封利峰

摘 要：數(shù)列數(shù)高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考的必考內(nèi)容。數(shù)列主要可以分為兩個(gè)大類，即等差數(shù)列和等比數(shù)列。高考中的數(shù)列題目基本上都是以這兩類數(shù)列形式出現(xiàn)，對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和相關(guān)解題方法進(jìn)行了考察。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的過(guò)程中，需要結(jié)合高考考查方向，進(jìn)行針對(duì)性的學(xué)習(xí)，提升解題水平。本文對(duì)高中數(shù)列做了簡(jiǎn)單介紹，深入分析了解題策略，以期促進(jìn)數(shù)列教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列題；解題策略

數(shù)列是一種離散型函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。關(guān)于數(shù)學(xué)解題的方法和思想都比較多，在面對(duì)實(shí)際題目的時(shí)候，應(yīng)該根據(jù)題目所表現(xiàn)出的基本性質(zhì)，選擇合理的手段進(jìn)行解題，以便提升解題速率和準(zhǔn)確度。

一、數(shù)列的含義

首先需要明確的是，數(shù)列是函數(shù)的一種特殊形式，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)列也屬于函數(shù)范疇。數(shù)列的特殊性主要表現(xiàn)在定義域和值域這兩個(gè)方面。數(shù)列的定義域可以是單獨(dú)的數(shù)，也可以是連續(xù)的范圍。通過(guò)函數(shù)的相關(guān)思想來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)列是很關(guān)鍵的，函數(shù)主要有三種表示方法，而數(shù)列也可以通過(guò)三種形式進(jìn)行表現(xiàn)，即列舉法、圖像法和解析法。列舉法就是對(duì)數(shù)列包含的元素進(jìn)行列舉，比如三原色包括了{(lán)紅、綠、藍(lán)}，這就是一個(gè)列舉型數(shù)列；圖像法是通過(guò)圖像對(duì)數(shù)列進(jìn)行表示；解析法是通過(guò)解析式表示數(shù)列的范圍，解析式一般可以分為遞推公式和通項(xiàng)公式。函數(shù)不一定存在解析式，數(shù)列也不一定存在通項(xiàng)公式，這是在解答相關(guān)數(shù)列題目過(guò)程中需要時(shí)刻注意的。

數(shù)列根據(jù)其變化規(guī)律可以分為等比數(shù)列、等差數(shù)列以及自然數(shù)列；如果數(shù)列包含的項(xiàng)數(shù)有限，數(shù)列就可以稱為有限數(shù)列；如果數(shù)列包含的項(xiàng)數(shù)無(wú)限，數(shù)列就可以稱為無(wú)限數(shù)列。就高考而言，主要考查對(duì)象就是等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列形式。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要加強(qiáng)這兩部分知識(shí)的學(xué)習(xí)。

二、數(shù)列題解題策略

（一）明確高考考點(diǎn)

明確高考考點(diǎn)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，只有明確高考的考查重點(diǎn)，再進(jìn)行針對(duì)性學(xué)習(xí)，才能有效提升學(xué)習(xí)成果。否則，學(xué)習(xí)沒(méi)有重點(diǎn)就很容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)成效低下。

遞推數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，近些年在各省高考試題中的出現(xiàn)頻率很高。因此，需要加強(qiáng)對(duì)遞推數(shù)列相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)和題目解答。解決遞推數(shù)列題目的關(guān)鍵有三個(gè)：第一，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，再進(jìn)行求解；第二，研究數(shù)列性質(zhì)，利用遞推關(guān)系直接求解；第三，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解。

比如，有這樣一道題目：已知有不等式|f（x）|≤|2x2+4x-30|對(duì)任意x∈R 恒成立，又有函數(shù)f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），數(shù)列列{an}符合：a1=1/2，2an =f（an-1）+15 （n≥2，n∈N* ），數(shù)列{bn}符合：bn=1/（an+2）（n∈N* ），試求a，b的值；若Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，前n項(xiàng)積為T(mén)n，試求Sn+2n+1Tn。

