想，而且操作起來也不是特別容易。

解法二：判別式法

解：令2x+y=t，則y=t-2x

4x2+y2+xy=1

4x2+（t-2x ）2+x（t-2x）=1

6x2_3tx+t2_1=0

△：9t2_-24（ t2-1）≥0，即t2≤8/5

所以-2√10/5≤2x+y≤2√10/5，即所以2x+y的最大值是2√10/5。

二、利用不等式解決恒成立問題

不等式恒成立的問題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點。考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的取值范圍解決這類問題的方法關鍵是轉化化歸，通過等價轉化可以把問題順利解決，下面我就結合自己記得教學經(jīng)驗淡淡不等式的恒成立問題的處理方法。

1.構造函數(shù)法

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，即構造函數(shù)法，然后利用相關函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系.使問題更加清晰明了，一般來說已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù)。

例2：已知函數(shù)f（x）=a-2/2x+1，a∈R是奇函數(shù)。

（1）求實數(shù)a的值。

（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結論。

（3）對Vt ∈R，不等式f[t2-（m-2）t]+f（t2一3/2m一1）>；0恒成立，求m的取值范圍。

解：（1）f（x）的定義域是R，又因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，解得a=1。

（2）f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)。

證明：在（-∞，+∞）上任取兩個不相等的實數(shù)x.，x2，且令x1<；x2，則Ax=x2-x1>；0。

△y=f（x2）-f（x1）=（1-2/2x2+1）-（1-2/2x1+1）=

2（2x2=2x1）/（ 2x1+1）（ 2x2+l）

因為x1<；x2，所以扣2x1<；2x2即2x2-2x1>；0。

因為2x1>；0，2x1>；0，所以△y>；0。

所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)。

（3）f[t2-（m-2）t]+f（t2-3/2m-1）>；0恒成立，

F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

因為f（x）是奇函數(shù)， f（-x）=-f（x）

所以F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，t2-（m-2）t>；-t2+3/2m+1

整理得：2t2-（m-2）t-3/2m-1>；0恒成立

令f（x）=2t2-（m-2）t-3/2m-1，該二次函數(shù)函數(shù)值，恒大于零，因為開口向上。

只需 △<；O，解得m的取值范圍是{m l-6<；m<；一2}

2.分離參數(shù)法

在不等式中求參數(shù)范圍的過程中，當不等式中的參數(shù)（或關于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其他變量完全分離出來，并且分離后不等式一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或范圍可求時，常用分離常數(shù)法。

例3：二次函數(shù)f（x）滿足f（x+l ）-f（x）=2x且f（0）=0

（1）求f（x）的解析式。?； （2）在區(qū)間[-1，1]上，r=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，求m的取值范圍。

解：（1）待定系數(shù)法

設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），因為f（0）=0，所以c=0。

又因為f（x+l）-f（x）=2x，所以解得a=1，6 =-1，所以f（x）=x2-x。

（3）因為y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，所以x2-x>；2x+m恒成立。

即x2-3x>；m恒成立，只需求y=x2-3x在[-1，1]上的最小值，令最小值大于m即可。

解得y=x2-3x在[-1，1]上的最小值為-2，所以m的取值范圍是{mlm<；-2}

三、不等式證明問題

比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

1.比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有作差比較和作商比較兩種基本途徑。?； 例4：已知a，b，c，求證：1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

證明：a，b均為正數(shù)，

1/4a+1/4b-1/a+b=b（a+b）+a（a+b）-4ab/4ab（a+b）=（a-b）2/4ab（a+b）≥0?； 同理1/4b+1/4c-1/b+c=（b-c）2/4bc（b+c）≥0，1/4c+1/4a=1/c+a=（c-a）2/4ac（a+c）≥0

三式相加，可得1/2a+1/2b+1/2c-1/a+b-1/b+c-1/c+a≥0

1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

總結：在比較兩個代數(shù)式的大小時，可借助它們的差的正負符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。在用商值比較法證明不等式時，要注意作商后的式子變形，分母、分子的正、負號，判斷其商與1的比較大小以確定不等號的方向。

2.綜合法

綜合法是依據(jù)題設條件與基本不等式的性質(zhì)等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結論。

例5：已知a，b∈R+，a+b：1，求證：（a+1/a）2+（b+1/b）2≥25/2

證明：∵a+b=1 ∴1=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）

∴a2+b2≥1/2

∴（1+1/a）2+（b+1/b）2=（a2+b2）+4+（1/a2+1/b2）≥1/2+4+8=25/2

總結：用綜合法證明不等式時，一般是從已知條件人手，經(jīng)過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。

3.分析法

分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

綜上可知，不等式作為中學階段的重要內(nèi)容和求解數(shù)學問題的重要工具，在高考命題中被淋漓盡致地體現(xiàn)了出來，它所涉及的內(nèi)容的深度和廣度是其他章節(jié)的知識和內(nèi)容所無法相比的。因此，要想在高考中獲得理想的成績，必須高度重視不等式內(nèi)容的復習和研究，既要掌握好不等式中的基本題型的解法，更要關注不等式與其他數(shù)學知識融合在一起的綜合問題與應用問題的解法，強化運用數(shù)學思想方法指導解題的意識，提高應用不等式知識解題的能力。