胡宗元

(首都經(jīng)濟貿(mào)易大學，北京 100070)

隨著信息時代的到來，運用計算機進行設計和探究已經(jīng)成為現(xiàn)在大學生的一種基本能力。然而，中國的計算機現(xiàn)狀是應用不夠，其主要原因就是缺乏人才和軟件。這種形勢值很是得我們警覺［1］。為了培養(yǎng)學生的計算機應用能力，在教學中開展模擬實驗是一種非常有效的方法。它能夠讓學生在掌握知識的同時，發(fā)展計算機應用能力。

Mathematica軟件是Wolfram Research公司開發(fā)的一款數(shù)學計算軟件，主要用于科學研究和工程技術中的計算。它不僅可以進行程序運行，還可以交互式運行，一句簡單的Mathematica命令能完成其它編程軟件可能要用幾十句命令才能完成的任務;它除了能進行任意精度的數(shù)值計算，還可以進行復雜的符號演算;Mathematica還提供了多種方式作圖、發(fā)聲和動畫命令，使人們直觀地把握對象的特性［2-5］?；谝陨咸攸c，我們選擇Mathematica作為開發(fā)仿真實驗的工具。

下面，以大學物理實驗中的彈簧振子阻尼振動實驗為例，具體展示如何運用Mathematica設計模擬實驗。

1 問題分析

振動是振子圍繞平衡位置的往復運動，設振子的質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為mw2(固有頻率為w)，阻尼系數(shù)為2mi，取平衡位置為原點建立坐標系，則由牛頓第二定律［4］得到運動微分方程

解出通解為

如果振子的初始位置和速度分別為a，v0，即

代入通解后得到

于是運動方程成為

彈簧振子位置和速度的變化范圍分別為

往復運動的周期為

2 程序設計

對物理問題進行分析和計算提供了計算模擬的基礎，但是要想獲得較好的演示效果，還需要在表現(xiàn)形式上下功夫。

2．1 振子的大小

該物理問題并未確定振子的形狀和大小，為方便起見，我們可以假設該彈簧振子為小球。從演示的效果來看，小球半徑過小則不易看清;過大則難以看到運動全過程。因此，最佳選擇是規(guī)定一個半徑值，如占整個畫面尺度的5%。這樣，兩個方面都可以照顧到。

2．2 范圍的大小

為得到理想的模擬效果，必須選擇合適的演示范圍。演示范圍過小，振子在運動過程中會跑出畫面;演示范圍過大，就看不到振子的全部運動軌跡。由(8)式，振子到原點的最大距離為

2．3 演示的時間

演示時間也是保證演示效果的另一個重要因素，演示時間過短，無法展示運動的主要特點;演示時間過長，則浪費時間也沒有必要。往復運動周期由(9)式給出，在周期有限的情況下，雖然運動有衰減，但通過前幾個周期就足以看出運動規(guī)律;在沒有周期性的過阻尼的情況下，我們只要一個固有周期就能看出運動規(guī)律。因此我們?nèi)⊙菔緯r間為2到3個固有周期，即

2．4 演示的方式

計算模擬的一大特點是可以用多種方式展示運動規(guī)律。除了動畫方式外，我們還可以展示運動的頻閃圖、速度時間圖、位置時間圖和速度位置圖等。為了避免前后圖像相互覆蓋，頻閃的時間間隔dt不能太小，總的時間也不能過長。

3 仿真程序及其運行

3．1 Mathematica 源程序

基于上面的設計，寫出相應的Mathematica模塊:

3．2 程序中的參數(shù)說明

下面，對程序中的各個參數(shù)進行一下說明:

輸入?yún)?shù):初始位移x0;初速度v0;固有頻率w;阻尼參數(shù)i;模式參數(shù)mm

輸出模式:mm=0，動畫;mm=1，頻閃圖;mm=2，v-x 圖;mm=3，x-t圖;mm=4，v-t圖

內(nèi)部變量:阻尼頻率w1;最大位移xmax;固有周期 t0，閃光間隔 dt=0．2

運動方程:x［t］

3．3 仿真程序的使用

在仿真時調(diào)用模塊dampingvibration，輸入振子的初始位移x0、初速度v0、固有頻率w、阻尼參數(shù)i以及模式選擇等參數(shù)后，便可運行?，F(xiàn)舉例如下:

設振子的初始位移x0=2、初速度v0=0、固有頻率w=2、阻尼參數(shù)i=1。

如果要得到動畫， 輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，0］，輸出結果即是振子作阻尼振動的模擬動畫;由于在文章中無法顯示動畫效果，讀者可以自行測試。

如果要得到頻閃圖，輸入命令為:damping vibration［2，0，2，1，1］，輸出結果如圖1 所示。

圖1 頻閃圖

如果要得到 v-x圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，2］，輸出結果如圖 2所示。

圖2 速度位置圖

如果要得到 x-t圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，3］，輸出結果如圖 3所示。

如果要得到 v-t圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，4］，輸出結果如圖 4所示。

圖3 位置時間圖

圖4 速度時間圖

3．4 仿真程序的優(yōu)點

上面基于Mathematica的模擬實驗程序的主要優(yōu)點:

(1)輸入?yún)?shù)任意可調(diào)，可以按需進行各種模擬實驗;

(2)既能夠輸出運動實況，又能夠輸出閃頻照片及其它相關曲線，展示內(nèi)容豐富;

(3)源程序比較簡單，且具有開放性，略加修改就可以演示其它相近的物理現(xiàn)象。

4 結 論

基于Mathematica，以大學物理中的彈簧振子阻尼振動試驗為例設計了一個結構簡單、功能強大的模擬實驗程序。輸入任意條件，該程序都可以輸出動畫、頻閃圖和軌跡曲線等模擬實驗結果。直觀、生動形象的展現(xiàn)實驗現(xiàn)象和內(nèi)容，使學生容易把握住對象特性，從機理上理解實驗內(nèi)容，更好的掌握知識內(nèi)容。

此外，該模擬實驗程序具有很好的開放性，在此基礎上加以修改就可以擴展功能，還可以編寫出其它實驗內(nèi)容的模擬實驗程序，進一步提高學生的計算機應用能力。

［1］ 彭芳麟，梁穎，忻蓓．計算軟件在計算物理課程中的地位和作用［J］．大學物理，2013，8:7．

［2］ 倪致祥．科研的有力工具-Mathematica簡介［J］．阜陽師范學院學報，2005(2):7．

［3］ 洪維恩．數(shù)學運算大師Mathematica4［M］．北京:人民郵電出版社，2002:1-16．

［4］ 周衍柏．理論力學教程［M］．2版．北京:高等教育出版社，1986:24-41．

［5］ 謝文海，古莉，滕艷萍．阻尼振動的Mathmatica模擬［J］．大學物理實驗，2014(5):72-75．