余瀟杭，張軍朋

(華南師范大學，廣東廣州 510006)

楊氏模量反映固體材料抵抗外力產(chǎn)生拉伸(或壓縮)形變的能力，根據(jù)動力學共振法原理，采用懸掛法來測量固體材料的楊氏模量能準確反映材料在微小形變時的物理性能，測得值精確穩(wěn)定，對脆性材料也能測量，該方法被廣泛使用［1-3］。

實驗中求楊氏模量需要測出樣品的固有頻率，然而本實驗無法直接測出，而是采用外延測量法測量基頻共振頻率來代替樣品固有頻率。這就需要先用已測出的數(shù)據(jù)繪制曲線，再按照曲線規(guī)律延長到求值范圍，在延長線部分求出所要的值。這就對作圖以及求延長線部分極值點的精確度提出更高要求。傳統(tǒng)的手工作圖和人主觀確定極值點難免造成較大的誤差，采用Origin軟件的多項擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由X(Y)值求Y(X)值(find X(Y)from Y(X))功能，參考李艷琴等人《動力學共振法測量固體楊氏模量》一文中的實驗數(shù)據(jù)［4］，介紹一種用 Origin對該實驗數(shù)據(jù)進行處理的方法，操作簡單，精確直觀。

1 實驗原理

對于一長為L的細棒，如圖1，棒的軸線沿x方向，那么棒在z方向的振動(棒的橫振動)滿足動力學方程式中η為棒上距左端x處橫截面在z方向的位移，E為該棒的楊氏模量(單位為Pa)，ρ為材料的密度，S為棒的橫截面積，I為棒的某一截面對棒的中心軸線(x軸)的慣性矩［5］。

對于直徑為d的圓棒，慣性矩I為:

根據(jù)特定的邊界條件定出常數(shù)K，代入橫截面的慣性矩I，就可以得到具體條件下的關系式，結(jié)合方程(1)的通解，可得到超越方程:cosKLchKL=1，其根依次是:

只要長度L確定，Kn就可以確定。第一個根“0”對應于靜止狀態(tài)，第二個根KnL=4．730 0，與此對應的振動頻率為基頻(固有頻率)。從試樣棒做基頻振動波形圖，即圖2，可以看出，試樣棒在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置距離端面0．224 L(距離另一端面為0．776 L)處。

將KnL=4．730 0代入式子(3)，結(jié)合圓的面積公式，得到對于直接為d的圓棒，其楊氏模量為

其中，f1為圓棒的基頻頻率。

圖1 棒的橫振動

圖2 基頻振動波形圖

由于式(5)在試樣的直徑與長度之比趨于零時才能滿足，因此對試樣的不同徑長比作出修正，即

T1為修正系數(shù)，修正系數(shù)是由徑長比確定的，如表 1 所示［6］。

表1 徑長比與修正系數(shù)的關系

由于本實驗的試樣機械品質(zhì)因數(shù)Q較大，最小約為 50，根據(jù)，兩者相差較小，可以測量共振頻率代替基頻頻率(固有頻率)。

實驗中，若要測量試樣棒的基頻頻率，只能將懸線掛于0．224 L和0．776 L節(jié)點處，但該節(jié)點處的振動幅度幾乎為零，很難激振和檢測，故采用外延法測基頻共振頻率。即本實驗采用測量棒上幾個不同位置的共振頻率，根據(jù)已測數(shù)據(jù)繪制曲線，將曲線按照原來規(guī)律延長，找到曲線最低點(即結(jié)點)所對應的頻率，即為棒的固有頻率f1。

2 實驗數(shù)據(jù)處理

用Origin軟件的多項擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由X(Y)值求Y(X)值(Find X(Y)from Y(X))功能對實驗數(shù)據(jù)進行處理。

2．1 實驗數(shù)據(jù)

本實驗使用的儀器是SG-9動態(tài)型楊氏模量測試儀，示波器等。通過調(diào)節(jié)信號源頻率，觀察示波器上的電信號波形，測出懸線位于不同位置的共振頻率f1，本文采用李艷琴等人《動力學共振法測量固體楊氏模量》一文中對于黃銅橫棒測量到的實驗數(shù)據(jù)進行處理，如表3所示，以此為例介紹Origin軟件在該實驗數(shù)據(jù)處理中的應用。

表2 懸線位于試樣棒不同位置測到的共振頻率

2．2 實驗數(shù)據(jù)處理

第一步，數(shù)據(jù)輸入。Origin啟動后會自動生成一個工作表Worksheet，將表3的數(shù)據(jù)輸入表格Data1中，其中懸線位置x(mm)數(shù)據(jù)置于x(X)列中，共振頻率f(Hz)數(shù)據(jù)置于f(Y)列中，如圖3所示。

