李凱

【摘 要】在不等式的證明與計算中，構(gòu)造函數(shù)是一種極為重要的解題方法，與比較法、反證法與分析法等證明方法相比，構(gòu)造函數(shù)能夠簡化證明與計算的過程，提高證明的效率。文中將根據(jù)例題對換元法、作差法、縮放法以及條件法等構(gòu)造函數(shù)的方法予以分析，探究針對不同的題目如何快速有效的解題。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù)；解不等式；方法

證明與計算不等式是高中教學中的重點與難點，解題時涉及到很多技巧性的問題與內(nèi)容，且不同類型的不等式需采用不同的方法進行解答，并沒有刻意需要遵循的通性通法，因此學生在解題的過程中很可能陷入困境。而導數(shù)在高中教學中的引入為不等式的解題提供了新的思路與途徑，構(gòu)造函數(shù)成為解答不等式的主要方法之一，其優(yōu)勢在于解題簡便，容易理解等，對這一題型的總結(jié)具有重要的意義。

一、換元法

換元法即設(shè)置某一新的變量代替原式中的一個較為復雜的式子，例如在f（x）=α（ax+b）-β（ax+b）中令ax+b=Z，則可得f（x）=αZ-βZ。換元法能夠?qū)⒃惺阶雍喕?，從而降低解題的難度，這是數(shù)學解題中常用到的一種基本解題方法，將研究對象予以替換后，可以將題目中所需解答的內(nèi)容轉(zhuǎn)移到新的知識系統(tǒng)中予以解答，即實現(xiàn)了特殊問題標準化處理。在利用換元法前，應(yīng)當對題目予以全面的分析，保證不等式中有式子可以被替換，替換后的式子較為簡單，從而簡化解題過程。

例題：證明當a為任意正整數(shù)時，不等式ln（+1）>-恒成立。

分析：從題目中的不等式進行分析，不等式兩端都存在著同一個式子，即，因此為了簡化解題過程成，可以設(shè)置新的變量來代替，同時要保證其前提條件——a為任意正整數(shù)，換元法構(gòu)造函數(shù)后再通過求導，對函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性進行分析即可證明題目中的不等式。

五、主元法

主元法一般用于變量較多的不等式中，可將一個變量看做是另一個變量的函數(shù)，從而解答題目。

例題：若實數(shù)滿足則的最小值為___________________

解析：把b看成關(guān)于主元a的函數(shù)，把c看成關(guān)于主元d的函數(shù)，則，

而可以看成曲線上的點和直線上的點的距離的平方，設(shè)與直線平行的直線與曲線 相切于點

對求導得

所以到直線的距離最小為

六、取對數(shù)法

取對數(shù)法即利用指數(shù)與對數(shù)關(guān)系將不等式兩邊進行轉(zhuǎn)化，利用對數(shù)函數(shù)分析不等式兩邊的大小關(guān)系，主要用于不等式的證明。

例題：已知是正整數(shù)且，求證：

七、條件法

條件法即根據(jù)題目中給出的條件特征選擇合適解題方法。有些不等式證明中會給出較多的前提條件，如果能夠?qū)@些條件予以有效的分析，那么就能夠以此為依據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型，然后利用模型對不等式進行分析。這種方法也較為常見，能夠?qū)⒃接枰院喕瑢⒊橄蟮膯栴}做具象化處理，便于理解。

例題：函數(shù)y=f（a）滿足在R上可導，且不等式-f（a）c，試證明bf（b）>cf（c）。

分析：題目中給出了三個條件：①y=f（a）滿足在R上可導；②不等式-f（a）c。從這三個條件進行分析，其中對解題最為關(guān)鍵的條件是第二個，必須從已知的這個不等式出發(fā)，求證bf（b）>cf（c）。

八、結(jié)語

數(shù)學課程與其它學科不同，其內(nèi)容具有較強的邏輯性，尤其是在不等式的證明上，學生的思維邏輯一定要極其嚴謹，在教學中學生不僅應(yīng)當能夠?qū)⒉坏仁阶C明出來，還應(yīng)當以最簡潔的方式進行證明，真正掌握科學的規(guī)律與科學的方法。作差法、縮放法、換元法、條件法等都是常用的證明方法，學生只有多加總結(jié)與練習，才能真正提高數(shù)學素養(yǎng)與能力。

參考文獻：

[1]龔襲，李先進.恰當構(gòu)造函數(shù)，可使不等式問題證明簡捷化[J].中國數(shù)學教育，2011（12）.

[2]張同語.構(gòu)造函數(shù)解不等式問題的四種策略[J].高中數(shù)學教與學，2015（09）.

[3]孫紅梅.看似無法實有法 構(gòu)造函數(shù)解汝憂——淺析用導數(shù)證明不等式[J].中學數(shù)學，2014（17）.

[4]陳彩霞.探討構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的若干方法[J].中學教學參考，2015（23）.

[5]張曉強.構(gòu)造函數(shù)法證明不等式[J].新課程（教育學術(shù)），2012（02）.