對(duì)于這個(gè)題目而言，可以解出2x2+4x-30=0的根為：x=3或x=-5。當(dāng)x=3時(shí)，可以得出f（x）=x2+ax+b=（x-3）（x+5）=x2+2x-15，進(jìn)一步得出a=2和b=-15。當(dāng)x=-，5時(shí)，可以得出f（-5）=0，，即-5是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)。由此，就可以得出a值為2，b值為-15。

對(duì)于第二問(wèn)，可以先算出bn，即把a(bǔ)值和b值帶入數(shù)列{an}，求出an后再將其帶入bn，進(jìn)而可以得出bn=1/（an+2）=an/2an+1。在此基礎(chǔ)上，可以求出Tn=1/2n+1an+1。Sn=2-1/an+1，進(jìn)而就可以得出Sn+2n+1Tn=2-1/an+1+2n+1·1/2n+1an+1=2.

（二）與不等式結(jié)合

在高中中，對(duì)數(shù)列知識(shí)的考察往往會(huì)和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，進(jìn)行綜合考察。不等式就是與數(shù)列結(jié)合最為常見(jiàn)的一種形式，也是高考中常見(jiàn)的一類數(shù)列題型。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)列的過(guò)程中，就應(yīng)該對(duì)這部分題目加強(qiáng)練習(xí)。

已知數(shù)列{an}滿足：an+1-2/an=an-2/an-1（n≥2），a1=1，a2=3。如果bn=1/（1+an），試求{bn}通項(xiàng)公式；試證明|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<3。

對(duì)于這個(gè)題目，就考查了數(shù)列和不等式的基本知識(shí)，因此需要結(jié)合兩方面的知識(shí)進(jìn)行綜合解題。對(duì)于第一問(wèn)，根據(jù)已知可以得出an+1-2/an=1，將其進(jìn)行變形可以得到1/（1+an+1）=1/2[1-1/（1+an）]，可以得出bn+1=1/2（1-bn），經(jīng)過(guò)進(jìn)一步變換可以得出bn-1/3=-1/3（-1/2）n，即bn=1/3[1-（-1/2）n]，此即為{bn}的通項(xiàng)公式。

對(duì)于第二問(wèn)，可以根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)變形，得出3（1-1/22k）<3，在將其帶入不等式中就可以得出原不等式小于3（1-1/22k）+3/（22k+1+1）<3，進(jìn)而得出|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<3。

（三）與解析幾何結(jié)合

解析幾何是數(shù)列知識(shí)考查的另一個(gè)方面，通常是以直線、曲線為基礎(chǔ)展開(kāi)數(shù)列知識(shí)考查。在遇到這類題目時(shí)，應(yīng)該把問(wèn)題細(xì)化為幾個(gè)小的部分，在根據(jù)之間的相互關(guān)系，從基礎(chǔ)入手，逐一解答相關(guān)問(wèn)題。

比如，有拋物線C：y=x2，有一斜率為ko的直線lo從原點(diǎn)O出發(fā)，交拋物線于O、A1兩點(diǎn)，點(diǎn)A1（x1，y1），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1的直線l1交拋物線于點(diǎn)A2（x2，y2），以此類推，點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1），已知kn=kon+1，試求x1，x2，······，xn的遞推關(guān)系；試求數(shù)列{xn}通項(xiàng)。對(duì)于這個(gè)題目，首先可以由拋物線方程和直線lo的方程解出點(diǎn)A1，然后再將其帶入直線l1的方程，以此類推，就可以得出kn=xn+1+xn=kon+1，此即為x1，x2，······，xn的遞推關(guān)系。對(duì)于第二問(wèn)，可以對(duì)第一問(wèn)中的遞推關(guān)系進(jìn)行構(gòu)造，進(jìn)而得出xn=[kon+1-（-1）nko]/ko+1。

根據(jù)這道題目的解題過(guò)程中不難看出，與解析幾何結(jié)合是數(shù)列考察的一種方式。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)列知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的考察重點(diǎn)，是高考的必考內(nèi)容。在數(shù)列解題的過(guò)程中，需要明確高考考點(diǎn)，加強(qiáng)數(shù)列與不等式、解析幾何的結(jié)合，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，提升數(shù)列解題能力。

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