第二步，繪制f-x散點圖。選中Data1中的x(X)列和f(Y)列，然后點擊菜單中的Plot中Symbol中的Scatter鍵，得到f-x散點圖，如圖3所示。

第三步，多項擬合f-x曲線。選中Graph1，點擊菜單Analysis中Fitting中的Fit Polynomial(多項擬合)鍵，彈出選項對話框，勾選Polynomial Order為6次，即進行6次項擬合，并選擇Find Specific X/Y中 Find Y from X，點擊“OK”，得到 f-x曲線以及相關系數(shù)R值，如圖4，R=0．998 83，說明擬合效果很好。同時，在Book1中還會生成一個表格Fit Polynomial Find Y from X，只要在該表格中“Enter x values”列中輸入需要的 x值，“Y value”列就會自動輸出該擬合好曲線上該x值對應的點的y值。該步驟是為了方便在接下來找到最低點坐標對應的x值之后，將x值輸入該表格就可以找到最低點的y值，即材料的基頻頻率f1。

第四步，對頻率-位置函數(shù)f(x)求微分。根據(jù)第三步，要知道曲線f-x最低點縱坐標，首先要確定最低點橫坐標，即求曲線f-x的極小值點。在數(shù)學上，求一條曲線的極值點，即找到該曲線函數(shù)的導函數(shù)值為0的點，該點的橫坐標即為曲線上最低點的橫坐標?；谝陨系姆椒ǎF(xiàn)在對頻率-位置函數(shù)f(x)求微分。

圖3 原始數(shù)據(jù)及f-x散點圖

選中實驗數(shù)據(jù)，點擊Analysis中的Differentiate健，在彈出的對話框中勾選 Plot Derivative Curve項，即輸出微分曲線，點擊“OK”，得到微分數(shù)據(jù)表和微分曲線，如圖5。

圖4 “Find Y from X”輸入框及f-x曲線

圖5 微分數(shù)據(jù)表和微分曲線

第五步，多項擬合微分曲線。由于第四步得到的微分曲線并不是圓滑曲線，因此要擬合微分曲線。按照第三步的方法，采用多項擬合，勾選Polynomial Order為6次，并選擇Find Specific X/Y 中 Find X from Y，點擊“OK”，得到“Find X from Y”輸入框及f-x微分曲線和其相關系數(shù)R值，如圖6所示，相關系數(shù)R=0．985 69，擬合效果較好。同時，在Book1中還會生成一個表格Fit Polynomial Find X from Y1，只要在輸入框中輸入y值，就能得到f-x微分曲線上該y值對應的點的橫坐標x。

第六步，求導函數(shù)值為0的點橫坐標。在圖6中所示“Find X from Y”輸入框的“Enter Y values”列中輸入0，則在“X value”列就會自動輸出f-x微分曲線上y值為0的點對應的橫坐標，輸出結(jié)果為x=36．752 43，如圖7所示。

圖6 “Find Y from X”輸入框及f-x微分曲線

第七步，求 f-x曲線的極小值點。將 x=36．752 43輸入圖4中所示“Find Y from X”輸入框，即在“Enter X values”列中輸入 36．752 43，則在“Y value”列就會自動輸出f-x曲線上x值為36．752 43的點對應的縱坐標，輸出結(jié)果為 y=823．445 7，如圖7所示。也就是基頻共振頻率為f1=823．445 7 Hz。

圖7 “Find Y from X”輸入框及“Find Y from X”輸入框

2．3 實驗結(jié)果

根據(jù)以上數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，被測材料黃銅棒的基頻共振頻率為f1=823．445 7 Hz，結(jié)合測到的棒的長度平均值 L=166．78 mm，直徑 d=7．937 mm，質(zhì)量m=69．6 g，通過查表1，修正系數(shù)為 T1=1．014，代入式(6)，得到黃銅的楊氏模量為E=8．99 ×1010Pa。

理論推導得到試樣棒的基頻振動理論節(jié)點位置為0．224 L［7-9］，即本實驗的理論值為 x0=37．4 mm，而本文用Origin處理實驗數(shù)據(jù)，得到的節(jié)點位置x=36．752 43 mm。比較實驗值和理論值，計算百說明用該方法處理實驗數(shù)據(jù)得到的結(jié)果接近理論值，誤差可能由于儀器的精度造成。

3 結(jié) 論

采用Origin軟件的多項擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由 X(Y)值求 Y(X)值(find X(Y)from Y(X))功能，對共振法測量固體材料的楊氏模量實驗數(shù)據(jù)進行處理，操作簡單，精確直觀。

此外，該方法還可以拓展運用到用Origin軟件求曲線極值點，相比于傳統(tǒng)手工作圖，人為取最低點的主觀性，這種方法比較精確方便。

綜上所述，將Origin軟件引入物理實驗數(shù)據(jù)處理中，有利于提高實驗結(jié)果的精確度，也有利于提高實驗數(shù)據(jù)處理的效率。

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