李志均

某些數(shù)學問題表面上看它們的條件和結論各不相同，但認真加以分析，透過現(xiàn)象挖掘本質屬性，便會從中歸納出某些規(guī)律性的東西。本文介紹在一個圖形中出現(xiàn)角平分線、平行線、等腰三角形的其中兩個，我們可以利用知二推一或者作輔助線構造圖形來解決問題，下面以中考試題為例進行分析、解答和點評，希望解答可以啟迪學生思維和拓寬解題的思路。

【例1】（2014年江蘇南通第15題）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，連接∵DAC，∠DA C=∠BAC。若BC=4cm，AD=5cm，則AB= _______cm.

【分析】這個圖形中出現(xiàn)了角平分線AC和平行線AB∥DC，我們可以尋找到等腰△ADC。于是有DC=A D=5cm，再進一步解決問題?！窘獯稹俊逜B∥CD ∴∠DCA=∠BAC，

∵DAC=LBAC，∴∠DAC=LDCA，

∴CD=A D=5cm。

過點D作DEIAB于點E，

∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90。，

∴四邊形BCDE是矩形，

∴BE=CD=5cm，DE=BC=4cm，∠DEA =900，

∴AE=、/4D2一DE2 P=3cm

∴AB=AE+BE=8cm。

【點評】此題考查了直角梯形的性質、等腰三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理。這里尋找到等腰△ADC，于是有DC=A D=5cm是關鍵；注意掌握輔助線的做法和數(shù)形結合思想的應用。此題也可以過C點作AD的垂線或者過C點作AD的平行線進行解答.

【例2】（2012年安徽省第22題）如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDC的周長相等，設BC=a，A C=b，A B=e。

（1）求線段BC的長；

（2）求證：DG平分∠EDF；

（3）連接CG，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥ CG。

【分析】（1）由△BDG與四邊形ACDG的周長相等與BD=CD，易得BG=A C+AG，于是：

BG=

（2）由于這里要證明的是DG平分LEDF，而由點D、E分別是BC、AC的中點，利用三角形中位線的性質得到DE∥AB，所以必須找到等腰三角形才能解決問題。

由點D、F分別是BC、AB的中點，利用三角形中位線的性質，易得DF=1/2A C=1/2b，由FG=BG-BF，可求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得DG平分∠EDF。

（3）利用兩個三角形相似，對應角相等，從而等角對等邊，BD=DG=CD，即可證明。?；?； 【解答】（1）∵D、C、F分別是△ABC三邊中點，

∴DE//1/2A B，DF//1/2AC，

又∵△BDG與四邊形ACDG周長相等，

即BD+DG+BG=A C+CD+DG+A G。

∴BG=A C+A G

∵BG=A B-A G

∴BG=AB+AC/2=b+c/2

（2）證明：BCFG b+c/2=b+c/2-c/2-=b/2

∵DF=1/2AC： 1/2 b∴FG=DF.

∴FDG=∠FGD

又∵DE∥AB∴∠EDG=∠FGD

∴∠FDG=∠EDC=即DC即DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠DG=∠FGD.

∴△DFG是等腰三角形，

∵△BDG與△DFG相似，

∴△BDG是等腰三角形，

∴∠B=∠BGD，∴BD=DG.

則CD=BD=DG，

∴B、C、G三點共圓且BC為直徑

∴∠BCC=90°∴BG⊥CG。

【點評】這是一道幾何綜合題，在計算或證明時，根據(jù)題中已知條件，結合圖形特征來完成；后面的問題可以結合前面問題來做。這里證明△DFG為等腰三角形是關鍵。